Задание 10 — задание ЕГЭ профильной математики

Впишите правильный ответ. Автомобиль, движущийся со скоростью \(v_0 = 15\) м/с, начал торможение с постоянным ускорением \(a = 2\) м/с\(^2\). За \(t\) секунд после начала торможения он прошёл путь \(S = v_0 t - \dfrac{at^2}{2}\) (м). Определите время, прошедшее с момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 36 метров. Ответ дайте в секундах.

Впишите правильный ответ. В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём меняется по закону \( H(t) = a t^2 + b t + H_0 \), где \( H \) — высота столба воды в метрах, \( H_0 = 8 \) м — начальный уровень воды, \( a = \frac{1}{72} \) м/мин\(^2\) и \( b = -\frac{2}{3} \) м/мин — постоянные, \( t \) — время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. Сколько минут вода будет вытекать из бака?

Впишите правильный ответ. Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой \( 185 \) МГц. Скорость погружения батискафа \( v \) (в м/с) вычисляется по формуле \( v = c \frac{f - f_0}{f + f_0} \), где \( c = 1500 \) м/с — скорость звука в воде, \( f_0 \) — частота испускаемых импульсов (в МГц), \( f \) — частота отражённого от дна сигнала (в МГц), регистрируемая приёмником. Определите частоту отражённого сигнала, если скорость погружения батискафа равна \( 20 \) м/с. Ответ дайте в МГц.

Впишите правильный ответ.

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением \( a \) (в \( \text{км}/\text{ч}^2 \)). Скорость \( v \) (в км/ч) вычисляется по формуле \( v=\sqrt{2la} \), где \( l \) — пройденный автомобилем путь (в км). Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав \( 0{,}5 \) км, развить скорость \( 70 \) км/ч. Ответ дайте в \( \text{км}/\text{ч}^2 \).

Водолазный колокол, содержащий \( υ=3 \) моль воздуха объёмом \( {V}_{1}=80л \), медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма \( {V}_{2} \) (в л). Работа, совершаемая
водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле \( A=\alpha υT{\log }_{2}\frac{{V}_{1}}{{V}_{2}} \),
где \( \alpha =5,8\frac{Дж}{моль\cdot К} \) — постоянная, \( T=300К \) — температура воздуха. Найдите, какой объём \( {V}_{2} \) будет занимать воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 20 880 Дж. Ответ дайте в литрах.

Впишите правильный ответ. Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону \( \varphi = \omega t + \dfrac{\beta t^2}{2} \), где \( t \) — время в минутах, прошедшее после начала работы лебёдки, \( \omega = 15 \, \text{град. / мин} \) — начальная угловая скорость вращения катушки, а \( \beta = 6 \, \text{град. / мин}^2 \) — угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Определите время, прошедшее после начала работы лебёдки, если известно, что за это время угол намотки \( \varphi \) достиг \( 2250^\circ \). Ответ дайте в минутах.

Впишите правильный ответ.

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением \(a\) (в км/ч\(^2\)). Скорость \(v\) (в км/ч) вычисляется по формуле \(v=\sqrt{2la},\) где \(l\) — пройденный автомобилем путь (в км). Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав 0,3 км, развить скорость 120 км/ч. Ответ дайте в км/ч\(^2\).

Впишите правильный ответ. Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 299 МГц. Скорость погружения батискафа \( v \) (в м/с) вычисляется по формуле \( v = c \cdot \dfrac{f - f_0}{f + f_0} \), где \( c = 1500 \, \text{м} / \text{с} \) — скорость звука в воде, \( f \) — частота испускаемых импульсов (в МГц), \( f_0 \) — частота отражённого от дна сигнала (в МГц), регистрируемая приёмником. Определите частоту отражённого сигнала, если скорость погружения батискафа равна 5 м/с. Ответ дайте в МГц.

Впишите правильный ответ. В розетку электросети подключена электрическая духовка, сопротивление которой составляет \( R_1 = 36 \) Ом. Параллельно с ней в розетку предполагается подключить электрообогреватель, сопротивление которого \( R_2 \) (в Ом). При параллельном соединении двух электроприборов с сопротивлениями \( R_1 \) и \( R_2 \) их общее сопротивление \( R \) вычисляется по формуле \( R = \dfrac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} \). Для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 20 Ом. Определите наименьшее возможное сопротивление электрообогревателя. Ответ дайте в омах.

Впишите правильный ответ. В ходе распада радиоактивного изотопа его масса \( m \) (в мг) уменьшается по закону \( m=m_0 \cdot 2^{-\frac{\tau}{T}} \), где \( m_0 \) — начальная масса изотопа (в мг), \( \tau \) — время (в минутах), прошедшее от начального момента, \( T \) — период полураспада (в минутах). В начальный момент времени масса изотопа равна 20 мг. Период его полураспада составляет 10 минут. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 5 мг.

