Максимальный балл за эту задачу: 2
Пример 1
Задача:
Основания $BC$ и $AD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно $6$ и $24$, $BD=12$. Докажите, что треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны.
Решение:
Шаг 1.
По условию трапеции $ABCD$ основания $BC$ и $AD$ параллельны:
$BC \parallel AD$
Шаг 2.
В треугольниках $CBD$ и $BDA$ угол при вершине $B$ равен углу при вершине $D$,
так как они являются накрест лежащими углами при параллельных прямых $BC$ и $AD$
и секущей $BD$:
$\angle CBD = \angle BDA$
Шаг 3.
Вычислим отношения длин соответствующих сторон:
$\frac{BC}{BD} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$,
$\frac{BD}{AD} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$
Следовательно,
$\frac{BC}{BD} = \frac{BD}{AD}$
Шаг 4.
По признаку подобия треугольников (две стороны пропорциональны и угол между ними равен)
получаем:
$\triangle CBD \sim \triangle BDA$
Пример 2
Задача:
Через точку $O$ пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$ проведена прямая, пересекающая стороны $AB$ и $CD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Докажите, что отрезки $AE$ и $CF$ равны.
Решение:
Шаг 1. $AO = OC$, поскольку в параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам.
Шаг 2. $\angle AOE = \angle COF$ как вертикальные углы.
Шаг 3. $\angle OAE = \angle OCF$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB \parallel CD$ и секущей $AC$.
Шаг 4. Из шагов 1–3 следует, что $\triangle AOE \cong \triangle COF$ по признаку «сторона и два прилежащих к ней угла» (УСУ).
Шаг 5. Тогда $AE = CF$ как соответствующие стороны равных треугольников.
Пример 3
Задача:
Сторона $BC$ параллелограмма $ABCD$ вдвое больше стороны $AB$. Точка $K$ — середина стороны $BC$. Докажите, что $AK$ — биссектриса угла $BAD$.
Решение:
Шаг 1.
Пусть $AB = x$. Тогда $BC = 2AB = 2x$. Так как $K$ — середина $BC$, то
$BK = KC = \frac{1}{2}BC = x$
Шаг 2.
В треугольнике $ABK$ стороны $AB$ и $BK$ равны ($AB = BK = x$),
следовательно, треугольник $ABK$ равнобедренный с основанием $AK$.
По свойству равнобедренного треугольника углы при основании равны, значит
$\angle BAK = \angle BKA$
Шаг 3.
В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны параллельны, поэтому $BC \parallel AD$.
При пересечении этих параллельных прямых секущей $AK$ внутренние накрест лежащие углы равны,
то есть
$\angle BKA = \angle KAD$
Шаг 4.
Из равенств $\angle BAK = \angle BKA$ и $\angle BKA = \angle KAD$ получаем
$\angle BAK = \angle KAD$
Значит, $AK$ — биссектриса угла $BAD$.
Пример 4
Задача:
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $BB_1$ и $CC_1$. Докажите, что углы $BB_1C_1$ и $BCC_1$ равны.
Решение:
Шаг 1.
По условию $BB_1$ и $CC_1$ — высоты треугольника $ABC$. Тогда
$\angle BB_1C = 90°$ и $\angle BC_1C = 90°$
Шаг 2. Поскольку оба прямых угла опираются на один и тот же отрезок $BC$, точки $B, C, B_1, C_1$ лежат на одной окружности (около четырёхугольника $BCB_1C_1$ можно описать окружность).
Шаг 3.
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Следовательно,
$\angle BB_1C_1 = \angle BCC_1$
Пример 5
Задача:
В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ диагонали пересекаются в точке $O$. Докажите, что площади треугольников $AOB$ и $COD$ равны.
Решение:
Шаг 1. Опустим из вершины $B$ перпендикуляр $BH$ на прямую $AD$ и из вершины $C$ перпендикуляр $CT$ на ту же прямую $AD$.
Шаг 2.
Выразим площади треугольников $ABD$ и $ACD$ через основания $AD$ и соответствующие высоты:
$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot BH$,
$S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot CT$
Шаг 3.
Так как $BH$ и $CT$ являются расстояниями от точек $B$ и $C$ до прямой $AD$,
а $B$ и $C$ лежат на одной параллельной прямой $BC$, получается
$BH = CT$
Шаг 4.
Из равенства высот следует равенство площадей:
$S_{ABD} = S_{ACD}$
Шаг 5.
Треугольник $AOB$ получается из $ABD$ вычитанием $AOD$,
а треугольник $COD$ — из $ACD$ тем же вычитанием:
$S_{AOB} = S_{ABD} - S_{AOD}$,
$S_{COD} = S_{ACD} - S_{AOD}$
Поскольку $S_{ABD} = S_{ACD}$, то
$S_{AOB} = S_{COD}$
Пример 6
Задача:
Биссектрисы углов $A$ и $B$ четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $K$, лежащей на стороне $CD$. Докажите, что точка $K$ равноудалена от прямых $AB$, $BC$ и $AD$.
Решение:
Шаг 1.
Построим точки $L$, $M$ и $N$ как основания перпендикуляров из $K$
на прямые $AD$, $AB$ и $BC$ соответственно:
$KL \perp AD$, $KM \perp AB$, $KN \perp BC$
Шаг 2.
Рассмотрим прямоугольные треугольники $KAL$ и $KAM$. В них
• общая гипотенуза $KA$,
• $\angle KAL = \angle KAM$ (половины угла $A$, так как $AK$ — биссектриса угла $A$).
По признаку равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу получаем
$KL = KM$
Шаг 3.
Рассмотрим прямоугольные треугольники $KBN$ и $KBM$. В них
• общая гипотенуза $KB$,
• $\angle KBN = \angle KBM$ (половины угла $B$, так как $BK$ — биссектриса угла $B$).
По тому же признаку равенства прямоугольных треугольников получаем
$KN = KM$
Шаг 4.
Из равенств $KL = KM$ и $KN = KM$ следует
$KL = KM = KN$,
что означает, что $K$ равноудалена от прямых $AD$, $AB$ и $BC$.