Добро пожаловать! Задача номер 7 на ОГЭ — это задача на сравнение и расположение чисел на координатной прямой. Здесь вы будете работать с дробями, корнями и действительными числами, определяя, между какими целыми числами они находятся, или выбирая верные утверждения о расположении чисел.
За правильное решение этой задачи вы получите 1 балл. Это базовая задача, которая проверяет ваше понимание числовой прямой и свойств чисел.
Координатная прямая — это линия, на которой отмечены все действительные числа в порядке возрастания слева направо.
Целые числа — это натуральные числа (1, 2, 3, ...), ноль и отрицательные числа (..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...).
Действительные числа — это все числа, которые можно отметить на координатной прямой: целые, дроби, корни, и другие.
Чтобы узнать, между какими целыми числами находится обыкновенная дробь $\frac{a}{b}$, нужно:
Шаг 1: Выполнить деление и представить дробь в виде смешанного числа.
Шаг 2: Если дробь имеет вид $n + \frac{r}{b}$, где $n$ — целая часть, а $0 < \frac{r}{b} < 1$ — дробная часть, то число находится между $n$ и $n+1$.
Формула: Если $\frac{a}{b} = n\frac{r}{b}$, то $n < \frac{a}{b} < n+1$.
Квадратные корни можно сравнивать, используя свойство: если $x > y \geq 0$, то $\sqrt{x} > \sqrt{y}$.
Способ: Возведите числа в квадрат и сравните подкоренные выражения.
Пример: Чтобы найти, между какими целыми числами находится $\sqrt{46}$, заметим:
$6^2 = 36 < 46 < 49 = 7^2$, значит $6 < \sqrt{46} < 7$.
Когда нужно выбрать верное утверждение, проверьте каждое вариант:
1. Определите знак каждого числа (положительное или отрицательное).
2. Определите, какое число больше по модулю (по абсолютной величине).
3. Проверьте каждое утверждение, используя правила сравнения.
Задача: Между какими целыми числами заключено число $\frac{130}{11}$?
Шаг 1. Выполняем деление: $130 \div 11 = 11$ (остаток $9$).
Представляем дробь в виде смешанного числа:
\[ \frac{130}{11} = 11\frac{9}{11}. \]Шаг 2. Дробная часть $\frac{9}{11}$ удовлетворяет условию $0 < \frac{9}{11} < 1$, поэтому:
\[ 11 < 11\frac{9}{11} < 12. \]Ответ: Число $\frac{130}{11}$ находится между целыми числами 11 и 12.
Задача: Между какими целыми числами заключено число $\frac{190}{17}$?
1) 10 и 11
2) 11 и 12
3) 12 и 13
4) 13 и 14
Шаг 1. Применяем алгоритм деления с остатком к числам 190 и 17:
\[ \frac{190}{17} = 11\frac{3}{17}. \]Шаг 2. Поскольку дробь $\frac{3}{17}$ положительна и меньше единицы, получаем:
\[ 11 < 11\frac{3}{17} < 12, \] то есть \[ 11 < \frac{190}{17} < 12. \]Шаг 3. Отсюда следует, что $\frac{190}{17}$ заключено между целыми числами 11 и 12, что соответствует варианту 2.
Задача: На координатной прямой отмечены точки $A, B, C, D$. Одна из них соответствует числу $\sqrt{46}$. Какая это точка?
[Координатная прямая с точками: $A$ около 6, $B$ между 6 и 6,5, $C$ около 6,5, $D$ между 6,5 и 7]
1) $A$
2) $B$
3) $C$
4) $D$
Шаг 1. Заметим, что:
\[ 46 > 36 \quad \Longrightarrow \quad \sqrt{46} > \sqrt{36} = 6. \]Шаг 2. Поскольку $\sqrt{46} > 6$, число $\sqrt{46}$ не может соответствовать точкам, лежащим левее 6 (то есть точкам $A$ и $B$). Остаются точки $C$ и $D$.
