ОГЭ математика №6: Числа и вычисления — теория, формулы и разбор

Определение обыкновенной дроби

Обыкновенная дробь — это число вида $\frac{a}{b}$, где $a$ — числитель, а $b$ — знаменатель.
Числитель показывает, сколько частей мы берём, знаменатель показывает, на сколько частей разделено целое.

Определение десятичной дроби

Десятичная дробь — это дробь, в знаменателе которой стоит степень числа 10 (10, 100, 1000 и т.д.).
Записывается с запятой: $0{,}5 = \frac{5}{10}$, $0{,}25 = \frac{25}{100}$, и так далее.

Определение смешанного числа

Смешанное число — это число, состоящее из целой части и дробной части.
Например: $4\frac{7}{45}$ — это $4 + \frac{7}{45}$.

Ключевые правила

1. Приведение дробей к общему знаменателю

Чтобы сложить или вычесть дроби, нужно привести их к одному знаменателю — наименьшему общему кратному (НОК) знаменателей.

Пример: Для дробей $\frac{7}{45}$ и $\frac{17}{18}$ нужно найти НОК(45, 18).

45 = 9 × 5, 18 = 9 × 2, поэтому НОК = 90.

2. Сложение дробей с одинаковым знаменателем

Складываем числители, знаменатель остаётся неизменным:

\[\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}\]

3. Вычитание дробей с одинаковым знаменателем

Вычитаем числители, знаменатель остаётся неизменным:

\[\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a - b}{c}\]

4. Сокращение дроби

Дробь можно сократить, если числитель и знаменатель имеют общий делитель (больший, чем 1):

\[\frac{a \cdot k}{b \cdot k} = \frac{a}{b}\]

5. Перевод дроби в десятичную форму

Если знаменатель можно привести к степени 10, переводим в десятичную дробь:

\[\frac{17}{20} = \frac{17 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{85}{100} = 0{,}85\]

Пошаговый пример

Задача: Найдите значение выражения $\frac{11}{4} + \frac{6}{5}$.

Решение

Шаг 1. Найдём общий знаменатель. НОК(4, 5) = 20.

Шаг 2. Приведём дроби к знаменателю 20:

\[\frac{11}{4} = \frac{11 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{55}{20}\]
\[\frac{6}{5} = \frac{6 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{24}{20}\]

Шаг 3. Сложим дроби:

\[\frac{55}{20} + \frac{24}{20} = \frac{55 + 24}{20} = \frac{79}{20}\]

Шаг 4. Переведём в десятичную дробь:

\[\frac{79}{20} = \frac{79 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{395}{100} = 3{,}95\]

Ответ: $3{,}95$.

Мини-глоссарий

Числитель: верхняя часть дроби, показывает количество частей.
Знаменатель: нижняя часть дроби, показывает, на сколько частей разделено целое.
НОК: наименьшее общее кратное — самое маленькое число, которое делится на оба знаменателя.
Сокращение: деление числителя и знаменателя на их общий делитель.
Несократимая дробь: дробь, у которой числитель и знаменатель не имеют общих делителей (кроме 1).

Пример 1: Сложение смешанных чисел

Задача:
Найдите значение выражения $4\frac{7}{45}+3\frac{17}{18}$.

Решение

Шаг 1. Представим смешанные числа как сумму целой и дробной частей:

\[4\frac{7}{45}=4+\frac{7}{45},\qquad 3\frac{17}{18}=3+\frac{17}{18}.\]

Шаг 2. Сложим целые части:

\[4+3=7,\]

получаем

\[4\frac{7}{45}+3\frac{17}{18}=7+\frac{7}{45}+\frac{17}{18}.\]

Шаг 3. Найдём наименьший общий знаменатель дробей $\frac{7}{45}$ и $\frac{17}{18}$. Это $90$. Приведём дроби к общему знаменателю:

\[\frac{7}{45}=\frac{14}{90},\qquad \frac{17}{18}=\frac{85}{90}.\]

Шаг 4. Сложим дроби с одинаковым знаменателем:

\[\frac{14}{90}+\frac{85}{90}=\frac{99}{90},\]

тогда

\[7+\frac{7}{45}+\frac{17}{18}=7+\frac{99}{90}.\]

Шаг 5. Преобразуем неправильную дробь:

\[\frac{99}{90}=\frac{11}{10}=1+\frac{1}{10},\]

следовательно

\[7+\frac{99}{90}=7+1+\frac{1}{10}=8+\frac{1}{10}.\]

Шаг 6. Переведём дробь в десятичную запись:

\[\frac{1}{10}=0{,}1,\]

итоговый ответ

\[8+0{,}1=8{,}1.\]

Ответ: $8{,}1$.

Пример 2: Вычитание с сокращением

Задача:
Найдите значение выражения $1\frac{2}{21}-\frac{8}{35}$. Представьте полученный результат в виде несократимой обыкновенной дроби. В ответ запишите числитель этой дроби.

