Задание 20 — задание ЕГЭ профильной математики

На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на 3, а на карточках красного цвета написаны различные чётные числа (при этом некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной карточке). Все числа на карточках больше \( -72 \).

Оказалось, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно удвоенному количеству синих карточек, а наибольшее число, написанное на синей карточке, равно количеству красных карточек.

а) Может ли на столе лежать ровно четыре карточки?

б) Может ли число красных карточек на столе быть на 60 больше числа синих карточек на столе?

в) Какое наибольшее количество карточек может лежать на столе?

Дайте развернутый ответ. В школах №1 и №2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере 2 учащихся, а суммарно тест писал 51 учащийся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы №1 в школу №2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.

• а) Мог ли средний балл в школе №1 вырасти в 2 раза?
• б) Средний балл в школе №1 вырос на 10%, средний балл в школе №2 также вырос на 10%. Мог ли первоначальный средний балл в школе №2 равняться 1?
• в) Средний балл в школе №1 вырос на 10%, средний балл в школе №2 также вырос на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе №2.

Дайте развернутый ответ. На доске написано 100 различных натуральных чисел, сумма которых равна \( 5120 \).

• а) Может ли оказаться, что на доске написано число \( 230 \)?
• б) Может ли оказаться, что на доске нет числа \( 14 \)?
• в) Какое наименьшее количество чисел, кратных \( 14 \), может быть на доске?

На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на 3, а на карточках красного цвета написаны различные чётные числа (при этом некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной карточке). Все числа на карточках больше \( -60 \).

Оказалось, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно удвоенному количеству синих карточек, а наибольшее число, написанное на синей карточке, равно количеству красных карточек.

а) Может ли на столе лежать ровно три красных карточки?

б) Может ли на столе лежать ровно 150 красных карточек?

в) Какое наибольшее количество красных карточек может лежать на столе?

а) Можно ли представить число 2043 в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?

б) Можно ли представить число 599 в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?

в) Найдите наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы семи различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр.

Дайте развернутый ответ. Есть три коробки: в первой коробке \( 97 \) камней, во второй \( — \) \( 104 \), а в третьей коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых двух коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.

1. а) Могло ли в первой коробке оказаться \( 97 \) камней, во второй \( — \) \( 89 \), а в третьей \( — \) \( 15 \)?
2. б) Мог ли в третьей коробке оказаться \( 201 \) камень?
3. в) В первой коробке оказался \( 1 \) камень. Какое наибольшее число камней могло оказаться в третьей коробке?

Дайте развернутый ответ. С трёхзначным числом производят следующую операцию: к нему прибавляют цифру десятков, умноженную на 10, а затем к получившейся сумме прибавляют 3.

• а) Могло ли в результате такой операции получиться число 224?
• б) Могло ли в результате такой операции получиться число 314?
• в) Найдите наибольшее отношение получившегося числа к исходному.

Дайте развернутый ответ. Ваня написал на доске трёхзначное число \(A\). Петя переписал это число \(A\), вычеркнул из него одну цифру и получил двузначное число \(B\). Коля тоже переписал это число \(A\), вычеркнул из него одну цифру (возможно, ту же самую, что и Петя) и получил двузначное число \(C\).

• а) Может ли быть верным равенство \(A=B \cdot C\), если \(A>150\)?
• б) Может ли быть верным равенство \(A=B \cdot C\), если \(540 \leq A < 600\)?
• в) Найдите наибольшее число \(A\), для которого может быть верным равенство \(A=B \cdot C\).

Дайте развернутый ответ. Из набора цифр 0, 1, 2, 3, 5, 7 и 9 составляют пару чисел, используя каждую цифру ровно один раз. Оказалось, что одно из этих чисел четырёхзначное, другое — трёхзначное и оба кратны 45.

• а) Может ли сумма такой пары чисел равняться \( 2205 \)?
• б) Может ли сумма такой пары чисел равняться \( 3435 \)?
• в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел в такой паре?

Дайте развернутый ответ. На доске написано 30 различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается или на цифру 2, или на цифру 6. Сумма написанных чисел равна \(2454\).

1. а) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на 2 и на 6?
2. б) Может ли ровно одно число на доске оканчиваться на 6?
3. в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 6, может быть на доске?

Дайте развернутый ответ. В группе поровну юношей и девушек. Юноши отправляли электронные письма девушкам. Каждый юноша отправил или \( 5 \) писем, или \( 16 \) писем, причём и тех и других юношей было не меньше двух. Возможно, что какой-то юноша отправил какой-то девушке несколько писем.

