Банк заданий ЕГЭ профильного уровня по математике
Здесь собраны задания по теме: Задание 18. Тренируйся на задачах первой и второй части, отрабатывай алгебру, тригонометрию, геометрию, параметры и текстовые задачи в формате ЕГЭ профильной математики 2025–2026 годов.
В равнобедренном остроугольном треугольнике \( ABC \) проведены
высоты \( AH \) и \( CT \) к боковым сторонам \( BC \) и \( AB \). Отрезки \( HM \) и \( HK \) — перпендикуляры к прямым \( AB \) и \( AC \) соответственно. Отрезки \( CT \) и \( MK \) пересекаются в точке \( E \).
а) Докажите, что прямые \( AB \) и \( EH \) параллельны.
б) Найдите длину отрезка \( ME \), если \( AB=17 \) и \( AC=16 \).
Дайте развернутый ответ. На стороне \(BC\) треугольника \(ABC\) отмечена точка \(D\) так, что \(AB=BD\). Биссектриса \(BF\) треугольника \(ABC\) пересекает прямую \(AD\) в точке \(E\). Из точки \(C\) на прямую \(AD\) опущен перпендикуляр \(CK\).
Дайте развернутый ответ. Окружность, вписанная в равнобедренную трапецию \(ABCD\), касается её боковой стороны \(CD\) в точке \(M\). Луч \(AM\) вторично пересекает окружность в точке \(N\), а прямую \(BC\) — в точке \(K\), причём \(AN=4\) и \(MN=12\).
Дайте развернутый ответ. В остроугольном треугольнике \(ABC\) высоты \(AA_1\), \(BB_1\) и \(CC_1\) пересекаются в точке \(H\). Через точку \(C_1\) параллельно высоте \(BB_1\) проведена прямая, пересекающая высоту \(AA_1\) в точке \(K\).
а) Докажите, что \(AB \cdot KH = BC \cdot C_1H\).
б) Найдите отношение площадей треугольников \(C_1HK\) и \(ABC\), если \(AB=6\), \(BC=4\), \(AC=5\).
Дайте развернутый ответ. Окружность проходит через вершины \( B \) и \( C \) треугольника \( ABC \) и пересекает \( AB \) и \( AC \) в точках \( C_1 \) и \( B_1 \) соответственно.
а) Докажите, что треугольник \( ABC \) подобен треугольнику \( AB_1C_1 \).
б) Вычислите длину стороны \( B_1C_1 \) и радиус данной окружности, если \( \angle A = 150^\circ \), \( BC = 5\sqrt{5} \) и площадь треугольника \( AB_1C_1 \) в четыре раза меньше площади четырёхугольника \( BCB_1C_1 \).
Дайте развернутый ответ. Дана трапеция \(ABCD\) с основаниями \(AD\) и \(BC\). Диагональ \(BD\) разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями \(AD\) и \(CD\).
а) Докажите, что луч \(AC\) — биссектриса угла \(BAD\).
б) Найдите \(CD\), если известны диагонали трапеции: \(AC=12\) и \(BD=6{,}5\).
Дайте развернутый ответ. Дана трапеция \(ABCD\) с основаниями \(AD\) и \(BC\). Диагональ \(BD\) разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями \(AD\) и \(CD\).
а) Докажите, что луч \(AC\) — биссектриса угла \(BAD\).
б) Найдите \(CD\), если известны диагонали трапеции: \(AC=15\) и \(BD=8{,}5\).
Дайте развернутый ответ. В треугольнике \(ABC\) точки \(A_1\), \(B_1\) и \(C_1\) — середины сторон \(BC\), \(AC\) и \(AB\) соответственно, \(AH\) — высота, \(\angle BAC = 120^\circ\), \(\angle BCA = 45^\circ\).
Дайте развернутый ответ.
В треугольнике \(ABC\) угол \(ACB\) равен \(30^{\circ}\), отрезки \(AH\) и \(AM\) — высота и медиана соответственно, причём точка \(H\) лежит на отрезке \(BM\).
Отрезок \(MQ\) — высота треугольника \(AMC\), а прямые \(AH\) и \(MQ\) пересекаются в точке \(F\). Известно, что луч \(AM\) — биссектриса угла \(CAH\).
Дайте развернутый ответ. На стороне \(BC\) параллелограмма \(ABCD\) выбрана точка \(M\) такая, что \(AM=MC\).
а) Докажите, что центр вписанной в треугольник \(AMD\) окружности лежит на диагонали \(AC\).
б) Найдите радиус вписанной в треугольник \(AMD\) окружности, если \(AB=5\), \(BC=10\), \(\angle BAD=60^\circ\).
Дайте развернутый ответ. Окружность с центром в точке \(O\) касается сторон угла с вершиной \(N\) в точках \(A\) и \(B\). Отрезок \(BC\) — диаметр этой окружности.
а) Докажите, что прямая \(AC\) параллельна биссектрисе угла \(ANB\).
б) Найдите длину отрезка \(NO\), если известно, что \(AC=10\) и \(AB=24\).
