Задача Номер 23

Задача номер 23 на ОГЭ — это геометрическая задача повышенной сложности. Здесь нужно применять знания о треугольниках, четырёхугольниках, окружностях и использовать теоремы подобия, Пифагора и свойства фигур.

Максимальный балл за эту задачу: 2 балла.

Эти задачи требуют логического мышления и умения видеть скрытые связи между элементами фигур. Решение обычно состоит из 4–5 шагов, где каждый шаг опирается на геометрические свойства и теоремы.

Теория

Основные понятия и определения

Ромб — это параллелограмм, у которого все четыре стороны равны.
Свойства: противоположные углы равны, диагонали перпендикулярны и делят друг друга пополам.
Трапеция — это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны (основания), а две другие не параллельны (боковые стороны).
Высота трапеции — перпендикуляр, опущенный из одного основания на другое.
Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны параллельны и равны.
Биссектриса угла параллелограмма — прямая, которая делит угол пополам и пересекает противоположную сторону.
Окружность и хорда — хорда это отрезок, соединяющий две точки на окружности.
Расстояние от центра окружности до хорды — это длина перпендикуляра, проведённого из центра к хорде.
Подобные треугольники — треугольники, у которых соответственные углы равны, а соответственные стороны пропорциональны.
Если два треугольника имеют два равных угла, то они подобны (признак подобия по двум углам).
Медиана — отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Ключевые теоремы

Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Если катеты равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $c$, то:

\[ c^2 = a^2 + b^2 \]

Теорема Фалеса: если три параллельные прямые пересекают две секущие, то отрезки на одной секущей пропорциональны отрезкам на другой секущей.

Свойство равнобедренного треугольника: если треугольник равнобедренный, то высота, опущенная на основание, является также медианой и биссектрисой.

Вписанный четырёхугольник: четырёхугольник вписан в окружность, если сумма противоположных углов равна $180°$.

Алгоритм решения задачи номер 23

  1. Прочитайте условие внимательно. Выделите, какие элементы фигуры даны, какие нужно найти.
  2. Сделайте чертёж. Обозначьте все известные длины, углы и точки.
  3. Определите тип задачи. Это задача на ромб, трапецию, окружность, подобие или комбинация?
  4. Выберите подходящую теорему. Используйте Пифагор, подобие, свойства параллелограмма или окружности.
  5. Решайте пошагово. Вычислите промежуточные значения, проверьте логику каждого шага.
  6. Проверьте ответ. Убедитесь, что результат имеет смысл в контексте задачи.

Простой пример с пошаговым решением

Задача: В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ известны катеты: $AC = 6$, $BC = 8$. Найдите медиану $CK$ этого треугольника.

Решение

Шаг 1. По теореме Пифагора найдём гипотенузу $AB$:

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \]

\[ AB = \sqrt{100} = 10 \]

Шаг 2. Применим свойство: в прямоугольном треугольнике медиана из вершины прямого угла к гипотенузе равна половине гипотенузы.

\[ CK = \frac{AB}{2} = \frac{10}{2} = 5 \]

Ответ: медиана $CK = 5$.

Прямоугольный треугольник с медианой

Примеры

Пример 1: Высота ромба

Задача:

Высота $AH$ ромба $ABCD$ делит сторону $CD$ на отрезки $DH = 24$ и $HC = 2$. Найдите высоту ромба.

Решение

Шаг 1. Найдём длину стороны $CD$:

\[ CD = DH + HC = 24 + 2 = 26 \]

Шаг 2. Так как $ABCD$ — ромб, все его стороны равны:

\[ AB = BC = CD = DA = 26 \]

Шаг 3. По условию $AH$ — высота ромба, то есть перпендикуляр к стороне $CD$. Значит в треугольнике $AHD$ угол $\angle AHD = 90°$, и он прямоугольный.

Ромб с высотой

Шаг 4. Применим теорему Пифагора к треугольнику $AHD$:

\[ AD^2 = DH^2 + AH^2 \]

Шаг 5. Выразим $AH$ и вычислим:

\[ AH^2 = AD^2 - DH^2 = 26^2 - 24^2 = 676 - 576 = 100 \]

\[ AH = \sqrt{100} = 10 \]

Ответ: высота ромба равна $10$.

