Банк заданий ЕГЭ профильного уровня по математике
Здесь собраны задания по теме: Задание 15. Тренируйся на задачах первой и второй части, отрабатывай алгебру, тригонометрию, геометрию, параметры и текстовые задачи в формате ЕГЭ профильной математики 2025–2026 годов.
Дайте развернутый ответ. В правильной четырёхугольной пирамиде \(SABCD\) с основанием \(ABCD\) точка \(O\) — центр основания пирамиды, точка \(M\) — середина ребра \(SC\), точка \(K\) делит ребро \(BC\) в отношении \(BK:KC=3:1\), а \(AB=2\) и \(SO=\sqrt{14}\).
а) Докажите, что плоскость \(OMK\) параллельна прямой \(SA\).
б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость \(OMK\) пересекает грань \(SAD\).
Дайте развернутый ответ. Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды \(SABCD\) с основанием \(ABCD\) равны 4. Точка \(O\) — центр основания пирамиды. Плоскость, параллельная прямой \(SA\) и проходящая через точку \(O\), пересекает рёбра \(SC\) и \(SD\) в точках \(M\) и \(N\) соответственно. Точка \(N\) делит ребро \(SD\) в отношении \(SN:ND=1:3\).
Дайте развернутый ответ. В основании пирамиды \(SABCD\) лежит трапеция \(ABCD\) с основаниями \(AD\) и \(BC\), равными 8 и 3 соответственно. Точки \(M\) и \(N\) лежат на рёбрах \(SD\) и \(BC\) соответственно, причём \(SM:MD=3:2\), \(BN:NC=1:2\). Плоскость \(AMN\) пересекает ребро \(SC\) в точке \(K\).
Дайте развернутый ответ. В прямоугольном параллелепипеде \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) через середину \(M\) диагонали \(AC_1\) проведена плоскость \(\alpha\) перпендикулярно этой диагонали, \(AB=5\), \(BC=3\), \(AA_1=4\).
В правильной треугольной пирамиде \( SABC \) сторона основания \( AB \) равна 6,
а боковое ребро \( SA \) равно \( 4\sqrt{3} \). Точки \( M \) и \( N \) — середины рёбер \( SA \) и \( SB \) соответственно. Плоскость \( \alpha \) содержит прямую \( MN \) и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что плоскость \( \alpha \) делит медиану \( CE \) основания в отношении \( 5:1 \), считая от точки \( C \).
б) Найдите периметр многоугольника, являющегося сечением пирамиды \( SABC \) плоскостью \( \alpha \).
Дайте развернутый ответ. В правильной четырёхугольной пирамиде \(SABCD\) сторона основания \(AB\) равна \(8\), а боковое ребро \(SA\) равно \(7\). На рёбрах \(AB\) и \(SB\) отмечены точки \(M\) и \(K\) соответственно, причём \(AM=2\), \(SK=1\).
а) Докажите, что плоскость \(CKM\) перпендикулярна плоскости \(ABC\).
б) Найдите объём пирамиды \(BCKM\).
В правильной шестиугольной пирамиде \( SABCDEF \) точки \( M \) и \( K \) — середины боковых рёбер \( SA \) и \( SD \) соответственно.
а) Докажите, что прямые \( BM \) и \( CK \) лежат в одной плоскости.
б) Найдите высоту пирамиды, если \( AB=8 \), а угол между плоскостью \( BMC \) и плоскостью основания пирамиды равен \( 45^{\circ} \).
Дайте развернутый ответ. В правильной треугольной пирамиде \(SABC\) основанием \(ABC\) точки \(M\) и \(K\) — середины рёбер \(AB\) и \(SC\) соответственно. На продолжении ребра \(SB\) за точку \(S\) отмечена точка \(R\). Прямые \(RM\) и \(RK\) пересекают рёбра \(AS\) и \(BC\) в точках \(N\) и \(L\) соответственно, причём \(BL=3LC\).
