Назад

Задание 17 — задание ЕГЭ профильной математики

Банк заданий ЕГЭ профильного уровня по математике

Здесь собраны задания по теме: Задание 17. Тренируйся на задачах первой и второй части, отрабатывай алгебру, тригонометрию, геометрию, параметры и текстовые задачи в формате ЕГЭ профильной математики 2025–2026 годов.

Вопрос 1
Дайте развернутый ответ. В равнобедренной трапеции $ABCD$ основание $AD$ в три раза больше основания $BC$. а) Докажите, что высота $CH$ трапеции разбивает основание $AD$ на отрезки, один из которых вдвое больше другого. б) Найдите расстояние от вершины $C$ до середины диагонали $BD$, если $AD=15$ и $AC=2\sqrt{61}$.
Вопрос 2
Дайте развернутый ответ. В треугольнике $ABC$ точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ — середины сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно, $AH$ — высота, $\angle BAC = 120^\circ$, $\angle BCA = 45^\circ$. а) Докажите, что точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $H$ лежат на одной окружности. б) Найдите $A_1H$, если $BC = 6\sqrt{3}$.
Вопрос 3
Дайте развернутый ответ. В параллелограмме $ABCD$ угол $BAC$ вдвое больше угла $CAD$. Биссектриса угла $BAC$ пересекает отрезок $BC$ в точке $L$. На продолжении стороны $CD$ за точку $D$ выбрана такая точка $E$, что $AE=CE$. а) Докажите, что $AL \cdot BC = AB \cdot AC$. б) Найдите $EL$, если $AC=8$, $\operatorname{tg} \angle BCA = \frac{1}{2}$.
Вопрос 4
Дайте развернутый ответ. Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность радиуса $R=8$. Известно, что $AB=BC=CD=12$. а) Докажите, что прямые $BC$ и $AD$ параллельны. б) Найдите $AD$.
Вопрос 5
Дайте развернутый ответ. На стороне равностороннего треугольника $ABC$ отмечена точка $M$. Серединный перпендикуляр к отрезку $BM$ пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $E$ и $K$ соответственно. а) Докажите, что $\angle AEM = \angle CMK$. б) Найдите отношение площадей треугольников $AEM$ и $CMK$, если $AM:MC=1:4$.
Вопрос 6
Дайте развернутый ответ. В треугольнике $ABC$ точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ — середины сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно, $AH$ — высота, $\angle BAC = 120^\circ$, $\angle BCA = 15^\circ$. а) Докажите, что точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $H$ лежат на одной окружности. б) Найдите $A_1H$, если $BC = 4\sqrt{3}$.
Вопрос 7
Дайте развернутый ответ. Окружность с центром в точке $O$ касается сторон угла с вершиной $N$ в точках $A$ и $B$. Отрезок $BC$ — диаметр этой окружности. а) Докажите, что $\angle ANB = 2\angle ABC$. б) Найдите расстояние от точки $N$ до прямой $AB$, если известно, что $AC = 14$ и $AB = 36$.
Вопрос 8
Дайте развернутый ответ. На сторонах $AB$, $BC$ и $AC$ треугольника $ABC$ отмечены точки $C_1$, $A_1$ и $B_1$ соответственно, причём $AC_1:C_1B=21:10$, $BA_1:A_1C=2:3$, $AB_1:B_1C=2:5$. Отрезки $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в точке $D$. а) Докажите, что четырёхугольник $ADA_1B_1$ — параллелограмм. б) Найдите $CD$, если отрезки $AD$ и $BC$ перпендикулярны, $AC=63$, $BC=25$.
Вопрос 9
Дайте развернутый ответ. Высоты $BB_1$ и $CC_1$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. а) Докажите, что $\angle BB_1C_1 = \angle BAH$. б) Найдите расстояние от центра окружности, описанной около треугольника $ABC$, до стороны $BC$, если $B_1C_1 = 18$ и $\angle BAC = 30^\circ$.
Вопрос 10
Дайте развернутый ответ. Пятиугольник $ABCDE$ вписан в окружность. Диагонали $AD$ и $BE$ пересекаются в точке $M$. Известно, что $BCDM$ — параллелограмм. а) Докажите, что $BC=DE$. б) Найдите длину стороны $AB$, если известно, что $DE=4$, $AD=7$, $BE=8$ и $AB>BC$.
Вопрос 11
