Основные типы уравнений в задаче 9
На ОГЭ в задаче 9 встречаются четыре основных типа уравнений:
- Линейные уравнения — содержат переменную в первой степени
- Квадратные уравнения — содержат переменную во второй степени
- Уравнения с дробями — содержат переменную в знаменателе
- Уравнения вида произведение = 0 — раскладываются на множители
Алгоритм решения задачи номер 9
Шаг 1. Прочитайте уравнение и определите его тип.
Шаг 2. Если есть дроби, найдите область допустимых значений (ОДЗ).
Шаг 3. Приведите уравнение к стандартному виду (например, $ax^2 + bx + c = 0$).
Шаг 4. Решите уравнение, используя подходящий метод.
Шаг 5. Проверьте, что найденные корни не нарушают ОДЗ.
Шаг 6. Если корней несколько, выберите нужный (обычно меньший или больший).
Линейные уравнения
Линейное уравнение имеет вид $ax + b = 0$, где $a \neq 0$.
Решение: Перенесите число в правую часть и разделите на коэффициент при $x$:
\[
ax = -b \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{b}{a}
\]
Пример: Решите $4(x+10) = -1$.
\[
\begin{aligned}
&\text{Раскрываем скобки:} &&4x + 40 = -1,\\
&\text{Переносим 40 вправо:} &&4x = -1 - 40,\\
&\text{Считаем:} &&4x = -41,\\
&\text{Делим на 4:} &&x = -\frac{41}{4} = -10{,}25.
\end{aligned}
\]
Квадратные уравнения
Квадратное уравнение имеет вид $ax^2 + bx + c = 0$, где $a \neq 0$.
Способ 1: Вынесение общего множителя
Если уравнение содержит общий множитель, вынесите его и используйте свойство: если произведение равно нулю, то хотя бы один множитель равен нулю.
Если $A \cdot B = 0$, то $A = 0$ или $B = 0$.
Пример: Решите $5x^2 + 20x = 0$.
\[
\begin{aligned}
&\text{Вынесем } 5x: &&5x(x + 4) = 0,\\
&\text{Применим свойство нулевого произведения:} &&5x = 0 \quad \text{или} \quad x + 4 = 0,\\
&\text{Решаем каждое:} &&x = 0 \quad \text{или} \quad x = -4,\\
&\text{Выбираем меньший:} &&x_{\text{min}} = -4.
\end{aligned}
\]
Способ 2: Формула дискриминанта
Если уравнение не раскладывается на множители, используйте формулу через дискриминант:
\[
D = b^2 - 4ac
\]
Если $D > 0$, уравнение имеет два корня:
\[
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
\]
Пример: Решите $x^2 + 8x + 15 = 0$.
\[
\begin{aligned}
&\text{Вычислим дискриминант:} &&D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 - 60 = 4,\\
&\text{Найдём корни:} &&x_{1,2} = \frac{-8 \pm 2}{2},\\
&\text{Первый корень:} &&x_1 = \frac{-8 + 2}{2} = -3,\\
&\text{Второй корень:} &&x_2 = \frac{-8 - 2}{2} = -5,\\
&\text{Выбираем меньший:} &&x_{\text{min}} = -5.
\end{aligned}
\]
Уравнения вида произведение = 0
Если уравнение записано как произведение скобок, равное нулю, каждую скобку приравняйте к нулю.
Пример: Решите $(x-1)(-x-4) = 0$.
\[
\begin{aligned}
&\text{Каждый множитель равен нулю:} &&x - 1 = 0 \quad \text{или} \quad -x - 4 = 0,\\
&\text{Решаем:} &&x = 1 \quad \text{или} \quad x = -4,\\
&\text{Выбираем меньший:} &&x_{\text{min}} = -4.
\end{aligned}
\]
Уравнения с дробями
Если в уравнении есть дроби, сначала найдите область допустимых значений (ОДЗ) — значения, при которых знаменатели не равны нулю.
Пример: Решите $\displaystyle \frac{6}{x+5} = -5$.
\[
\begin{aligned}
&\text{ОДЗ: } x + 5 \neq 0 \Rightarrow x \neq -5,\\
&\text{Перекрёстное умножение:} &&6 = -5(x + 5),\\
&\text{Раскрываем скобки:} &&6 = -5x - 25,\\
&\text{Переносим:} &&5x = -25 - 6,\\
&\text{Считаем:} &&5x = -31,\\
&\text{Делим:} &&x = -\frac{31}{5} = -6{,}2.\\
&\text{Проверка ОДЗ:} &&-6{,}2 \neq -5 \quad \checkmark
\end{aligned}
\]
Мини-словарь
Корень уравнения — значение переменной, при котором уравнение становится верным равенством.
ОДЗ (область допустимых значений) — значения переменной, при которых все выражения в уравнении определены (например, знаменатели не равны нулю).