Дайте развернутый ответ. В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки \(A\) и \(B\), а на окружности другого основания — точки \(B_1\) и \(C_1\), причём \(BB_1\) — образующая цилиндра, а отрезок \(AC_1\) пересекает ось цилиндра.
Дайте развернутый ответ.
Плоскость \( \alpha \) перпендикулярна плоскости основания \( ABCD \) правильной четырёхугольной пирамиды \( SABCD \) и пересекает ребро \( SA \) в точке \( K \). Сечение пирамиды плоскостью \( \alpha \) является правильным треугольником площадью \( 4\sqrt{3} \).
а) Докажите, что плоскость \( \alpha \) перпендикулярна прямой \( AC \).
б) В каком отношении точка \( K \) делит ребро \( SA \), считая от точки \( S \), если объём пирамиды равен \( 18\sqrt{3} \)?
Дайте развернутый ответ.
В правильной четырёхугольной пирамиде \(SABCD\) известно, что \(AB=1.\) Через точку \(O\) пересечения диагоналей основания перпендикулярно ребру \(SC\) провели плоскость \(\alpha.\)
а) Докажите, что плоскость \(\alpha\) проходит через вершины \(B\) и \(D.\)
б) В каком отношении плоскость \(\alpha\) делит ребро \(SC\), считая от вершины \(S,\) если площадь сечения равна \(\dfrac{\sqrt{2}}{3}?\)
Дайте развернутый ответ. Сечением прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) плоскостью \(\alpha\), содержащей прямую \(BD_1\) и параллельной прямой \(AC\), является ромб.
а) Докажите, что грань \(ABCD\) — квадрат.
б) Найдите угол между плоскостями \(\alpha\) и \(BCC_1\), если \(AA_1=6\), \(AB=4\).
Дайте развернутый ответ. В основании прямой призмы \( A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} \) лежит параллелограмм \( A B C D \). На рёбрах \( A_{1} B_{1} \), \( B_{1} C_{1} \) и \( B C \) отмечены точки \( M \), \( K \) и \( N \) соответственно, причём \( B_{1} K: K C_{1}=1: 2 \). Четырёхугольник \( A M K N \) — равнобедренная трапеция с основаниями 2 и 3.
а) Докажите, что точка \( N \) — середина ребра \( B C \).
б) Найдите площадь трапеции \( A M K N \), если объём призмы равен 12, а высота призмы равна 2.
Дайте развернутый ответ. В пирамиде \(ABCD\) рёбра \(DA\), \(DB\) и \(DC\) попарно перпендикулярны, а \(AB=BC=AC=5\sqrt{2}\).
а) Докажите, что эта пирамида правильная.
б) На рёбрах \(DA\) и \(DC\) отмечены точки \(M\) и \(N\) соответственно, причём \(DM:MA=DN:NC=2:3\). Найдите площадь сечения \(MNB\).
В правильной четырёхугольной пирамиде \( SABCD \) точка \( M \) — середина ребра \( AB \). Через точку \( M \) проведена плоскость \( \alpha \), параллельная плоскости\( SBC \) и пересекающая ребро \( SD \) в точке \( K \).
а) Докажите, что \( K \) — середина ребра \( SD \).
б) Найдите объём пирамиды \( SABCD \), если \( AB=24 \), а угол между прямой \( MK \) и плоскостью основания пирамиды равен \( 30^{\circ} \).
Дайте развернутый ответ. В основании прямой призмы \(ABCA_1B_1C_1\) лежит равнобедренный треугольник \(ABC\) с основанием \(AB\). Точка \(P\) делит ребро \(AB\) в отношении \(AP:PB=1:3\), а точка \(Q\) — середина ребра \(A_1C_1\). Через середину \(M\) ребра \(BC\) провели плоскость \(\alpha\), перпендикулярную отрезку \(PQ\).
Дайте развернутый ответ. В правильном тетраэдре \(ABCD\) точки \(M\) и \(N\) — середины рёбер \(AB\) и \(CD\) соответственно. Плоскость \(\alpha\) перпендикулярна прямой \(MN\) и пересекает ребро \(BC\) в точке \(K\).
