Задание 25 — задание ОГЭ по математике

Углы при одном из оснований трапеции равны \(77^\circ\) и \(13^\circ\), а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 11 и 10. Найдите основания трапеции.

В трапеции \( ABCD \) боковая сторона \( AB \) перпендикулярна основанию \( BC \).

Окружность проходит через точки \( C \) и \( D \) и касается прямой \( AB \) в точке \( E \).

Найдите расстояние от точки \( E \) до прямой \( CD \), если \( AD = 14, BC = 12 \).

Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно \(17\), а одна из диагоналей ромба равна \(68\). Найдите углы ромба.

В трапеции \( ABCD \) боковая сторона \( AB \) перпендикулярна основанию \( BC \).

Окружность проходит через точки \( C \) и \( D \) и касается прямой \( AB \) в точке \( E \).

Найдите расстояние от точки \( E \) до прямой \( CD \), если \( AD = 12, BC = 9 \).

В параллелограмме \( ABCD \) проведена диагональ \( AC \). Точка \( O \) является центром окружности, вписанной в треугольник \( ABC \). Расстояния от точки \( O \) до точки \( A \) и прямых \( AD \) и \( AC \) соответственно равны \( 25 \), \( 14 \) и \( 7 \). Найдите площадь параллелограмма \( ABCD \).

В трапеции \( ABCD \) основания \( AD \) и \( BC \) равны соответственно \( 28 \) и \( 4 \), а сумма углов при основании \( AD \) равна \( 90^\circ \). Найдите радиус окружности, проходящей через точки \( A \) и \( B \) и касающейся прямой \( CD \), если \( AB = 15 \).

Боковые стороны \(AB\) и \(CD\) трапеции \(ABCD\) равны соответственно \(40\) и \(41\), а основание \(BC\) равно \(16\).

Биссектриса угла \(ADC\) проходит через середину стороны \(AB\). Найдите площадь трапеции.

В трапеции \(ABCD\) боковая сторона \(AB\) перпендикулярна основанию \(BC\). Окружность проходит через точки \(C\) и \(D\) и касается прямой \(AB\) в точке \(E\). Найдите расстояние от точки \(E\) до прямой \(CD\), если \(AD=20\), \(BC=10\).

Точки \( M \) и \( N \) лежат на стороне \( AC \) треугольника \( ABC \) на расстояниях соответственно \( 9 \) и \( 32 \) от вершины \( A \). Найдите радиус окружности, проходящей через точки \( M \) и \( N \) и касающейся луча \( AB \), если \(\cos\angle BAC = \frac{2\sqrt{2}}{3}\).

В трапеции \( ABCD \) боковая сторона \( AB \) перпендикулярна основанию \( BC \).

Окружность проходит через точки \( C \) и \( D \) и касается прямой \( AB \) в точке \( E \).

Найдите расстояние от точки \( E \) до прямой \( CD \), если \( AD = 14, BC = 7 \).

Боковые стороны \( AB \) и \( CD \) трапеции \( ABCD \) равны соответственно \( 28 \) и \( 35 \), а основание \( BC \) равно \( 7 \). Биссектриса угла \( ADC \) проходит через середину стороны \( AB \). Найдите площадь трапеции.

Четырёхугольник \(ABCD\) со сторонами \(AB=5\) и \(CD=17\) вписан в окружность. Диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(K\), причём \(\angle AKB=60^\circ\). Найдите радиус этой окружности.

В трапеции \( ABCD \) основания \( AD \) и \( BC \) равны соответственно \( 33 \) и \( 11 \), а сумма углов при основании \( AD \) равна \( 90^\circ \). Найдите радиус окружности, проходящей через точки \( A \) и \( B \) и касающейся прямой \( CD \), если \( AB = 20 \).

В треугольнике \(A B C\) известны длины сторон \(A B=15\), \(A C=25\), точка \(O\) — центр окружности, описанной около треугольника \(A B C\). Прямая \(B D\), перпендикулярная прямой \(A O\), пересекает сторону \(A C\) в точке \(D\). Найдите \(C D\).

Точки \(M\) и \(N\) лежат на стороне \(AC\) треугольника \(ABC\) на расстояниях соответственно 4 и 15 от вершины \(A\). Найдите радиус окружности, проходящей через точки \(M\) и \(N\) и касающейся луча \(AB\), если \(\displaystyle \cos\angle BAC=\frac{\sqrt{15}}{4}\).