Впишите правильный ответ. Два тела, массой \( m=9 \) кг каждое, движутся с одинаковой скоростью \( v=6 \) м/с под углом \( 2\alpha \) друг к другу. Энергия (в Дж), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, вычисляется по формуле \( Q=mv^2 \sin^2 \alpha \), где \( m \) — масса (в кг), \( v \) — скорость (в м/с). Найдите, под каким углом \( 2\alpha \) должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилась энергия, равная 81 Дж. Ответ дайте в градусах.

Впишите правильный ответ. Водолазный колокол, содержащий \(\upsilon=3\) моль воздуха объёмом \(V_1=16\) л, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма \(V_2\) (в л). Работа (в Дж), совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле \(A=\alpha\upsilon T\log_{2}\dfrac{V_1}{V_2}\), где \(\alpha=9,9\) \(\dfrac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot\text{К}}\) — постоянная, \(T=300\) К — температура воздуха. Найдите, какой объём \(V_2\) будет занимать воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа 26 730 Дж. Ответ дайте в литрах.

Водолазный колокол, содержащий \( p= \) моль воздуха при давлении
\( {p}_{1}=11 \) атмосфер, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления \( {p}_{2} \) (в атмосферах). Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле \( A=\alpha υT{\log }_{2}\frac{{p}_{2}}{{p}_{1}} \), где \( \alpha =5,8\frac{Дж}{моль\cdot K} \) — постоянная, \( T=300K \) — температура воздуха. Найдите давление \( {p}_{2} \) воздуха в колоколе,
если при сжатии воздуха была совершена работа в 26 100 Дж.
Ответ дайте в атмосферах.

Впишите правильный ответ.

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением \( a=2500\,\text{км}/\text{ч}^2 \). Скорость \( v \) (в км/ч) вычисляется по формуле \( v=\sqrt{2la} \), где \( l \) — пройденный автомобилем путь (в км). Найдите, сколько километров проедет автомобиль к моменту, когда он разгонится до скорости 50 км/ч.

Расстояние от наблюдателя, находящегося на небольшой высоте \( h \) (в километрах) над землёй, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле \( l=\sqrt{2Rh} \), где \( R=6400\text{ км} \) — радиус Земли. С какой высоты горизонт виден на расстоянии 48 километров? Ответ дайте в километрах.

Впишите правильный ответ. Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью \(v_0 = 60\) км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением \(a = 32\) км/ч\(^2\). Расстояние (в км) от мотоциклиста до города вычисляется по формуле \(S = v_0 t + \dfrac{at^2}{2}\), где \(t\) — время (в часах), прошедшее после выезда из города. Определите время, прошедшее после выезда мотоциклиста из города, если известно, что за это время он удалился от города на 154 км. Ответ дайте в минутах.

Впишите правильный ответ. Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением \( a=3500 \, \text{км} / \text{ч}^2 \). Скорость \( v \) (в км/ч) вычисляется по формуле \( v=\sqrt{2la} \), где \( l \) — пройденный автомобилем путь (в км). Найдите, сколько километров проедет автомобиль к моменту, когда он разгонится до скорости 70 км/ч.

Водолазный колокол, содержащий \( υ=6 \) моль воздуха объёмом \( {V}_{1}=56л \), медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма \( {V}_{2} \) (в л). Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле \( A=\alpha υT{\log }_{2}\frac{{V}_{1}}{{V}_{2}} \), где \( \alpha =5,8\frac{Дж}{моль\cdot К} \) — постоянная, \( T=300К \) — температура воздуха. Найдите, какой объём \( {V}_{2} \) будет занимать воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 31 320 Дж. Ответ дайте в литрах.

Впишите правильный ответ. Два тела, массой \( m=6 \) кг каждое, движутся с одинаковой скоростью \( v=9 \) м/с под углом \( 2\alpha \) друг к другу. Энергия (в Дж), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, вычисляется по формуле \( Q=mv^2 \sin^2 \alpha \), где \( m \) — масса (в кг), \( v \) — скорость (в м/с). Найдите, под каким углом \( 2\alpha \) должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилась энергия, равная 243 Дж. Ответ дайте в градусах.

Впишите правильный ответ. Водолазный колокол, содержащий \(\upsilon=6\) моль воздуха при давлении \(p_1 = 2{,}5\) атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления \(p_2\) (в атмосферах). Работа (в джоулях), совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле \(A=\alpha\upsilon T \log_2 \frac{p_2}{p_1}\), где \(\alpha=5{,}75 \dfrac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{K}}\) — постоянная, \(T=300 \, \text{K}\) — температура воздуха. Найдите, какое давление \(p_2\) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 10 350 Дж. Ответ дайте в атмосферах.