а) Докажите, что прямая \(MN\) перпендикулярна рёбрам \(AB\) и \(CD\).
б) Найдите площадь сечения тетраэдра \(ABCD\) плоскостью \(\alpha\), если известно, что \(BK=1\), \(KC=3\).
В правильной шестиугольной пирамиде \( SABCDEF \) точки \( M \) и \( K \) — середины боковых рёбер \( SA \) и \( SD \) соответственно.
а) Докажите, что прямые \( BC \) и \( MK \) параллельны.
б) Найдите объём пирамиды \( MABF \), если \( AB=8 \), а угол между плоскостью\( BMC \) и плоскостью основания пирамиды \( SABCDEF \) равен \( 45^{\circ} \).
Дайте развернутый ответ.
В правильной четырёхугольной пирамиде \(SABCD\) сторона основания \(AB\) равна 8, а боковое ребро \(SA\) равно 7. На рёбрах \(AB\) и \(SB\) отмечены точки \(M\) и \(K\) соответственно, причём \(AM = 2\), \(SK = 1\). Плоскость \(\alpha\) перпендикулярна плоскости \(ABC\) и содержит точки \(M\) и \(K\).
Дайте развернутый ответ. На рёбрах \(AB\) и \(BC\) треугольной пирамиды \(ABCD\) отмечены точки \(M\) и \(N\) соответственно, причём \(AM:MB = CN:NB = 1:2\). Точки \(P\) и \(Q\) — середины рёбер \(DA\) и \(DC\) соответственно.
а) Докажите, что точки \(P\), \(Q\), \(M\) и \(N\) лежат в одной плоскости.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость \(PQM\) разбивает пирамиду.
Дайте развернутый ответ. В основании правильной треугольной пирамиды \(ABCD\) лежит треугольник \(ABC\) со стороной, равной 6. Боковое ребро пирамиды равно 5. На ребре \(AD\) отмечена точка \(T\) так, что \(AT:TD=2:1\). Через точку \(T\) параллельно прямым \(AC\) и \(BD\) проведена плоскость.
Дайте развернутый ответ. В правильной шестиугольной пирамиде \(SABCDEF\) сторона основания \(AB\) равна \(5\), а боковое ребро \(SA\) равно \(9\). Точка \(M\) лежит на ребре \(AB\), \(AM=1\), а точка \(K\) лежит на ребре \(SC\). Известно, что \(MK=KD\).
а) Докажите, что плоскость \(DKM\) перпендикулярна плоскости \(ABC\).
б) Найдите площадь треугольника \(DKM\).
Дайте развернутый ответ. В кубе \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) точки \(M\) и \(N\) — середины рёбер \(AB\) и \(AD\) соответственно.
Дайте развернутый ответ. В основании правильной треугольной пирамиды \(ABCD\) лежит треугольник \(ABC\) со стороной, равной 5. Боковое ребро пирамиды равно 9. На ребре \(AD\) отмечена точка \(T\) так, что \(AT:TD=1:2\). Через точку \(T\) параллельно прямым \(AC\) и \(BD\) проведена плоскость.
Дайте развернутый ответ. В правильной четырёхугольной пирамиде \(SABCD\) сторона основания \(AB\) равна 6, а боковое ребро \(SA\) равно 7. На рёбрах \(CD\) и \(SC\) отмечены точки \(N\) и \(K\) соответственно, причём \(DN:NC = SK:KC = 1:2\). Плоскость \(\alpha\) содержит прямую \(KN\) и параллельна прямой \(BC\).
а) Докажите, что плоскость \(\alpha\) параллельна прямой \(SA\).
б) Найдите угол между плоскостями \(\alpha\) и \(SBC\).
Дайте развернутый ответ. Основанием четырёхугольной пирамиды \(SABCD\) является прямоугольник \(ABCD\), причём \(AB=2\sqrt{2}\), \(BC=4\). Основанием высоты пирамиды является центр прямоугольника. Из вершин \(A\) и \(C\) опущены перпендикуляры \(AP\) и \(CQ\) на ребро \(SB\).
