Задание 17 — задание ЕГЭ профильной математики

Впишите правильный ответ. Найдите точку минимума функции \(y=x^3 - 18x^2 + 81x + 17.\)

Впишите правильный ответ. Найдите точку максимума функции \( y = x^2 - 33x + 136 \cdot \ln x + 74. \)

Впишите правильный ответ. Найдите точку максимума функции \( y=\ln{(x+3)}^7 - 7x - 9 \).

Впишите правильный ответ. Найдите наименьшее значение функции \( y=9x-9\ln(x+11)+7 \) на отрезке \( [-10{,}5; 0] \).

Амплитуда вынужденных колебаний корабля при качке на волнении выражается формулой

\[A=k\theta_0\cdot\frac{\tau^2}{\sqrt{(T^2-\tau^2)^2+n\tau^2T^2}},\]

где \(k=0{,}91\) — коэффициент, зависящий от отношения ширины корабля к длине волны, \(\theta_0=9^\circ\) — угол наибольшего волнового склона, \(\tau\) — период волны (в секундах), \(T=14{,}7\) с — период свободных качаний корабля на тихой воде, \(n=0{,}0792\) — коэффициент, зависящий от величины сопротивления воды.

При каком периоде волны амплитуда вынужденных колебаний корабля будет наибольшей? Ответ дайте в секундах.

Дайте развернутый ответ. В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на три года в размере \( S \) млн рублей, где \( S \) — целое число. Условия его возврата таковы:

• каждый январь долг увеличивается на 15 % по сравнению с концом предыдущего года;
• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
• в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.

Найдите наибольшее значение \( S \), при котором каждая из выплат будет меньше 4 млн рублей.

Впишите правильный ответ.

Найдите наименьшее значение функции \( y = 10\cos x + 14x + 9 \) на отрезке \( \left[0, \dfrac{3\pi}{2}\right] \).

Дайте развернутый ответ. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 7 млн рублей на срок 10 лет. Условия возврата таковы: каждый январь долг возрастает на \( r \) % по сравнению с концом предыдущего года; с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга так, чтобы на начало июля каждого года долг уменьшался на одну и ту же сумму по сравнению с предыдущим июлем. Найдите наименьшую возможную ставку \( r \), если известно, что последний платёж будет не менее 0,819 млн рублей.

15 января планируется взять кредит в банке на 4 месяца. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на целое число \( r \) процентов по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.

Найдите наименьшее значение \( r \), при котором сумма всех платежей будет превышать кредит больше чем на 30 %.

Найдите точку минимума функции \(y=x^3 - 27x^2 + 17.\)

Впишите правильный ответ. Найдите точку максимума функции \( y=4+9x-x\sqrt{x} \).

Найдите точку минимума функции \( y=x^3 - 192x + 11. \)

Впишите правильный ответ. Найдите точку минимума функции \( y=2x^2 - 23x + 33 \cdot \ln x - 17. \)

На заводе имеется генератор с ЭДС \(\varepsilon=50\) В и внутренним сопротивлением \(r=1\) Ом. Инженер подключает к генератору нагрузку, используя реостат, чтобы установить сопротивление нагрузки \(R\) (в омах).

Сила тока в цепи (в амперах) определяется законом Ома:

\[I=\frac{\varepsilon}{r+R}.\]

Тепловая мощность (в ваттах), выделяемая в нагрузке, может быть рассчитана по формуле Джоуля–Ленца:

\[P=I^2R.\]

Какова максимальная тепловая мощность \(P\), которая может быть выделена нагрузкой?

Впишите правильный ответ. Найдите наибольшее значение функции \( y=\ln(x+9)^5 - 5x \) на отрезке \( [-8{,}5; 0] \).

Найдите точку минимума функции \( y=2{x}^{\frac{3}{2}}-21x+16 \).

Впишите правильный ответ. Найдите наибольшее значение функции \( y=11+6x-4x\sqrt{x} \) на отрезке \( [0;\ 21] \).

Впишите правильный ответ. Найдите точку минимума функции \(y=x^3-14x^2+49x+3.\)

Впишите правильный ответ. Найдите точку максимума функции \( y=x^3-108x+23. \)

Дайте развернутый ответ. Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на \( 10\% \) по сравнению с его размером в начале года. Кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов вклад ежегодно пополняется на \( 3 \) млн рублей. Найдите наименьший размер первоначального вклада, при котором через четыре года вклад будет больше \( 20 \) млн рублей.

Дайте развернутый ответ. Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят \( t^2 \) тыс. рублей в конце года \( t \) (\( t=1; 2; \dots \)). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться в \( 1+r \) раз. Пенсионный фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы в конце двадцатого года сумма на его счёте была наибольшей. Расчёты показали, что для этого ценные бумаги нужно продавать строго в конце девятого года. При каких положительных значениях \( r \) это возможно?

Впишите правильный ответ. Найдите точку минимума функции \(y=\left(8x^2-40x+40\right)e^{x+4}\).

Найдите точку минимума функции \( y={x}^{2}-20x+48\ln x-97 \).

Впишите правильный ответ. Найдите наименьшее значение функции \( y=9x-\ln(x+5)^9 \) на отрезке \( [-4.5; 0] \)

Впишите правильный ответ. Найдите точку минимума функции \(y=x^3 - 20x^2 + 100x + 23.\)

Впишите правильный ответ. Найдите точку максимума функции \( y=x^3-300x+5. \)

Впишите правильный ответ. Найдите точку минимума функции \( y=x^3-300x+14 \).

Впишите правильный ответ. Найдите наименьшее значение функции \(y=10\cos x+\dfrac{36x}{\pi}-6\) на отрезке \(\left[-\dfrac{2\pi}{3};0\right]\).

Впишите правильный ответ. Найдите точку максимума функции \( y=10 \cdot \ln(x-2)-10x+11 \).

Впишите правильный ответ. Найдите точку минимума функции \( y=5x-\ln^5(x+3)+6 \).