Шаг 3. Вычислим:
\[ 6{,}5^2 = 42{,}25 < 46 \quad \Longrightarrow \quad 6{,}5 < \sqrt{46}. \]Шаг 4. Точка $C$ лежит левее 6,5, а точка $D$ лежит правее 6,5. Раз $\sqrt{46} > 6{,}5$, то ему соответствует точка $D$, ответ 4.
Задача: На координатной прямой отмечены числа $x$ и $y$. Какое из приведённых утверждений для этих чисел верно?
[Координатная прямая: $x$ положительное число больше по модулю, $y$ отрицательное число меньше по модулю]
1) $x + y > 0$
2) $xy^2 < 0$
3) $x - y < 0$
4) $x^2y > 0$
Шаг 1. Из условия имеем: $|x| > |y|$, $x > 0$, $y < 0$.
Шаг 2. Проверяем утверждение 1:
\[ x + y = |x| + y = |x| - |y| > 0 \] (так как $|x| > |y|$), значит $x + y > 0$ — верно.Шаг 3. Проверяем утверждение 2:
\[ x > 0, \quad y^2 > 0 \quad \Longrightarrow \quad xy^2 > 0, \] поэтому $xy^2 < 0$ — неверно.Шаг 4. Проверяем утверждение 3:
\[ x - y = x - (-|y|) = x + |y| > 0, \] значит $x - y < 0$ — неверно.Шаг 5. Проверяем утверждение 4:
\[ x^2 > 0, \quad y < 0 \quad \Longrightarrow \quad x^2y < 0, \] поэтому $x^2y > 0$ — неверно.Ответ: Единственное верное высказывание — номер 1.
Задача: Какое из данных чисел принадлежит промежутку $[7; 8]$?
1) $\sqrt{7}$
2) $\sqrt{8}$
3) $\sqrt{48}$
4) $\sqrt{56}$
Шаг 1. Запишем 7 и 8 в виде квадратных корней:
\[ 7 = \sqrt{49} \quad \text{и} \quad 8 = \sqrt{64}. \]Шаг 2. Поскольку функция $f(x) = x^2$ строго возрастает на $[0, +\infty)$, для неотрицательных чисел $a$ выполнено:
\[ a \in [7, 8] \quad \Longleftrightarrow \quad a^2 \in [49, 64]. \]Шаг 3. Среди подкоренных чисел 7, 8, 48, 56 только 56 лежит в отрезке $[49, 64]$. Значит, ответ — вариант 4.
Задача: Одно из чисел $\sqrt{13}$, $\sqrt{23}$, $\sqrt{34}$, $\sqrt{44}$ отмечено на прямой точкой $A$.
[Координатная прямая: точка $A$ между 6 и 7]
1) $\sqrt{13}$
2) $\sqrt{23}$
3) $\sqrt{34}$
4) $\sqrt{44}$
Шаг 1. Запишем числа 6 и 7 в виде квадратных корней:
\[ 6 = \sqrt{36}, \quad 7 = \sqrt{49}. \]Шаг 2. Упорядочим все рассматриваемые корни в порядке возрастания:
\[ \sqrt{13} < \sqrt{23} < \sqrt{34} < \sqrt{36} < \sqrt{44} < \sqrt{49}. \]Шаг 3. Из неравенства видно, что единственное число из списка, лежащее между $\sqrt{36}$ (то есть 6) и $\sqrt{49}$ (то есть 7), — это $\sqrt{44}$. Значит, точке $A$ соответствует $\sqrt{44}$, ответ 4.
Задача номер 7 проверяет ваше умение:
• Переводить обыкновенные дроби в смешанные числа и определять, между какими целыми числами они находятся.
• Сравнивать квадратные корни, возводя их в квадрат и сравнивая подкоренные выражения.
• Работать с координатной прямой и отмечать на ней различные числа.
• Проверять утверждения о числах, используя знаки чисел и их свойства.
Помните: главное — внимательно читать условие, выполнять вычисления пошагово и проверять каждый вариант ответа!
Обыкновенные и десятичные дроби
Сравнение и упорядочивание рациональных чисел
Приближённое значение корня числа
Расположение на координатной прямой
Определение степени с рациональным показателем (Корни)