Дайте развернутый ответ. Точки $P$, $Q$, $W$ делят стороны выпуклого четырёхугольника $ABCD$ в отношении $AP:PB=CQ:QB=CW:WD=3:4$, радиус окружности, описанной около треугольника $PQW$, равен 10, $PQ=16$, $QW=12$, угол $PWQ$ — острый. а) Докажите, что треугольник $PQW$ — прямоугольный. б) Найдите площадь четырёхугольника $ABCD$.
Вопрос 12
Дайте развернутый ответ. Диагонали равнобедренной трапеции $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ перпендикулярны. Окружность с диаметром $AD$ пересекает боковую сторону $CD$ в точке $M$, а окружность с диаметром $CD$ пересекает основание $AD$ в точке $N$. Отрезки $AM$ и $CN$ пересекаются в точке $P$. а) Докажите, что в четырёхугольник $ABCP$ можно вписать окружность. б) Найдите радиус этой окружности, если $BC=7$, $AD=17$.
Вопрос 13
Дайте развернутый ответ. В трапеции $ABCD$ угол $BAD$ прямой. Окружность, построенная на большем основании $AD$ как на диаметре, пересекает меньшее основание $BC$ в точках $C$ и $M$. а) Докажите, что $\angle BAM = \angle CAD$. б) Диагонали трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Найдите площадь треугольника $AOB$, если $AB = \sqrt{10}$, а $BC = 2BM$.
Вопрос 14
Дайте развернутый ответ. Диагонали равнобедренной трапеции $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ перпендикулярны. Окружность с диаметром $AD$ пересекает боковую сторону $CD$ в точке $M$, а окружность с диаметром $CD$ пересекает основание $AD$ в точке $N$. Отрезки $AM$ и $CN$ пересекаются в точке $P$. а) Докажите, что в четырёхугольник $ABCP$ можно вписать окружность. б) Найдите радиус этой окружности, если $BC=7$, $AD=23$.
Вопрос 15
Дайте развернутый ответ. Прямая, перпендикулярная стороне $BC$ ромба $ABCD$, пересекает его диагональ $AC$ в точке $M$, а диагональ $BD$ в точке $N$, причём $AM:MC=1:2$, $BN:ND=1:3$. а) Докажите, что прямая $MN$ делит сторону ромба $BC$ в отношении $1:4$. б) Найдите сторону ромба, если $MN=\sqrt{6}$.
Вопрос 16
Дайте развернутый ответ. В треугольнике $ABC$ точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ — середины сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно, $AH$ — высота, $\angle BAC = 30^\circ$, $\angle BCA = 45^\circ$. а) Докажите, что точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $H$ лежат на одной окружности. б) Найдите $A_1H$, если $BC = 4\sqrt{3}$.
Вопрос 17
Дайте развернутый ответ. Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает $AB$ и $AC$ в точках $C_1$ и $B_1$ соответственно. а) Докажите, что треугольник $ABC$ подобен треугольнику $AB_1C_1$. б) Вычислите длину стороны $BC$ и радиус данной окружности, если $\angle A = 45^\circ$, $B_1C_1 = 6$ и площадь треугольника $AB_1C_1$ в восемь раз меньше площади четырёхугольника $BCB_1C_1$.
Вопрос 18
Дайте развернутый ответ. Биссектрисы углов $BAD$ и $BCD$ равнобедренной трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $O$. На боковых сторонах $AB$ и $CD$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно так, что $AM=MO$, $CN=NO$. а) Докажите, что точки $M$, $O$ и $N$ лежат на одной прямой. б) Найдите отношение $AM:MB$, если $AO=CO$ и $BC:AD=17:31$.
Вопрос 19
Дайте развернутый ответ. В трапеции $ABCD$ основание $AD$ в два раза больше основания $BC$. Внутри трапеции взяли точку $M$ так, что углы $ABM$ и $DCM$ прямые. а) Докажите, что $AM=DM$. б) Найдите угол $BAD$, если угол $ADC$ равен $70^\circ$, а расстояние от точки $M$ до прямой $AD$ равно стороне $BC$.
Вопрос 20
Дайте развернутый ответ. На стороне $BC$ параллелограмма $ABCD$ выбрана точка $M$ такая, что $AM=MC$. а) Докажите, что центр вписанной в треугольник $AMD$ окружности лежит на диагонали $AC$. б) Найдите радиус вписанной в треугольник $AMD$ окружности, если $AB=5$, $BC=10$, $\angle BAD=60^\circ$.
