Назад

Задание 14 — задание ЕГЭ профильной математики

Банк заданий ЕГЭ профильного уровня по математике

Здесь собраны задания по теме: Задание 14. Тренируйся на задачах первой и второй части, отрабатывай алгебру, тригонометрию, геометрию, параметры и текстовые задачи в формате ЕГЭ профильной математики 2025–2026 годов.

Вопрос 1
Дайте развернутый ответ. В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$ и $B$, а на окружности другого основания — точки $B_1$ и $C_1$, причём $BB_1$ — образующая цилиндра, а отрезок $AC_1$ пересекает ось цилиндра. а) Докажите, что угол $ABC_1$ прямой. б) Найдите угол между прямыми $BB_1$ и $AC_1$, если $AB=6$, $BB_1=15$, $B_1C_1=8$.
Вопрос 2
Дайте развернутый ответ. В основании пирамиды $SABCD$ лежит прямоугольник $ABCD$ со стороной $AB=5$ и диагональю $BD=9$. Все боковые рёбра пирамиды равны 5. На диагонали $BD$ основания $ABCD$ отмечена точка $E$, а на ребре $AS$ — точка $F$ так, что $SF=BE=4$. а) Докажите, что плоскость $CEF$ параллельна ребру $SB$. б) Плоскость $CEF$ пересекает ребро $SD$ в точке $Q$. Найдите расстояние от точки $Q$ до плоскости $ABC$.
Вопрос 3
Дайте развернутый ответ. В основании прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит параллелограмм $ABCD$ с углом $60^\circ$ при вершине $A$. На рёбрах $A_1B_1$, $B_1C_1$ и $BC$ отмечены точки $M$, $K$ и $N$ соответственно так, что четырёхугольник $AMKN$ — равнобедренная трапеция с основаниями 1 и 2. а) Докажите, что точка $M$ — середина ребра $A_1B_1$. б) Найдите высоту призмы, если её объём равен 5 и известно, что точка $K$ делит ребро $B_1C_1$ в отношении $B_1K:KC_1=2:3$.
Вопрос 4
Впишите правильный ответ. Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объём этой призмы, если объём отсечённой треугольной призмы равен 7.
Вопрос 5
Дайте развернутый ответ. На рёбрах $AC$, $AD$, $BD$ и $BC$ тетраэдра $ABCD$ отмечены точки $K$, $L$, $M$ и $N$ соответственно, причём $AK:KC=2:3$. Четырёхугольник $KLMN$ — квадрат со стороной 2. а) Докажите, что прямые $AB$ и $CD$ перпендикулярны. б) Найдите расстояние от вершины $B$ до плоскости $KLM$, если объём тетраэдра $ABCD$ равен 25.
Вопрос 6
Дайте развернутый ответ. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ точки $M$ и $N$ — середины рёбер $AB$ и $AD$ соответственно. а) Докажите, что прямые $B_1N$ и $CM$ перпендикулярны. б) Плоскость $\alpha$ проходит через точки $N$ и $B_1$ параллельно прямой $CM$. Найдите расстояние от точки $C$ до плоскости $\alpha$, если $B_1N=6$.
Вопрос 7
Дайте развернутый ответ. В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$ и $B$, а на окружности другого основания — точки $B_1$ и $C_1$, причём $BB_1$ — образующая цилиндра, а отрезок $AC_1$ пересекает ось цилиндра. а) Докажите, что угол $ABC_1$ прямой. б) Найдите расстояние от точки $B$ до прямой $AC_1$, если $AB=21$, $BB_1=12$, $B_1C_1=16$.
Вопрос 8
Дайте развернутый ответ. Дана правильная четырёхугольная призма $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$. Плоскость $\alpha$ проходит через вершины $B_{1}$ и $D$ и пересекает рёбра $A A_{1}$ и $C C_{1}$ в точках $M$ и $K$ соответственно. Известно, что четырёхугольник $M B_{1} K D$ — ромб. а) Докажите, что точка $M$ — середина ребра $A A_{1}$. б) Найдите высоту призмы $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$, если площадь её основания $A B C D$ равна 3, а площадь ромба $M B_{1} K D$ равна 6.
Вопрос 9
Дайте развернутый ответ. В основании прямой призмы $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ лежит параллелограмм $A B C D$. На рёбрах $A_{1} B_{1}$, $B_{1} C_{1}$ и $B C$ отмечены точки $M$, $K$ и $N$ соответственно, причём $B_{1} K: K C_{1}=1: 2$. Четырёхугольник $A M K N$ — равнобедренная трапеция с основаниями 2 и 3. а) Докажите, что точка $N$ — середина ребра $B C$. б) Найдите площадь трапеции $A M K N$, если объём призмы равен 12, а высота призмы равна 2.
Вопрос 10
Дайте развернутый ответ. В основании правильной треугольной пирамиды $ABCD$ лежит треугольник $ABC$ со стороной, равной 5. Боковое ребро пирамиды равно 9. На ребре $AD$ отмечена точка $T$ так, что $AT:TD=1:2$. Через точку $T$ параллельно прямым $AC$ и $BD$ проведена плоскость. а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником. б) Найдите площадь сечения.