Дайте развернутый ответ. Пятиугольник \(ABCDE\) вписан в окружность. Диагонали \(AD\) и \(BE\) пересекаются в точке \(M\). Известно, что \(BCDM\) — параллелограмм.
а) Докажите, что \(BC=DE\).
б) Найдите длину стороны \(AB\), если известно, что \(DE=4\), \(AD=7\), \(BE=8\) и \(AB>BC\).
Дайте развернутый ответ. Окружность с центром \(O_1\) касается оснований \(BC\) и \(AD\) и боковой стороны \(AB\) трапеции \(ABCD\). Окружность с центром \(O_2\) касается сторон \(BC\), \(CD\) и \(AD\). Известно, что \(AB=10\), \(BC=9\), \(CD=30\), \(AD=39\).
а) Докажите, что прямая \(O_1O_2\) параллельна основаниям трапеции \(ABCD\).
б) Найдите \(O_1O_2\).
Дайте развернутый ответ. Две окружности разных радиусов касаются внешним образом в точке \(C\). Вершины \(A\) и \(B\) равнобедренного прямоугольного треугольника \(ABC\) с прямым углом \(C\) лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая \(AC\) вторично пересекает большую окружность в точке \(E\), а прямая \(BC\) вторично пересекает меньшую окружность в точке \(D\).
а) Докажите, что прямые \(AD\) и \(BE\) параллельны.
б) Найдите \(BC\), если радиусы окружностей равны \(\sqrt{15}\) и \(15\).
Дайте развернутый ответ. В параллелограмме \(ABCD\) угол \(BAC\) вдвое больше угла \(CAD\). Биссектриса угла \(BAC\) пересекает отрезок \(BC\) в точке \(L\). На продолжении стороны \(CD\) за точку \(D\) выбрана такая точка \(E\), что \(AE=CE\).
Дайте развернутый ответ. Окружность проходит через вершины \( B \) и \( C \) треугольника \( ABC \) и пересекает \( AB \) и \( AC \) в точках \( C_1 \) и \( B_1 \) соответственно.
а) Докажите, что треугольник \( ABC \) подобен треугольнику \( AB_1C_1 \).
б) Вычислите длину стороны \( B_1C_1 \) и радиус данной окружности, если \( \angle A = 120^\circ \), \( BC = 10\sqrt{7} \) и площадь треугольника \( AB_1C_1 \) в три раза меньше площади четырёхугольника \( BCB_1C_1 \).
Дайте развернутый ответ. Окружность проходит через вершины \(B\) и \(C\) треугольника \(ABC\) и пересекает \(AB\) и \(AC\) в точках \(C_1\) и \(B_1\) соответственно.
а) Докажите, что треугольник \(ABC\) подобен треугольнику \(AB_1C_1\).
б) Вычислите длину стороны \(BC\) и радиус данной окружности, если \(\angle A = 135^\circ\), \(B_1C_1=10\) и площадь треугольника \(AB_1C_1\) в семь раз меньше площади четырёхугольника \(BCB_1C_1\).
Дайте развернутый ответ. Прямая, перпендикулярная стороне \(BC\) ромба \(ABCD\), пересекает его диагональ \(AC\) в точке \(M\), а диагональ \(BD\) в точке \(N\), причём \(AM:MC=1:2\), \(BN:ND=1:3\).
а) Докажите, что \(\cos\angle BAD=\dfrac{1}{5}\).
б) Найдите площадь ромба, если \(MN=5\).
В равнобедренном остроугольном треугольнике \( ABC \) проведены
высоты \( AH \) и \( CT \) к боковым сторонам \( BC \) и \( AB \). Отрезки \( HM \) и \( HK \) — перпендикуляры к прямым \( AB \) и \( AC \) соответственно. Отрезки \( CT \) и \( MK \) пересекаются в точке \( E \).
а) Докажите, что прямые \( AB \) и \( EH \) параллельны.
б) Найдите длину отрезка \( ME \), если \( AB=13 \) и \( AC=10 \).
Дайте развернутый ответ. Окружность проходит через вершины \(A\), \(B\) и \(D\) параллелограмма \(ABCD\), пересекает сторону \(BC\) в точках \(B\) и \(M\) и пересекает продолжение стороны \(CD\) за точку \(D\) в точке \(N\).
Дайте развернутый ответ. В трапеции \(ABCD\) основание \(AD\) в два раза больше основания \(BC\). Внутри трапеции взяли точку \(M\) так, что углы \(ABM\) и \(DCM\) прямые.
Окружность с центром \( O \) касается боковых сторон \( AB \) и \( BC \) равнобедренного остроугольного треугольника \( ABC \) и его высоты \( CH \).
а) Докажите, что \( \angle AOC=90^{\circ} \).
б) Найдите площадь треугольника \( ABC \), если \( BO=7 \) и \( AC=16 \).
Дайте развернутый ответ. Окружность проходит через вершины \(В\) и \(С\) треугольника \(АВС\) и пересекает \(АВ\) и \(АС\) в точках \(С_1\) и \(В_1\) соответственно.