Вопрос 21
Дайте развернутый ответ. Точка $E$ — середина боковой стороны $CD$ трапеции $ABCD$. На стороне $AB$ взяли точку $K$ так, что прямые $CK$ и $AE$ параллельны. Отрезки $CK$ и $BE$ пересекаются в точке $O$. а) Докажите, что $CO=KO$. б) Найдите отношение оснований трапеции $BC$ и $AD$, если площадь треугольника $BCK$ составляет $\frac{9}{100}$ площади трапеции $ABCD$.
Вопрос 22
Дайте развернутый ответ. Окружность с центром $O_1$ касается оснований $BC$ и $AD$ и боковой стороны $AB$ трапеции $ABCD$. Окружность с центром $O_2$ касается сторон $BC$, $CD$ и $AD$. Известно, что $AB=10$, $BC=9$, $CD=30$, $AD=39$. а) Докажите, что прямая $O_1O_2$ параллельна основаниям трапеции $ABCD$. б) Найдите $O_1O_2$.
Вопрос 23
Дайте развернутый ответ. В равнобедренной трапеции $ABCD$ основание $AD$ в два раза больше основания $BC$. а) Докажите, что высота $CH$ трапеции разбивает основание $AD$ на отрезки, один из которых втрое больше другого. б) Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей трапеции $ABCD$. Найдите расстояние от вершины $C$ до середины отрезка $OD$, если $BC=16$ и $AB=10$.
Вопрос 24
Дайте развернутый ответ. В прямоугольном треугольнике $ABC$ точка $M$ лежит на катете $AC$, а точка $N$ лежит на продолжении катета $BC$ за точку $C$, причём $CM=BC$ и $CN=AC$. а) Отрезки $CP$ и $CQ$ — медианы треугольников $ABC$ и $NCM$ соответственно. Докажите, что прямые $CP$ и $CQ$ перпендикулярны. б) Прямые $MN$ и $AB$ пересекаются в точке $K$, а прямые $BM$ и $AN$ — в точке $L$. Найдите $KL$, если $BC=1$, а $AC=5$.
Вопрос 25
Дайте развернутый ответ. В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $120^\circ$. Прямые, содержащие высоты $BM$ и $CN$ треугольника $ABC$, пересекаются в точке $H$. Точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$. а) Докажите, что $AH=AO$. б) Найдите площадь треугольника $AHO$, если $BC=3$, $\angle ABC=15^\circ$.
Вопрос 26
Дайте развернутый ответ. В треугольнике $ABC$ точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ — середины сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно, $AH$ — высота, $\angle BAC=60^\circ$, $\angle BCA=45^\circ$. а) Докажите, что точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $H$ лежат на одной окружности. б) Найдите $A_1H$, если $BC=2\sqrt{3}$.
Вопрос 27
Дайте развернутый ответ. Окружность с центром в точке $O$ касается сторон угла с вершиной $N$ в точках $A$ и $B$. Отрезок $BC$ — диаметр этой окружности. а) Докажите, что прямая $AC$ параллельна биссектрисе угла $ANB$. б) Найдите длину отрезка $NO$, если известно, что $AC=10$ и $AB=24$.
Вопрос 28
Дайте развернутый ответ. Две окружности касаются внутренним образом в точке $A$, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда $BC$ большей окружности касается меньшей в точке $P$. Хорды $AB$ и $AC$ пересекают меньшую окружность в точках $K$ и $M$ соответственно. а) Докажите, что прямые $KM$ и $BC$ параллельны. б) Пусть $L$ — точка пересечения отрезков $KM$ и $AP$. Найдите длину отрезка $AL$, если радиус большей окружности равен 34, а $BC=32$.
Вопрос 29
Дайте развернутый ответ. Сумма оснований трапеции равна 10, а её диагонали равны 6 и 8. а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны. б) Найдите высоту трапеции.
Вопрос 30
Дайте развернутый ответ. Биссектрисы углов $BAD$ и $BCD$ равнобедренной трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Через точку $O$ провели прямую, параллельную основаниям $BC$ и $AD$. а) Докажите, что отрезок этой прямой внутри трапеции равен её боковой стороне. б) Найдите отношение длин оснований трапеции, если $AO=CO$ и данная прямая делит сторону $AB$ в отношении $AM:MB=1:2$.
Подробнее о разделе 17