Решение

Шаг 1. Переведём смешанное число в неправильную дробь:

\[1\frac{2}{21}=\frac{21+2}{21}=\frac{23}{21}.\]

Шаг 2. Приводим дроби к общему знаменателю. НОК(21, 35) = 105:

\[\frac{23}{21}=\frac{23\cdot5}{21\cdot5}=\frac{115}{105},\quad \frac{8}{35}=\frac{8\cdot3}{35\cdot3}=\frac{24}{105}.\]

Шаг 3. Вычитаем дроби:

\[\frac{115}{105}-\frac{24}{105}=\frac{115-24}{105}=\frac{91}{105}.\]

Шаг 4. Сокращаем дробь. НОД(91, 105) = 7:

\[\frac{91}{105}=\frac{91\div7}{105\div7}=\frac{13}{15}.\]

Ответ: числитель равен $13$.

Пример 3: Сложение двух дробей

Задача:
Найдите значение выражения $\frac{11}{4} + \frac{6}{5}$.

Решение

Шаг 1. Приведём дроби к общему знаменателю. НОК(4, 5) = 20:

\[\frac{11}{4} + \frac{6}{5} = \frac{11 \cdot 5}{4 \cdot 5} + \frac{6 \cdot 4}{5 \cdot 4}.\]

Шаг 2. Запишем с общим знаменателем:

\[= \frac{55}{20} + \frac{24}{20} = \frac{79}{20}.\]

Шаг 3. Переведём в десятичную дробь через знаменатель 100:

\[= \frac{79 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{395}{100} = 3{,}95.\]

Ответ: $3{,}95$.

Пример 4: Вычитание с отрицательным результатом

Задача:
Найдите значение выражения $\frac{9}{25}-\frac{1}{2}$.

Решение

Шаг 1. Приведём дроби к общему знаменателю. НОК(25, 2) = 50:

\[\frac{9}{25}-\frac{1}{2} =\frac{9\cdot2}{25\cdot2}-\frac{1\cdot25}{2\cdot25}.\]

Шаг 2. Запишем с общим знаменателем 50:

\[=\frac{18}{50}-\frac{25}{50}.\]

Шаг 3. Вычтем числители:

\[=\frac{18-25}{50}=-\frac{7}{50}.\]

Шаг 4. Преобразуем к знаменателю 100 и запишем в виде десятичной дроби:

\[-\frac{7}{50}=-\frac{14}{100}=-0{,}14.\]

Ответ: $-0{,}14$.

Пример 5: Вычитание с промежуточным отрицательным числителем

Задача:
Найдите значение выражения $\frac{1}{10}-\frac{23}{20}$.

Решение

Шаг 1. Приведём дроби к общему знаменателю. НОК(10, 20) = 20:

\[\frac{1}{10}-\frac{23}{20} \;=\;\frac{2}{20}-\frac{23}{20}.\]

Шаг 2. Вычтем числители:

\[=\;\frac{2-23}{20}.\]

Шаг 3. Упростим:

\[=\;-\,\frac{21}{20}.\]

Шаг 4. Приведём к знаменателю 100:

\[=\;-\,\frac{105}{100}.\]

Шаг 5. Переведём в десятичную дробь:

\[=\;-1{,}05.\]

Ответ: $-1{,}05$.

Пример 6: Сложение трёх дробей

Задача:
Найдите значение выражения $\frac{5}{12} + \frac{4}{15} + \frac{1}{6}$.

Решение

Шаг 1. Найдём НОК(12, 15, 6) = 60. Но удобнее работать со 120:

\[\frac{5}{12} = \frac{50}{120},\quad \frac{4}{15} = \frac{32}{120},\quad \frac{1}{6} = \frac{20}{120}.\]

Шаг 2. Сложим дроби:

\[\frac{50}{120} + \frac{32}{120} + \frac{20}{120} = \frac{50 + 32 + 20}{120}.\]

Шаг 3. Вычислим числитель:

\[\frac{50 + 32 + 20}{120} = \frac{102}{120}.\]

Шаг 4. Сократим дробь. НОД(102, 120) = 6:

\[\frac{102}{120} = \frac{17}{20}.\]

Шаг 5. Переведём в десятичную дробь:

\[\frac{17}{20} = 0{,}85.\]

Ответ: $0{,}85$.

Что мы выучили:

Как приводить дроби к общему знаменателю через НОК.
Как складывать и вычитать обыкновенные дроби.
Как работать со смешанными числами.
Как сокращать дроби и находить несократимую форму.
Как переводить обыкновенные дроби в десятичные.

Ключевой совет: Всегда проверяйте, можно ли сократить дробь в конце решения. Часто в ответе требуется несократимая дробь!

Рекомендуемые темы для углубленного изучения:

Обыкновенные и десятичные дроби

Арифметические действия с обыкновенными дробями

Нахождение НОД и НОК

Преобразование дробей

Смешанные числа

Сравнение и упорядочивание рациональных чисел

Арифметические действия с десятичными дробями

Задача Номер 6

Определение обыкновенной дроби

Определение десятичной дроби

Определение смешанного числа

Ключевые правила

1. Приведение дробей к общему знаменателю

2. Сложение дробей с одинаковым знаменателем

3. Вычитание дробей с одинаковым знаменателем

4. Сокращение дроби

5. Перевод дроби в десятичную форму

Пошаговый пример

Мини-глоссарий

Пример 1: Сложение смешанных чисел

Пример 2: Вычитание с сокращением

Пример 3: Сложение двух дробей

Пример 4: Вычитание с отрицательным результатом

Пример 5: Вычитание с промежуточным отрицательным числителем

Пример 6: Сложение трёх дробей