Вопрос 11
Дайте развернутый ответ. Основанием четырёхугольной пирамиды $PABCD$ является трапеция $ABCD$, причём $\angle BAD + \angle ADC = 90^\circ$. Плоскости $PAB$ и $PCD$ перпендикулярны плоскости основания, $K$ — точка пересечения прямых $AB$ и $CD$. а) Докажите, что плоскости $PAB$ и $PCD$ перпендикулярны. б) Найдите объём пирамиды $KBCP$, если $AB=BC=CD=4$, а высота пирамиды $PABCD$ равна 9.
Вопрос 12
Дайте развернутый ответ. В правильной шестиугольной пирамиде $PABCDEF$ сторона основания $AB$ равна 5, а боковое ребро $PA$ равно 9. Точка $M$ лежит на ребре $PA$, $N$ лежит на ребре $PC$. Известно, что $PM = 3$, $PN = 6$. а) Докажите, что плоскость $BMN$ перпендикулярна плоскости $APC$. б) Найдите площадь треугольника $BMN$.
Вопрос 13
Дайте развернутый ответ. На ребре $SD$ правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ с основанием $ABCD$ отмечена точка $M$, причём $SM:MD=2:1$. Точки $P$ и $Q$ — середины рёбер $BC$ и $AD$ соответственно. а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью $MPQ$ является равнобедренной трапецией. б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость $MPQ$ разбивает пирамиду.
Вопрос 14
Дайте развернутый ответ. В правильной треугольной призме $ABC A_1B_1C_1$ сторона основания равна 6, а боковое ребро $AA_1$ равно 4. На рёбрах $AB$ и $AC$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно, причём $AM = AN = 2$. а) Точки $P$ и $Q$ — центры окружностей, описанных около треугольников $A_1B_1C_1$ и $ABC$ соответственно. Докажите, что прямая $MP$ содержит точку пересечения медиан треугольника $A_1BC$. б) Найдите расстояние от точки $M$ до плоскости $A_1BC$.
Вопрос 15
Дайте развернутый ответ. В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания $a$ равна 8, а боковое ребро $l$ равно 7. На рёбрах $AB$ и $BC$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно, причём $AM = \frac{1}{4}AB$, $BN = \frac{1}{4}BC$. а) Докажите, что плоскость $DMN$ перпендикулярна плоскости $ABC$. б) Найдите объём пирамиды $DMN$.
Вопрос 16
$\textbf{Дайте развернутый ответ. }$ В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания $AB$ равна 8, а боковое ребро $SA$ равно 7. На рёбрах $AB$ и $SB$ отмечены точки $M$ и $K$ соответственно, причём $AM = 2$, $SK = 1$. Плоскость $\alpha$ перпендикулярна плоскости $ABC$ и содержит точки $M$ и $K$. a) Докажите, что плоскость $\alpha$ содержит точку $C$. b) Найдите площадь сечения пирамиды $SABCD$ плоскостью $\alpha$.
Вопрос 17
Дайте развернутый ответ. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ через середину $M$ диагонали $AC_1$ проведена плоскость $\alpha$ перпендикулярно этой диагонали, $AB=5$, $BC=3$, $AA_1=4$. а) Докажите, что плоскость $\alpha$ содержит точку $D_1$. б) Найдите отношение, в котором плоскость $\alpha$ делит ребро $A_1B_1$.
Вопрос 18
Дайте развернутый ответ. В правильном тетраэдре $ABCD$ точки $M$ и $N$ — середины рёбер $AB$ и $CD$ соответственно. Плоскость $\alpha$ перпендикулярна прямой $MN$ и пересекает ребро $BC$ в точке $K$. а) Докажите, что прямая $MN$ перпендикулярна рёбрам $AB$ и $CD$. б) Найдите площадь сечения тетраэдра $ABCD$ плоскостью $\alpha$, если известно, что $BK=1$, $KC=3$.
Вопрос 19
Дайте развернутый ответ. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известны длины рёбер: $AB=6\sqrt{2}$, $AD=10$, $AA_1=16$. На рёбрах $AA_1$ и $BB_1$ отмечены точки $E$ и $F$ соответственно, причём $A_1E:EA=5:3$ и $B_1F:FB=5:11$. Точка $T$ — середина ребра $B_1C_1$. а) Докажите, что плоскость $EFT$ проходит через точку $D_1$. б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью $EFT$.
Вопрос 20
Дайте развернутый ответ. В правильной треугольной призме $ABC A_1 B_1 C_1$ известно, что $AB=2.$ Плоскость $\alpha$ проходит через вершины $A_1$ и $B$ и середину $M$ ребра $CC_1.$ а) Докажите, что сечение призмы $ABC A_1 B_1 C_1$ плоскостью $\alpha$ является равнобедренным треугольником. б) Найдите высоту призмы, если площадь сечения плоскостью $\alpha$ равна $6.$