ЕГЭ (профиль) по математике — раздел 17 (банк заданий)

Раздел 17: подборка задач по соответствующему номеру/теме экзамена. На платформе EGEChat можно готовиться к ЕГЭ профильной математики с нуля и до 90+ баллов. В банке заданий собраны типовые и усложнённые задачи по всем темам экзамена: квадратные и рациональные уравнения и неравенства, логарифмы и показательные уравнения, производная и исследование функций, планиметрия и стереометрия, параметры и текстовые задачи. Ты можешь тренироваться по темам и номерам, анализировать ошибки и постепенно выходить на нужный балл.

ЕГЭ Математика — Профиль и База (2026, 2025)

Подготовка к ЕГЭ по математике: профильный уровень

Подготовка к ЕГЭ по математике включает изучение как профильного, так и базового уровня. На этой странице вы найдете задания ЕГЭ математика 2026 и 2025, бесплатные решения, варианты Ященко 36, а также официальные материалы ФИПИ.

Базовая математика ЕГЭ — задания, варианты, ответы

Мы собрали решения ЕГЭ по математике, справочные материалы, перевод первичных баллов в тестовые и варианты ЕГЭ с ответами. Доступны задания всех типов: от 1 до 19, включая задачи на геометрию, вероятности, графики и экономические задачи.

Решу ЕГЭ: математика профиль и база — решения онлайн

Также вы можете скачать демоверсию ЕГЭ математика 2026, варианты для печати, сборники Ященко и решения профильного уровня. Сервис EGEChat помогает тренироваться в онлайне и отслеживать прогресс по темам.

Ключевые темы по математике ЕГЭ

  • ЕГЭ математика 2026
  • ЕГЭ математика профиль
  • ЕГЭ математика база
  • решу ЕГЭ математика
  • варианты ЕГЭ математика
  • Ященко ЕГЭ математика
  • ФИПИ ЕГЭ математика
  • демоверсия ЕГЭ по математике
  • задания ЕГЭ математика профиль
  • перевод баллов ЕГЭ математика

Частые вопросы про ЕГЭ профильной математики

Сложно ли подготовиться к ЕГЭ профильной математики самостоятельно?

Самостоятельная подготовка возможна, если есть системный план: решать задачи по темам, регулярно повторять теорию и разбирать сложные задачи второй части. EGEChat помогает структурировать подготовку: ты видишь свои слабые темы и можешь целенаправленно их закрывать.

Чем отличается банк заданий профильной математики от базовой?

В профильной математике больше внимания уделяется алгебре, функциям, геометрии и сложным задачам. Появляются параметры, задачи на производную, стереометрию, оптимизацию. Банк заданий EGEChat учитывает эти особенности: для профильного уровня доступны расширенные разделы и задачи второй части с разбором.