• а) Могло ли оказаться так, что каждая девушка получила ровно \( 7 \) писем?
• б) Какое наименьшее количество девушек могло быть в группе, если известно, что все они получили писем поровну?
• в) Пусть все девушки получили попарно различное количество писем (возможно, какая-то девушка не получила писем вообще). Каково наибольшее возможное количество девушек в такой группе?

Дайте развернутый ответ. Для чисел \(A\) и \(B\), состоящих из одинакового количества цифр, вычисляют \(S\) — сумму произведений соответствующих цифр. Например, для чисел \(A=123\) и \(B=579\) получается сумма \(S=1 \cdot 5+2 \cdot 7+3 \cdot 9=46\).

• а) Существуют ли трёхзначные числа \(A\) и \(B\), для которых \(S=200\)?
• б) Существуют ли четырёхзначные числа \(A\) и \(B\), для которых \(S=320\)?
• в) Верно ли, что любое натуральное число от 1 до 340 является суммой \(S\) для некоторых пятизначных чисел \(A\) и \(B\)?

Дайте развернутый ответ. Маша и Наташа делали фотографии в течение некоторого количества подряд идущих дней. В первый день Маша сделала \( m \) фотографий, а Наташа — \( n \) фотографий. В каждый следующий день каждая из девочек делала на одну фотографию больше, чем в предыдущий день. Известно, что Наташа за всё время сделала суммарно на 1001 фотографию больше, чем Маша, и что фотографировали они больше одного дня.

• а) Могли ли они фотографировать в течение 7 дней?
• б) Могли ли они фотографировать в течение 8 дней?
• в) Какое наибольшее суммарное число фотографий могла сделать Наташа за все дни фотографирования, если известно, что в последний день Маша сделала меньше 40 фотографий?

На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на 5, а на карточках красного цвета написаны различные чётные числа (при этом некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной карточке). Все числа на карточках больше \( -120 \).

Оказалось, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно удвоенному количеству синих карточек, а наибольшее число, написанное на синей карточке, равно количеству красных карточек.

а) Может ли на столе лежать ровно шесть карточек?

б) Может ли число красных карточек на столе быть на 90 больше числа синих карточек на столе?

в) Какое наибольшее количество карточек может лежать на столе?

Дайте развернутый ответ.

На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых четырёх или пяти чисел из записанных является целым числом.

• а) Могут ли среди записанных на доске чисел одновременно быть числа \( 403 \) и \( 2013 \)?
• б) Может ли одно из записанных на доске чисел быть квадратом натурального числа, если среди записанных на доске чисел есть число \( 403 \)?
• в) Известно, что среди записанных на доске ч��сел есть число \( 1 \) и квадрат натурального числа \( n, \) большего \( 1. \) Найдите наименьшее возможное значение \( n. \)

На столе лежит \( N \) монет по 2 рубля и \( (1200-N) \) монет по 5 рублей (\( N \) — натуральное число от 1 до 1199). Оказалось, что если взять любые 500 монет, то сумма денег, набранная этими монетами, будет не меньше четверти от общей суммы денег на столе.

а) Может ли \( N \) равняться 400?

б) Может ли \( N \) равняться 600?

в) Сколько различных значений может принимать число \( N? \)

Дайте развернутый ответ. На доске написано \(n\) единиц подряд. Между некоторыми из них расставляют знаки «\(+\)» и считают получившуюся сумму. Например, если было написано 10 единиц, то можно получить сумму 136: \(1+1+111+11+11+1=136\).

• а) Можно ли получить сумму 132, если \(n=60\)?
• б) Можно ли получить сумму 132, если \(n=80\)?
• в) Для скольких значений \(n\) можно получить сумму 132?

Дайте развернутый ответ. Тройку различных натуральных чисел назовём удачной, если любое число в ней хотя бы на 5 больше, чем треть суммы двух других чисел. Например, 40, 45, 50 — удачная тройка.

1. а) Сколько существует удачных троек, содержащих числа 50, 60 и ещё одно число, большее 60?
2. б) Найдётся ли удачная тройка, одно из чисел которой равно 15?
3. в) Какое наибольшее количество чисел от 1 до 100 включительно можно расставить по кругу так, чтобы каждое число встречалось не более одного раза и любые три подряд идущих числа образовывали удачную тройку?

Дайте развернутый ответ.