Вопрос 21
Дайте развернутый ответ. В основании правильной треугольной пирамиды $ABCD$ лежит треугольник $ABC$ со стороной, равной 6. Боковое ребро пирамиды равно 5. На ребре $AD$ отмечена точка $T$ так, что $AT:TD=2:1$. Через точку $T$ параллельно прямым $AC$ и $BD$ проведена плоскость. а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником. б) Найдите площадь сечения.
Вопрос 22
Дайте развернутый ответ. Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ с основанием $ABCD$ равны 4. Точка $O$ — центр основания пирамиды. Плоскость, параллельная прямой $SA$ и проходящая через точку $O$, пересекает рёбра $SC$ и $SD$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Точка $N$ делит ребро $SD$ в отношении $SN:ND=1:3$. а) Докажите, что точка $M$ — середина ребра $SC$. б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость $OMN$ пересекает грань $SBC$.
Вопрос 23
Дайте развернутый ответ. Сечением прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью $\alpha$, содержащей прямую $BD_1$ и параллельной прямой $AC$, является ромб. а) Докажите, что грань $ABCD$ — квадрат. б) Найдите угол между плоскостями $\alpha$ и $BCC_1$, если $AA_1=6$, $AB=4$.
Вопрос 24
Дайте развернутый ответ. В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ с основанием $ABCD$ точка $O$ — центр основания пирамиды, точка $M$ — середина ребра $SC$, точка $K$ делит ребро $BC$ в отношении $BK:KC=3:1$, а $AB=2$ и $SO=\sqrt{14}$. а) Докажите, что плоскость $OMK$ параллельна прямой $SA$. б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость $OMK$ пересекает грань $SAD$.
Вопрос 25
Дайте развернутый ответ. В правильной треугольной пирамиде сторона основания $a$ равна 6, а боковое ребро $l$ равно $5$. На рёбрах $AB$ и $AC$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно, причём $AM = 2$, $AN = 3$. а) Докажите, что плоскость $BMN$ перпендикулярна плоскости $ABC$. б) Найдите объём пирамиды $AMN$.
Вопрос 26
Дайте развернутый ответ. В правильной треугольной пирамиде $SABC$ основанием $ABC$ точки $M$ и $K$ — середины рёбер $AB$ и $SC$ соответственно. На продолжении ребра $SB$ за точку $S$ отмечена точка $R$. Прямые $RM$ и $RK$ пересекают рёбра $AS$ и $BC$ в точках $N$ и $L$ соответственно, причём $BL=3LC$. а) Докажите, что отрезки $MK$ и $NL$ пересекаются. б) Найдите отношение $AN:NS$.
Вопрос 27
Дайте развернутый ответ. В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания $AB$ равна 4, а боковое ребро $SA$ равно 7. На рёбрах $CD$ и $SC$ отмечены точки $N$ и $K$ соответственно, причём $DN:NC = SK:KC = 1:3$. Плоскость $\alpha$ содержит прямую $KN$ и параллельна прямой $BC$. а) Докажите, что плоскость $\alpha$ параллельна прямой $SA$. б) Найдите угол между плоскостями $\alpha$ и $SBC$.
Вопрос 28
Дайте развернутый ответ. В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания $AB$ равна 6, а боковое ребро $SA$ равно 7. На рёбрах $CD$ и $SC$ отмечены точки $N$ и $K$ соответственно, причём $DN:NC = SK:KC = 1:2$. Плоскость $\alpha$ содержит прямую $KN$ и параллельна прямой $BC$. а) Докажите, что плоскость $\alpha$ параллельна прямой $SA$. б) Найдите угол между плоскостями $\alpha$ и $SBC$.
Вопрос 29
Дайте развернутый ответ. В правильной треугольной пирамиде $SABC$ с основанием $ABC$ точки $M$ и $K$ — середины рёбер $AB$ и $SC$ соответственно, а точки $N$ и $L$ отмечены на рёбрах $SA$ и $BC$ соответственно так, что отрезки $MK$ и $NL$ пересекаются, а $AN=3NS$. а) Докажите, что прямые $MN$, $KL$ и $SB$ пересекаются в одной точке. б) Найдите отношение $BL:LC$.
Вопрос 30
Дайте развернутый ответ. В основании прямой призмы $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ лежит равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD=3$ и $BC=2.$ Точка $M$ делит ребро $A_1 D_1$ в отношении $A_1 M:MD_1 = 1:2,$ а точка $K$ — середина ребра $DD_1.$ а) Докажите, что плоскость $MKC$ делит отрезок $BB_1$ пополам. б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью $MKC,$ если $\angle MKC=90^\circ,$ $\angle ADC=60^\circ.$
Подробнее о разделе 14

