Задание 24 — задание ОГЭ по математике

Основания \( BC \) и \( AD \) трапеции \( ABCD \) равны соответственно \( 8 \) и \( 32 \), а диагональ \( BD = 16 \). Докажите, что треугольники \( CBD \) и \( BDA \) подобны.

Внутри параллелограмма \( ABCD \) выбрали произвольную точку \( E \).

Докажите, что сумма площадей треугольников \( BEC \) и \( AED \) равна половине площади параллелограмма.

Основания \( BC \) и \( AD \) трапеции \( ABCD \) равны соответственно \( 5 \) и \( 20 \), а диагональ \( BD = 10 \). Докажем, что треугольники \( CBD \) и \( BDA \) подобны.

Внутри параллелограмма \( ABCD \) выбрали произвольную точку \( F \).

Докажите, что сумма площадей треугольников \( BFC \) и \( AFD \) равна половине площади параллелограмма.

В треугольнике \(ABC\) с тупым углом \(\angle ACB\) проведены высоты \(AA_1\) и \(BB_1\). Докажите, что треугольники \(A_1CB_1\) и \(ACB\) подобны.

В треугольнике \( ABC \) с тупым углом \( ABC \) проведены высоты \( AA_1 \) и \( CC_1 \).

Докажите, что треугольники \( A_1BC_1 \) и \( ABC \) подобны.

На средней линии трапеции с основаниями \( a \) и \( b \) выбрали произвольную точку \( M \). Докажите, что сумма площадей треугольников, имеющих основанием одну из сторон трапеции, а вершиной точку \( M \), равна половине площади трапеции.

Биссектрисы углов \(A\) и \(B\) четырёхугольника \(ABCD\) пересекаются в точке \(K\), лежащей на стороне \(CD\). Докажите, что точка \(K\) равноудалена от прямых \(AB\), \(BC\) и \(AD\).

Точка \(E\) — середина боковой стороны \(AB\) трапеции \(ABCD\).

Докажите, что площадь треугольника \(ECD\) равна половине площади трапеции.

В трапеции \( A B C D \) с основаниями \( A D \) и \( B C \) диагонали пересекаются в точке \( O \). Докажите, что площади треугольников \( A O B \) и \( C O D \) равны.

Точка \( K \) — середина боковой стороны \( CD \) трапеции \( ABCD \).

Докажите, что площадь треугольника \( KAB \) равна половине площади трапеции.

Окружности с центрами в точках \(P\) и \(Q\) пересекаются в точках \(K\) и \(L\), причём точки \(P\) и \(Q\) лежат по одну сторону от прямой \(KL\).

Докажите, что прямые \(PQ\) и \(KL\) перпендикулярны.

Через точку пересечения диагоналей параллелограмма \( ABCD \) проведена прямая, пересекающая стороны \( AB \) и \( CD \) в точках \( E \) и \( F \) соответственно.

Докажите, что отрезки \( AE \) и \( CF \) равны.

Основания \( BC \) и \( AD \) трапеции \( ABCD \) равны соответственно \( 7 \) и \( 28 \), а диагональ \( BD = 14 \).

Докажите, что треугольники \( CBD \) и \( BDA \) подобны.

Дайте развернутый ответ. Сторона \( CD \) параллелограмма \( ABCD \) вдвое больше стороны \( AD \). Точка \( N \) — середина стороны \( CD \). Докажите, что \( AN \) — биссектриса угла \( BAD \).

Окружности с центрами в точках \(I\) и \(J\) пересекаются в точках \(A\) и \(B\), причём точки \(I\) и \(J\) лежат по одну сторону от прямой \(AB\).

Докажите, что прямые \(AB\) и \(IJ\) перпендикулярны.

Основания \( BC \) и \( AD \) трапеции \( ABCD \) равны соответственно \( 6 \) и \( 24 \), а диагональ \( BD = 12 \). Докажите, что треугольники \( CBD \) и \( BDA \) подобны.

Через точку \(O\) пересечения диагоналей параллелограмма \(ABCD\) проведена прямая, пересекающая стороны \(AB\) и \(CD\) в точках \(E\) и \(F\) соответственно. Докажите, что отрезки \(AE\) и \(CF\) равны.

Через точку пересечения диагоналей параллелограмма \( ABCD \) проведена прямая, пересекающая стороны \( BC \) и \( AD \) в точках \( K \) и \( M \) соответственно.

Докажите, что отрезки \( BK \) и \( DM \) равны.

Сторона \( AB \) параллелограмма \( ABCD \) вдвое больше стороны \( AD \).

Точка \( L \) — середина стороны \( AB \).

Докажите, что \( DL \) — биссектриса угла \( ADC \).

В остроугольном треугольнике \(A B C\) проведены высоты \(B B_{1}\) и \(C C_{1}\). Докажите, что углы \(C C_{1} B_{1}\) и \(C B B_{1}\) равны.

В остроугольном треугольнике \( ABC \) проведены высоты \( BB_1 \) и \( CC_1 \).

Докажите, что углы \( CC_1B_1 \) и \( CBB_1 \) равны.

В выпуклом четырёхугольнике \( ABCD \) углы \( \angle BCA \) и \( \angle BDA \) равны.

Докажите, что углы \( \angle ABD \) и \( \angle ACD \) также равны.

Биссектрисы углов \( B \) и \( C \) параллелограмма \( ABCD \) пересекаются в точке \( M \), лежащей на стороне \( AD \). Докажите, что \( M \) — середина \( AD \).

Дайте развернутый ответ. Известно, что около четырёхугольника \(ABCD\) можно описать окружность, и что продолжения сторон \(AB\) и \(CD\) пересекаются в точке \(M\). Докажите, что треугольники \(MBC\) и \(MDA\) подобны.

На средней линии трапеции \(A B C D\) с основаниями \(A D\) и \(B C\) выбрали произвольную точку \(F\). Докажите, что сумма площадей треугольников \(B F C\) и \(A F D\) равна половине площади трапеции.

Сторона \(AB\) параллелограмма \(ABCD\) вдвое больше стороны \(AD\). Точка \(L\) — середина стороны \(AB\). Докажите, что \(DL\) — биссектриса угла \(ADC\).

На средней линии трапеции \( ABCD \) с основаниями \( AD \) и \( BC \) выбрали произвольную точку \( F \). Докажите, что сумма площадей треугольников \( BFC \) и \( AFD \) равна половине площади трапеции.

Известно, что около четырехугольника \(ABCD\) можно описать окружность и что продолжения сторон \(AD\) и \(BC\) пересекаются в точке \(K\). Докажите, что треугольники \(KAB\) и \(KCD\) подобны.

Основания \( BC \) и \( AD \) трапеции \( ABCD \) равны соответственно \( 3 \) и \( 12 \), а диагональ \( BD = 6 \). Докажите, что треугольники \( CBD \) и \( BDA \) подобны.