Из пары натуральных чисел \( (a,b) \), где \( a > b \), за один ход получают пару \( (a + b; a - b) \).

a) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары \( (100; 1) \) пару, большее число в которой равно 400?

b) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары \( (100; 1) \) пару \( (806; 788) \)?

c) Какое наименьшее \( a \) может быть в паре \( (a;b) \), из которой за несколько ходов можно получить пару \( (806; 788) \)?

Дайте развернутый ответ.

На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх, четырёх, пяти или шести чисел из записанных является целым числом. Одно из записанных чисел равно \(30\,033\).

а) Может ли среди записанных на доске чисел быть число \(303\)?

б) Может ли отношение двух записанных на доске чисел равняться \(31\)?

в) Отношение двух записанных на доске чисел является квадратом натурального числа \(n\). Найдите наименьшее возможное значение \(n\).

Дайте развернутый ответ. На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 25 и меньше 85.

1. а) Может ли на доске быть 5 чисел?
2. б) Может ли на доске быть 6 чисел?
3. в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?

Дайте развернутый ответ. На доске написано 10 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно \( 5 \), а среднее арифметическое шести наибольших равно \( 15 \).

1. а) Может ли наименьшее из этих десяти чисел равняться \( 3 \)?
2. б) Может ли среднее арифметическое всех десяти чисел равняться \( 11 \)?
3. в) Найдите наибольшее значение среднего арифметического всех десяти чисел.

Дайте развернутый ответ. На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 40 и меньше 100.

1. а) Может ли на доске быть 5 чисел?
2. б) Может ли на доске быть 6 чисел?
3. в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?

Дайте развернутый ответ. На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 3, к каждому числу из второй группы — цифру 7, а числа из третьей группы оставили без изменений.

1. а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 8 раз?
2. б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 17 раз?
3. в) В какое наибольшее число раз могла увеличиться сумма всех этих чисел?

Дайте развернутый ответ. В школах №1 и №2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере 2 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом, причём в школе №2 средний балл равнялся \( 42 \). Один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы №1 в школу №2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах. В результате средний балл в школе №1 уменьшился на \( 10\% \), средний балл в школе №2 также уменьшился на \( 10\% \).

• а) Сколько учащихся могло писать тест в школе №2 изначально?
• б) Каждый учащийся школы №2, писавший тест, набрал больше баллов, чем перешедший в неё учащийся школы №1. Какое наибольшее количество баллов мог набрать учащийся школы №2?
• в) Какое наибольшее количество учащихся могло писать тест в школе №1 изначально?

Дайте развернутый ответ. Каждое из четырёх последовательных натуральных чисел, последние цифры которых не равны нулю, поделили на его последнюю цифру. Сумма получившихся чисел равна \(S\).

• а) Может ли \(S\) быть равной \(16\frac{5}{6}\)?
• б) Может ли \(S\) быть равной \(569\frac{29}{126}\)?
• в) Найдите наибольшее целое значение \(S\), если каждое из исходных чисел было трёхзначным.

Дайте развернутый ответ.

На доске записано \( k \) последовательных натуральных чисел. Оказалось, что среди них чисел, делящихся на 20, меньше, чем чисел, делящихся на 23.

• а) Могло ли среди записанных чисел быть ровно три числа, делящихся на 20?
• б) Могло ли среди записанных чисел быть ровно десять чисел, делящихся на 20?
• в) Найдите наибольшее возможное значение \( k \).

Дайте развернутый ответ. В течение \(n\) дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше 6. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество меньше, чем в предыдущий день.

а) Может ли \(n\) быть больше 6?

б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 2, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 4?

в) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 5. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел, записанных за все дни?

Дайте развернутый ответ.

На доске записано некоторое количество последовательных натуральных чисел, среди которых ровно пять делятся на \( 20 \).

1. Могло ли среди записанных чисел быть больше пяти чисел, делящихся на \( 21 \)?
2. Могло ли среди записанных чисел быть меньше пяти чисел, делящихся на \( 15 \)?
3. Найдите наибольшее возможное число \( k \) такое, что среди записанных чисел больше пяти чисел делятся на \( k \).

Дайте развернутый ответ. С трёхзначным числом производят следующую операцию: вычитают из него сумму его цифр, а затем получившуюся разность делят на 3.

1. а) Могло ли в результате такой операции получиться число \(300\)?
2. б) Могло ли в результате такой операции получиться число \(151\)?
3. в) Сколько различных чисел может получиться в результате такой операции из чисел от \(100\) до \(600\) включительно?