Задача номер 8 на ОГЭ — это задачи на вычисление выражений со степенями. Здесь нужно применять правила работы с показателями степеней и выполнять арифметические операции. Эти задачи требуют внимательности и знания формул, но решаются пошагово. За правильное решение можно получить 1 балл.
В этой статье мы разберём основные правила, которые помогут вам быстро и безошибочно решать такие задачи.
Шаг 1. Прочитайте выражение внимательно и определите, какие правила нужно применить.
Шаг 2. Упростите степени степеней, используя правило \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \).
Шаг 3. Упростите произведения и частные степеней с одинаковым основанием.
Шаг 4. Если в выражении несколько переменных, упростите каждую отдельно.
Шаг 5. Подставьте заданные значения переменных и вычислите результат.
Задача: Найдите значение выражения \( \displaystyle \frac{a^9 \cdot a^{12}}{a^{18}} \) при \( a = 4 \).
Шаг 1. Упростим произведение в числителе, используя правило умножения степеней:
\[ a^9 \cdot a^{12} = a^{9+12} = a^{21} \]
Шаг 2. Теперь разделим полученную степень на степень в знаменателе:
\[ \frac{a^{21}}{a^{18}} = a^{21-18} = a^3 \]
Шаг 3. Подставим значение \( a = 4 \):
\[ a^3 = 4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64 \]
Ответ: \( 64 \).
Пример 1. Найдите значение выражения \( \displaystyle \frac{(3^7)^{-2}}{3^{-17}} \).
Шаг 1. Применим правило возведения степени в степень:
\[ (3^7)^{-2} = 3^{7 \cdot (-2)} = 3^{-14} \]
Шаг 2. Разделим степени с одинаковым основанием:
\[ \frac{3^{-14}}{3^{-17}} = 3^{-14 - (-17)} = 3^{-14 + 17} = 3^3 \]
Шаг 3. Вычислим результат:
\[ 3^3 = 27 \]
Ответ: \( 27 \).
Пример 2. Найдите значение выражения \( \displaystyle \frac{a^{-11} \cdot a^4}{a^{-3}} \) при \( a = -\frac{1}{2} \).
Шаг 1. Упростим произведение в числителе:
\[ a^{-11} \cdot a^4 = a^{-11+4} = a^{-7} \]
Шаг 2. Разделим на степень в знаменателе:
\[ \frac{a^{-7}}{a^{-3}} = a^{-7 - (-3)} = a^{-7 + 3} = a^{-4} \]
Шаг 3. Преобразуем отрицательную степень:
\[ a^{-4} = \frac{1}{a^4} \]
Шаг 4. Подставим \( a = -\frac{1}{2} \):
\[ \frac{1}{\left(-\frac{1}{2}\right)^4} = \frac{1}{\frac{1}{16}} = 16 \]
Ответ: \( 16 \).
Пример 3. Найдите значение выражения \( \displaystyle \frac{(a^4)^{-3}}{a^{-15}} \) при \( a = 2 \).
Шаг 1. Применим правило степени степени:
\[ (a^4)^{-3} = a^{4 \cdot (-3)} = a^{-12} \]
Шаг 2. Разделим степени:
\[ \frac{a^{-12}}{a^{-15}} = a^{-12 - (-15)} = a^{-12 + 15} = a^3 \]
Шаг 3. Подставим \( a = 2 \):
\[ 2^3 = 8 \]
Ответ: \( 8 \).
Пример 4. Найдите значение выражения \( \displaystyle \frac{(a^5)^3 \cdot a^6}{a^{22}} \) при \( a = 2 \).
Шаг 1. Возведём степень в степень:
\[ (a^5)^3 = a^{5 \cdot 3} = a^{15} \]
Шаг 2. Умножим степени в числителе:
\[ a^{15} \cdot a^6 = a^{15+6} = a^{21} \]
Шаг 3. Разделим на степень в знаменателе:
\[ \frac{a^{21}}{a^{22}} = a^{21-22} = a^{-1} \]
Шаг 4. Преобразуем отрицательную степень:
\[ a^{-1} = \frac{1}{a} \]
Шаг 5. Подставим \( a = 2 \):
\[ \frac{1}{2} = 0{,}5 \]
Ответ: \( 0{,}5 \).
Пример 5. Найдите значение выражения \( \displaystyle \frac{a^{21} \cdot (b^9)^2}{(a \cdot b)^{18}} \) при \( a = 5 \) и \( b = \sqrt{5} \).
Шаг 1. Возведём степень в степень:
\[ (b^9)^2 = b^{9 \cdot 2} = b^{18} \]
Шаг 2. Применим правило степени произведения:
\[ (a \cdot b)^{18} = a^{18} \cdot b^{18} \]
Шаг 3. Подставим в основное выражение:
\[ \frac{a^{21} \cdot b^{18}}{a^{18} \cdot b^{18}} \]
Шаг 4. Сократим и упростим:
\[ \frac{a^{21}}{a^{18}} \cdot \frac{b^{18}}{b^{18}} = a^{21-18} \cdot 1 = a^3 \]
Шаг 5. Подставим \( a = 5 \):
\[ 5^3 = 125 \]
Ответ: \( 125 \).
Задача номер 8 требует уверенного владения правилами работы со степенями. Главное — помнить пять основных правил:
Решайте задачи пошагово, внимательно следите за знаками и показателями, и у вас всё получится!
Определение степени с целым показателем
Умножение и деление степеней при одном основании
Степень произведения и частного