а) Докажите, что \(P\) — середина отрезка \(BQ\).
б) Найдите угол между гранями \(SBA\) и \(SBC\), если \(SD=4\).
Дайте развернутый ответ. В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки \(A\) и \(B\), а на окружности другого основания — точки \(B_1\) и \(C_1\), причём \(BB_1\) — образующая цилиндра, а отрезок \(AC_1\) пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что угол \(ABC_1\) прямой.
б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если \(AB=20\), \(BB_1=15\), \(B_1C_1=21\).
Дайте развернутый ответ. В правильной треугольной пирамиде \(SABC\) сторона основания \(AB\) равна 6, а боковое ребро \(SA\) равно \(\sqrt{21}\). На рёбрах \(AB\) и \(SB\) отмечены точки \(M\) и \(K\) соответственно, причём \(AM = 4\), \(SK:KB = 1:3\).
а) Докажите, что плоскость \(CKM\) перпендикулярна плоскости \(ABC\).
б) Найдите объём пирамиды \(BCKM\).
Дайте развернутый ответ. На ребре \(AA_1\) прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) взята точка \(E\) так, что \(A_1E:EA=1:2\), на ребре \(BB_1\) — точка \(F\) так, что \(B_1F:FB=1:5\), а точка \(T\) — середина ребра \(B_1C_1\). Известно, что \(AB=2\), \(AD=6\), \(AA_1=6\).
Дайте развернутый ответ.
В правильной треугольной призме \(ABC A_1 B_1 C_1\) отметили точки \(M\) и \(K\) на рёбрах \(AA_1\) и \(A_1 B_1\) соответственно. Известно, что \(A_1 M = 2 M A\), \(A_1 K = K B_1\). Через точки \(M\) и \(K\) провели плоскость \(\alpha\) перпендикулярно грани \(ABB_1 A_1\).
а) Докажите, что плоскость \(\alpha\) проходит через вершину \(C_1\).
б) Найдите площадь сечения призмы \(ABC A_1 B_1 C_1\) плоскостью \(\alpha\), если все рёбра призмы равны \(12\).
На платформе EGEChat можно готовиться к ЕГЭ профильной математики с нуля и до 90+ баллов. В банке заданий собраны типовые и усложнённые задачи по всем темам экзамена: квадратные и рациональные уравнения и неравенства, логарифмы и показательные уравнения, производная и исследование функций, планиметрия и стереометрия, параметры и текстовые задачи. Ты можешь тренироваться по темам и номерам, анализировать ошибки и постепенно выходить на нужный балл.
Подготовка к ЕГЭ по математике включает изучение как профильного, так и базового уровня. На этой странице вы найдете задания ЕГЭ математика 2026 и 2025, бесплатные решения, варианты Ященко 36, а также официальные материалы ФИПИ.
Мы собрали решения ЕГЭ по математике, справочные материалы, перевод первичных баллов в тестовые и варианты ЕГЭ с ответами. Доступны задания всех типов: от 1 до 20, включая задачи на геометрию, вероятности, статистику, графики и экономические задачи.
Также вы можете скачать демоверсию ЕГЭ математика 2026, варианты для печати, сборники Ященко и решения профильного уровня. Сервис EGEChat помогает тренироваться в онлайне и отслеживать прогресс по темам.
Самостоятельная подготовка возможна, если есть системный план: решать задачи по темам, регулярно повторять теорию и разбирать сложные задачи второй части. EGEChat помогает структурировать подготовку: ты видишь свои слабые темы и можешь целенаправленно их закрывать.
В профильной математике больше внимания уделяется алгебре, функциям, геометрии и сложным задачам. Появляются параметры, задачи на производную, стереометрию, оптимизацию. Банк заданий EGEChat учитывает эти особенности: для профильного уровня доступны расширенные разделы и задачи второй части с разбором.