Дискриминант — число $D = b^2 - 4ac$, определяющее количество корней квадратного уравнения.
Множитель — число или выражение, на которое умножают другие числа или выражения.
Пример 1: Квадратное уравнение с вынесением множителя
Задача: Найдите корень уравнения $5x^2 + 20x = 0$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.
Решение
\[
\begin{aligned}
\text{Шаг 1.}&\quad 5x^2 + 20x = 0,\\
\text{Шаг 2.}&\quad 5x\,(x + 4) = 0,\\
\text{Шаг 3.}&\quad 5x = 0 \quad\text{или}\quad x + 4 = 0,\\
\text{Шаг 4.}&\quad x = 0,\quad x = -4,\\
\text{Шаг 5.}&\quad \min\{0,\,-4\} = -4.
\end{aligned}
\]
Ответ: $-4$
Пример 2: Квадратное уравнение с переносом
Задача: Решите уравнение $3x^2 = 12x$. Если оно имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из них.
Решение
\[
\begin{aligned}
&\text{Шаг 1. Приведение к виду «многочлен = 0»:} &&3x^2 = 12x \;\Longrightarrow\; 3x^2 - 12x = 0.\\
&\text{Шаг 2. Вынесение общего множителя:} &&3x^2 - 12x = 0 \;\Longrightarrow\; 3x(x - 4) = 0.\\
&\text{Шаг 3. Применение свойства нулевого произведения:} &&3x = 0\quad\text{или}\quad x - 4 = 0.\\
&\text{Шаг 4. Решение простых уравнений:} &&x = 0\quad\text{или}\quad x = 4.\\
&\text{Шаг 5. Выбор меньшего корня:} &&\min\{0,4\} = 0.
\end{aligned}
\]
Ответ: $0$
Пример 3: Квадратное уравнение через дискриминант
Задача: Решите уравнение $x^{2}+8x+15=0$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.
Решение
Шаг 1. Вычислим дискриминант:
\[
D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4\cdot1\cdot15 = 64 - 60 = 4 = 2^2.
\]
Шаг 2. Применим формулу корней квадратного уравнения:
\[
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
= \frac{-8 \pm 2}{2}.
\]
Шаг 3. Найдём оба корня:
\[
\begin{cases}
x_1 = \frac{-8 + 2}{2} = \frac{-6}{2} = -3,\\
x_2 = \frac{-8 - 2}{2} = \frac{-10}{2} = -5.
\end{cases}
\]
Шаг 4. Из корней $-3$ и $-5$ меньший — это $-5$.
Ответ: $-5$
Пример 4: Уравнение вида произведение = 0
Задача: Решите уравнение $(x-1)(-x-4)=0$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.
Решение
\[
\begin{aligned}
\text{Шаг 1.}&\;(x-1)(-x-4)=0,\\
\text{Шаг 2.}&\;\text{Каждый множитель может быть равен нулю:}\\
\text{Шаг 3.}&\;\begin{cases}
x-1=0,\\
-x-4=0;
\end{cases}\\
\text{Шаг 4.}&\;x=1,\;x=-4,\\
\text{Шаг 5.}&\;\text{Выбираем меньший корень: }\min\{1,-4\} = -4.
\end{aligned}
\]
Ответ: $-4$
Пример 5: Уравнение с дробью
Задача: Найдите корень уравнения $\displaystyle \frac{6}{x+5} = -5$.
Решение
Шаг 1. Область допустимых значений (ОДЗ): $x+5 \neq 0$, значит $x \neq -5$.
Шаг 2. Исходное уравнение: $\displaystyle \frac{6}{x+5} = -5$.
Шаг 3. Применим перекрёстное умножение: $6 = -5 \cdot (x+5)$.
Шаг 4. Раскрываем скобки: $6 = -5x - 25$.
Шаг 5. Решаем линейное уравнение: $5x = -25 - 6 = -31$.
Шаг 6. Делим на 5: $x = -\displaystyle\frac{31}{5} = -6{,}2$.
Шаг 7. Проверяем ОДЗ: $-6{,}2 \neq -5$ ✓
Ответ: $-6{,}2$
Пример 6: Линейное уравнение со скобками
Задача: Найдите корень уравнения $4(x+10)=-1$.
Решение
\[
\begin{aligned}
&\text{Шаг 1. Раскрываем скобки:}&4(x+10)&=4x+40,\\
&\text{Шаг 2. Составляем новое уравнение:}&4x+40&=-1,\\
&\text{Шаг 3. Переносим 40 в правую часть:}&4x&=-1-40,\\
&\text{Шаг 4. Считаем правую часть:}&4x&=-41,\\
&\text{Шаг 5. Делим на 4:}&x&=-\displaystyle\frac{41}{4}=-10{,}25.
\end{aligned}
\]
Ответ: $-10{,}25$