Биссектриса угла \( A \) параллелограмма \( ABCD \) пересекает сторону \( BC \) в точке \( K \).

Найдите периметр параллелограмма, если \( BK = 5, \) \( CK = 14 \).

Окружности радиусов \( 4 \) и \( 60 \) касаются внешним образом.

Точки \( A \) и \( B \) лежат на первой окружности, точки \( C \) и \( D \) — на второй. При этом \( AC \) и \( BD \) — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми \( AB \) и \( CD \).

Биссектрисы углов \( A \) и \( B \) параллелограмма \( ABCD \) пересекаются в точке \( K \). Найдите площадь параллелограмма, если \( BC = 7 \), а расстояние от точки \( K \) до стороны \( AB \) равно \( 4 \).

Точки \( M \) и \( N \) лежат на стороне \( AC \) треугольника \( ABC \) на расстояниях соответственно \( 36 \) и \( 44 \) от вершины \( A \). Найдите радиус окружности, проходящей через точки \( M \) и \( N \) и касающейся луча \( AB \), если \( \cos\angle BAC = \frac{\sqrt{11}}{6} \).

Боковые стороны \( AB \) и \( CD \) трапеции \( ABCD \) равны соответственно \( 10 \) и \( 26 \), а основание \( BC \) равно \( 1 \).

Биссектриса угла \( ADC \) проходит через середину стороны \( AB \). Найдите площадь трапеции.

Середина \( M \) стороны \( AB \) выпуклого четырёхугольника \( ABCD \) равноудалена от всех его вершин.

Найдите \( AD \), если \( BC = 19 \), а углы \( B \) и \( C \) четырёхугольника равны соответственно \( 95^\circ \) и \( 115^\circ \).

В параллелограмме $ABCD$ проведена диагональ $AC$. Точка $O$ является центром окружности, вписанной в треугольник $ABC$. Расстояния от точки $O$ до точки $A$ и прямых $AD$ и $AC$ соответственно равны $25$, $14$ и $7$. Найдите площадь параллелограмма $ABCD$.

В треугольнике \( ABC \) известны длины сторон \( AB=14, \, AC=98, \) точка \( O \) — центр окружности, описанной около треугольника \( ABC \). Прямая \( BD \), перпендикулярная прямой \( AO \), пересекает сторону \( AC \) в точке \( D \). Найдите \( CD \).

Точки \( M \) и \( N \) лежат на стороне \( AC \) треугольника \( ABC \) на расстояниях соответственно \( 18 \) и \( 40 \) от вершины \( A \). Найдите радиус окружности, проходящей через точки \( M \) и \( N \) и касающейся луча \( AB \), если \( \cos\angle BAC = \frac{\sqrt{5}}{3} \).

На стороне \(BC\) остроугольного треугольника \(ABC\) как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту \(AD\) в точке \(M\), \(AD=9\), \(MD=6\), \(H\) — точка пересечения высот треугольника \(ABC\). Найдите \(AH\).

В треугольнике \(A B C\) известны длины сторон \(A B=18\), \(A C=36\), точка \(O\) — центр описанной окружности треугольника \(A B C\). Прямая \(B D\), перпендикулярная прямой \(A O\), пересекает сторону \(A C\) в точке \(D\). Найдите \(C D\).

Окружность пересекает стороны \( AB \) и \( AC \) треугольника \( ABC \) в точках \( K \) и \( P \) соответственно и проходит через вершины \( B \) и \( C \).

Найдите длину отрезка \( KP \), если \( AP = 30 \), а сторона \( BC \) в \( 1{,}2 \) раза меньше стороны \( AB \).

Углы при одном из оснований трапеции равны \( 7^\circ \) и \( 83^\circ \), а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны \( 14 \) и \( 11 \). Найдите основания трапеции.

Четырёхугольник \( ABCD \) со сторонами \( AB=40 \) и \( CD=10 \) вписан в окружность.

Диагонали \( AC \) и \( BD \) пересекаются в точке \( K \), причём \( \angle AKB = 60^\circ \).

Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

В треугольнике \( ABC \) биссектриса угла \( A \) делит высоту, проведённую из вершины \( B \), в отношении \( 5:3 \), считая от точки \( B \). Найдите радиус окружности, описанной около треугольника \( ABC \), если \( BC = 16 \).