Пример 2: Боковая сторона трапеции

Задача:

Найдите боковую сторону $AB$ трапеции $ABCD$, если углы $\angle ABC$ и $\angle BCD$ равны соответственно $45°$ и $120°$, а $CD = 34$.

Решение

Шаг 1. Проведём высоты $AH$ и $CK$ к стороне $BC$. Тогда:

\[ \angle AHB = 90°, \quad \angle BCK = 90° \]

Шаг 2. Выразим угол $\angle KCD$:

\[ \angle KCD = \angle BCD - \angle BCK = 120° - 90° = 30° \]

Шаг 3. В прямоугольном треугольнике $CKD$ (где $\angle CKD = 90°$) применяем определение косинуса:

\[ \frac{CK}{CD} = \cos\angle KCD \quad \Longrightarrow \quad CK = CD \cdot \cos 30° = 34 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 17\sqrt{3} \]

Трапеция с высотами

Шаг 4. Поскольку высоты трапеции равны, имеем:

\[ AH = CK = 17\sqrt{3} \]

Шаг 5. В прямоугольном треугольнике $AHB$ (где $\angle AHB = 90°$) используем определение синуса:

\[ \frac{AH}{AB} = \sin\angle ABH = \sin 45° = \frac{1}{\sqrt{2}} \]

\[ AB = \frac{AH}{\sin 45°} = \frac{17\sqrt{3}}{1/\sqrt{2}} = 17\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = 17\sqrt{6} \]

Ответ: боковая сторона $AB = 17\sqrt{6}$.

Пример 3: Прямая, параллельная основаниям трапеции

Задача:

Прямая, параллельная основаниям трапеции $ABCD$, пересекает её боковые стороны $AB$ и $CD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Найдите длину отрезка $EF$, если $AD = 25$, $BC = 15$, $\frac{CF}{DF} = \frac{3}{2}$.

Решение

Шаг 1. По теореме Фалеса для параллельных прямых $BC \parallel EF \parallel AD$ и секущих $AB$ и $DC$ имеем:

\[ \frac{BE}{AE} = \frac{CF}{DF} = \frac{3}{2} \]

Шаг 2. Проведём диагональ $BD$ трапеции $ABCD$ и обозначим точку пересечения отрезка $EF$ с $BD$ через $O$.

Шаг 3. Рассмотрим треугольники $BCD$ и $OFD$. Поскольку $\angle BCD = \angle OFD$ (соответственные углы при параллельных $BC \parallel EF$ и секущей $CD$) и угол $\angle BDC$ общий, треугольники подобны. Тогда:

\[ \frac{BC}{OF} = \frac{CD}{DF} = \frac{DF + CF}{DF} = 1 + \frac{CF}{DF} = 1 + \frac{3}{2} = \frac{5}{2} \]

\[ OF = \frac{2}{5} \cdot BC = \frac{2}{5} \cdot 15 = 6 \]

Трапеция с параллельной прямой

Шаг 4. Аналогично рассмотрим треугольники $ABD$ и $EBO$. Поскольку $\angle BAD = \angle BEO$ (соответственные углы при параллельных $AD \parallel EF$ и секущей $AB$) и угол $\angle ABD$ общий, треугольники подобны. Тогда:

\[ \frac{AD}{EO} = \frac{AB}{BE} = \frac{BE + AE}{BE} = 1 + \frac{AE}{BE} = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3} \]

\[ EO = \frac{3}{5} \cdot AD = \frac{3}{5} \cdot 25 = 15 \]

Шаг 5. Искомая длина:

\[ EF = EO + OF = 15 + 6 = 21 \]

Ответ: отрезок $EF = 21$.

Пример 4: Расстояние от центра окружности до хорды

Задача:

Отрезки $AB$ и $CD$ являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды $CD$, если $AB = 36$, $CD = 48$, а расстояние от центра окружности до хорды $AB$ равно $24$.

Решение

Шаг 1. Обозначим центр окружности точкой $O$. Проведём перпендикуляр $OH$ к хорде $AB$ и перпендикуляр $OM$ к хорде $CD$. По условию $OH = 24$.