а) Докажите, что треугольник \(АВС\) подобен треугольнику \(АВ_1С_1\).
б) Вычислите длину стороны \(ВС\) и радиус данной окружности, если \(\angle А = 30^\circ\), \(В_1С_1 = 5\) и площадь треугольника \(АВ_1С_1\) в пять раз меньше площади четырёхугольника \(ВСВ_1С_1\).
Дайте развернутый ответ. Пятиугольник \(ABCDE\) вписан в окружность. Известно, что \(AB=CD=3,\) \(BC=DE=4.\)
а) Докажите, что \(AC=CE.\)
б) Найдите длину диагонали \(BE,\) если \(AD=6.\)
Дайте развернутый ответ. Окружность проходит через вершины \(A\), \(B\) и \(D\) параллелограмма \(ABCD\), пересекает сторону \(BC\) в точках \(B\) и \(E\) и пересекает продолжение стороны \(CD\) за точку \(D\) в точке \(K\).
а) Докажите, что \(AE=AK\).
б) Найдите отношение \(KE:BD\), если \(\angle BAD=60^\circ\).
В остроугольном треугольнике \( ABC \) отрезки \( AH \), \( BN \) и \( CK \) — высоты. Известно, что \( AK=1 \), \( BH=2 \), а \( \angle KNH=60^{\circ} \).
а) Докажите, что \( \angle ABC=60^{\circ} \).
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника \( ABC \).
Дайте развернутый ответ. Окружность с центром в точке \(O\) касается сторон угла с вершиной \(N\) в точках \(A\) и \(B\). Отрезок \(BC\) — диаметр этой окружности.
а) Докажите, что \(\angle ANB = 2\angle ABC\).
б) Найдите расстояние от точки \(N\) до прямой \(AB\), если известно, что \(AC = 14\) и \(AB = 36\).
Дайте развернутый ответ. Точки \(P\), \(Q\), \(W\) делят стороны выпуклого четырёхугольника \(ABCD\) в отношении \(AP:PB = CQ:QB = CW:WD = 1:4\), радиус окружности, описанной около треугольника \(PQW\), равен 10, \(PQ=16\), \(QW=12\), угол \(PWQ\) — острый.
а) Докажите, что треугольник \(PQW\) — прямоугольный.
б) Найдите площадь четырёхугольника \(ABCD\).
Дайте развернутый ответ. Окружность проходит через вершины \( B \) и \( C \) треугольника \( ABC \) и пересекает \( AB \) и \( AC \) в точках \( C_1 \) и \( B_1 \) соответственно.
а) Докажите, что треугольник \( ABC \) подобен треугольнику \( AB_1C_1 \).
б) Вычислите длину стороны \( BC \) и радиус данной окружности, если \( \angle A = 45^\circ \), \( B_1C_1 = 6 \) и площадь треугольника \( AB_1C_1 \) в восемь раз меньше площади четырёхугольника \( BCB_1C_1 \).
Дайте развернутый ответ. В треугольнике \(ABC\) точки \(A_1\), \(B_1\) и \(C_1\) — середины сторон \(BC\), \(AC\) и \(AB\) соответственно, \(AH\) — высота, \(\angle BAC = 30^\circ\), \(\angle BCA = 45^\circ\).
а) Докажите, что точки \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\) и \(H\) лежат на одной окружности.
б) Найдите \(A_1H\), если \(BC = 4\sqrt{3}\).
На платформе EGEChat можно готовиться к ЕГЭ профильной математики с нуля и до 90+ баллов. В банке заданий собраны типовые и усложнённые задачи по всем темам экзамена: квадратные и рациональные уравнения и неравенства, логарифмы и показательные уравнения, производная и исследование функций, планиметрия и стереометрия, параметры и текстовые задачи. Ты можешь тренироваться по темам и номерам, анализировать ошибки и постепенно выходить на нужный балл.
Подготовка к ЕГЭ по математике включает изучение как профильного, так и базового уровня. На этой странице вы найдете задания ЕГЭ математика 2026 и 2025, бесплатные решения, варианты Ященко 36, а также официальные материалы ФИПИ.
Мы собрали решения ЕГЭ по математике, справочные материалы, перевод первичных баллов в тестовые и варианты ЕГЭ с ответами. Доступны задания всех типов: от 1 до 20, включая задачи на геометрию, вероятности, статистику, графики и экономические задачи.
Также вы можете скачать демоверсию ЕГЭ математика 2026, варианты для печати, сборники Ященко и решения профильного уровня. Сервис EGEChat помогает тренироваться в онлайне и отслеживать прогресс по темам.
Самостоятельная подготовка возможна, если есть системный план: решать задачи по темам, регулярно повторять теорию и разбирать сложные задачи второй части. EGEChat помогает структурировать подготовку: ты видишь свои слабые темы и можешь целенаправленно их закрывать.
В профильной математике больше внимания уделяется алгебре, функциям, геометрии и сложным задачам. Появляются параметры, задачи на производную, стереометрию, оптимизацию. Банк заданий EGEChat учитывает эти особенности: для профильного уровня доступны расширенные разделы и задачи второй части с разбором.