ЕГЭ (профиль) по математике — раздел 14 (банк заданий)

Раздел 14: подборка задач по соответствующему номеру/теме экзамена. На платформе EGEChat можно готовиться к ЕГЭ профильной математики с нуля и до 90+ баллов. В банке заданий собраны типовые и усложнённые задачи по всем темам экзамена: квадратные и рациональные уравнения и неравенства, логарифмы и показательные уравнения, производная и исследование функций, планиметрия и стереометрия, параметры и текстовые задачи. Ты можешь тренироваться по темам и номерам, анализировать ошибки и постепенно выходить на нужный балл.

ЕГЭ Математика — Профиль и База (2026, 2025)

Подготовка к ЕГЭ по математике: профильный уровень

Подготовка к ЕГЭ по математике включает изучение как профильного, так и базового уровня. На этой странице вы найдете задания ЕГЭ математика 2026 и 2025, бесплатные решения, варианты Ященко 36, а также официальные материалы ФИПИ.

Базовая математика ЕГЭ — задания, варианты, ответы

Мы собрали решения ЕГЭ по математике, справочные материалы, перевод первичных баллов в тестовые и варианты ЕГЭ с ответами. Доступны задания всех типов: от 1 до 19, включая задачи на геометрию, вероятности, графики и экономические задачи.

Решу ЕГЭ: математика профиль и база — решения онлайн

Также вы можете скачать демоверсию ЕГЭ математика 2026, варианты для печати, сборники Ященко и решения профильного уровня. Сервис EGEChat помогает тренироваться в онлайне и отслеживать прогресс по темам.

Ключевые темы по математике ЕГЭ

  • ЕГЭ математика 2026
  • ЕГЭ математика профиль
  • ЕГЭ математика база
  • решу ЕГЭ математика
  • варианты ЕГЭ математика
  • Ященко ЕГЭ математика
  • ФИПИ ЕГЭ математика
  • демоверсия ЕГЭ по математике
  • задания ЕГЭ математика профиль
  • перевод баллов ЕГЭ математика

Частые вопросы про ЕГЭ профильной математики

Сложно ли подготовиться к ЕГЭ профильной математики самостоятельно?

Самостоятельная подготовка возможна, если есть системный план: решать задачи по темам, регулярно повторять теорию и разбирать сложные задачи второй части. EGEChat помогает структурировать подготовку: ты видишь свои слабые темы и можешь целенаправленно их закрывать.

Чем отличается банк заданий профильной математики от базовой?

В профильной математике больше внимания уделяется алгебре, функциям, геометрии и сложным задачам. Появляются параметры, задачи на производную, стереометрию, оптимизацию. Банк заданий EGEChat учитывает эти особенности: для профильного уровня доступны расширенные разделы и задачи второй части с разбором.