Шаг 2. В треугольнике $AOB$ радиусы $OA$ и $OB$ равны, значит $\triangle AOB$ — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на основание, является также медианой. Тогда:

\[ AH = HB = \frac{AB}{2} = \frac{36}{2} = 18 \]

Шаг 3. В прямоугольном треугольнике $AHO$ по теореме Пифагора:

\[ OA^2 = AH^2 + OH^2 = 18^2 + 24^2 = 324 + 576 = 900 \]

\[ OA = 30 \]

Окружность с хордами

Шаг 4. В треугольнике $COD$ радиусы $OC$ и $OD$ равны, значит $\triangle COD$ — равнобедренный. Поскольку $OM$ — высота, она же медиана, получаем:

\[ CM = MD = \frac{CD}{2} = \frac{48}{2} = 24 \]

Шаг 5. В прямоугольном треугольнике $COM$ снова применяем теорему Пифагора:

\[ OM^2 = OC^2 - CM^2 = 30^2 - 24^2 = 900 - 576 = 324 \]

\[ OM = 18 \]

Ответ: расстояние от центра окружности до хорды $CD$ равно $18$.

Пример 5: Биссектриса угла параллелограмма

Задача:

Биссектриса угла $A$ параллелограмма $ABCD$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$. Найдите периметр параллелограмма, если $BK = 8$, $CK = 13$.

Решение

Шаг 1. В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны параллельны:

\[ AB \parallel CD, \quad BC \parallel AD \]

Поэтому при секущей $AK$ углы $\angle BKA$ и $\angle KAD$ — накрест лежащие, то есть равны:

\[ \angle BKA = \angle KAD \]

Шаг 2. Поскольку $AK$ — биссектриса угла $\angle BAD$, то:

\[ \angle BAK = \angle KAD \]

Шаг 3. Из равенств $\angle BKA = \angle KAD$ и $\angle BAK = \angle KAD$ получаем:

\[ \angle BKA = \angle BAK \]

Значит, $\triangle ABK$ — равнобедренный (при вершине $A$ равные углы), следовательно:

\[ AB = BK = 8 \]

Параллелограмм с биссектрисой

Шаг 4. В параллелограмме противоположные стороны равны:

\[ CD = AB = 8, \quad AD = BC \]

Но:

\[ BC = BK + KC = 8 + 13 = 21 \]

Значит:

\[ AD = 21 \]

Шаг 5. Периметр параллелограмма:

\[ P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD = 8 + 21 + 8 + 21 = 58 \]

Ответ: периметр параллелограмма равен $58$.

Пример 6: Окружность и подобие треугольников

Задача:

Окружность пересекает стороны $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ в точках $K$ и $P$ соответственно и проходит через вершины $B$ и $C$. Найдите длину отрезка $KP$, если $AK = 18$, а сторона $AC$ в $1{,}2$ раза больше стороны $BC$.

Решение

Шаг 1. Поскольку четырёхугольник $KBCP$ вписан в окружность, выполняется:

\[ \angle PKB + \angle BCP = 180° \]

Шаг 2. Следовательно:

\[ \angle BCP = 180° - \angle PKB \]

Шаг 3. Углы $\angle PKB$ и $\angle PKA$ смежные, поэтому:

\[ \angle PKB + \angle PKA = 180° \]

Откуда:

\[ \angle PKA = 180° - \angle PKB = \angle BCP \]

Окружность, пересекающая стороны треугольника

Шаг 4. В треугольниках $APK$ и $ABC$ угол $\angle BAC$ общий, а также $\angle AKP = \angle ACB$. По признаку подобия треугольников по двум углам получаем:

\[ \triangle APK \sim \triangle ABC \]

Шаг 5. Из подобия следует равенство отношений сторон:

\[ \frac{AK}{AC} = \frac{PK}{BC} \]

Так как $AC : BC = 1{,}2$, то:

\[ \frac{AK}{PK} = 1{,}2 \]

То есть:

\[ PK = \frac{AK}{1{,}2} = \frac{18}{1{,}2} = 15 \]

Ответ: отрезок $KP = 15$.

Заключение

Задачи номер 23 на ОГЭ — это геометрические задачи, которые требуют применения нескольких теорем и свойств фигур одновременно. Главное — внимательно прочитать условие, сделать правильный чертёж и выбрать подходящие теоремы.

Основные подходы к решению:

Регулярная практика с разными типами задач поможет вам быстро узнавать нужные теоремы и решать такие задачи уверенно!

Связанные темы:

Получить персонального ИИ-репетитора на EGEchat.ru