Впишите правильный ответ. Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с фокусным расстоянием \( f = 36 \) см. Расстояние \( d_1 \) от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 30 см до 50 см, а расстояние \( d_2 \) от линзы до экрана — в пределах от 160 см до 180 см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение \( \frac{1}{d_1} + \frac{1}{d_2} = \frac{1}{f} \). На каком наименьшем расстоянии от линзы нужно поместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким? Ответ дайте в сантиметрах.

Впишите правильный ответ. Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением \( a \) (в км/ч\(^2\)). Скорость \( v \) (в км/ч) вычисляется по формуле \( v=\sqrt{2la} \), где \( l \) — пройденный автомобилем путь (в км). Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав 1 км, приобрести скорость 120 км/ч. Ответ дайте в км/ч\(^2\).

Впишите правильный ответ. Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону \( \varphi = \omega t + \dfrac{\beta t^2}{2} \), где \( t \) — время в минутах, прошедшее после начала работы лебёдки, \( \omega = 50 \, \text{град. / мин} \) — начальная угловая скорость вращения катушки, а \( \beta = 4 \, \text{град. / мин}^2 \) — угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Определите время, прошедшее после начала работы лебёдки, если известно, что за это время угол намотки \( \varphi \) достиг \( 2500^\circ \). Ответ дайте в минутах.

Впишите правильный ответ. При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу со скоростями \(u\) и \(v\) (в м/с) соответственно, частота звукового сигнала \(f\) (в Гц), регистрируемого приёмнико��, вычисляется по формуле \(f = f_0 \cdot \dfrac{c+u}{c-v}\), где \(f_0 = 160\) Гц — частота исходного сигнала, \(c\) — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а \(u=8\) м/с и \(v=11\) м/с — скорости источника и приёмника относительно среды. При какой скорости распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике будет равна 170 Гц? Ответ дайте в м/с.

Впишите правильный ответ. Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью \(v_0 = 60 \, \text{км/ч}\), выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением \(a = 18 \, \text{км/ч}^2\). Расстояние (в км) от мотоциклиста до города вычисляется по формуле \(S = v_0 t + \dfrac{at^2}{2}\), где \(t\) — время в часах, прошедшее после выезда из города. Определите время, прошедшее после выезда мотоциклиста из города, если известно, что за это время он удалился от города на 21 км. Ответ дайте в минутах.

Впишите правильный ответ. Автомобиль, движущийся со скоростью \(v_0 = 24 \, \text{м/с}\), начал торможение с постоянным ускорением \(a = 3 \, \text{м/с}^2\). За \(t\) секунд после начала торможения он прошёл путь \(S = v_0 t - \dfrac{at^2}{2}\) (м). Определите время, прошедшее с момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 90 метров. Ответ дайте в секундах.

Впишите правильный ответ. Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью \( v_0 = 90 \) км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением \( a = 16 \) км/ч\(^2\). Расстояние (в км) от мотоциклиста до города вычисляется по формуле \( S = v_0 t + \dfrac{at^2}{2} \), где \( t \) — время в часах, прошедшее после выезда из города. Определите время, прошедшее после выезда мотоциклиста из города, если известно, что за это время он удалился от города на 72 км. Ответ дайте в минутах.

Впишите правильный ответ. Водолазный колокол, содержащий \(\upsilon=3\) моль воздуха при давлении \(p_1=1{,}4\) атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления \(p_2\) (в атмосферах). Работа \(A\) (в Дж), совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле \(A=\alpha\upsilon T\log_{2}\frac{p_2}{p_1}\), где \(\alpha=10{,}9\) \(\frac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot\text{K}}\) — постоянная, \(T=300\) K — температура воздуха. Найдите давление \(p_2\) воздуха в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа 29 430 Дж. Ответ дайте в атмосферах.

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением \(a=32\,000\,\text{км}/\text{ч}^2\). Скорость \(v\) (в км/ч) вычисляется по формуле \(v=\sqrt{2la}\), где \(l\) — пройденный автомобилем путь (в км). Найдите, сколько километров проедет автомобиль к моменту, когда он разгонится до скорости 160 км/ч.

Впишите правильный ответ. Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью \( v_0 = 70 \) км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением \( a = 16 \) км/ч\(^2\). Расстояние (в км) от мотоциклиста до города вычисляется по формуле \( S = v_0 t + \dfrac{at^2}{2} \), где \( t \) — время в часах, прошедшее после выезда из города. Определите время, прошедшее после выезда мотоциклиста из города, если известно, что за это время он удалился от города на 123 км. Ответ дайте в минутах.