Что нужно знать для решения задачи 22
Например, если в знаменателе стоит \(x - 1\), то \(x \neq 1\).
Если под корнем стоит выражение, оно должно быть неотрицательным.
Например: \(y = \frac{(x-1) \cdot f(x)}{x-1} = f(x)\), но с выколотой точкой при \(x = 1\).
На графике её обозначают пустым кружком ◦.
Горизонтальная асимптота: \(y = c\).
Вертикальная асимптота: \(x = a\).
Основные типы функций в задаче 22
1. Дробно-рациональные функции
Функция вида \(y = \frac{P(x)}{Q(x)}\), где \(P(x)\) и \(Q(x)\) — многочлены.
После упрощения часто получается гипербола или другая знакомая функция.
2. Функции с модулем
Функция вида \(y = |f(x)|\) или \(y = f(|x|)\).
Раскрываем модуль по определению: \(|a| = \begin{cases} a, & a \ge 0 \\ -a, & a < 0 \end{cases}\).
3. Кусочно-заданные функции
Функция задана разными формулами на разных промежутках.
Строим каждый кусок отдельно, затем объединяем.
Алгоритм решения задачи номер 22
- Найти область определения. Определить, при каких \(x\) функция не существует.
- Упростить функцию. Разложить на множители, сократить, раскрыть модули.
- Определить вид графика. Это парабола? Гипербола? Кусочная функция?
- Найти ключевые точки. Вершина, нули, точки пересечения с осями, выколотые точки.
- Составить таблицу значений. Вычислить \(y\) для нескольких значений \(x\).
- Построить график. Отметить точки, провести кривую, отметить асимптоты и выколотые точки.
- Ответить на вопрос. Найти значения параметра (обычно \(m\) или \(k\)), при которых выполняется условие.
Пример: простое решение
Задача: Постройте график функции \(y = \frac{x+2}{x+2} - 1\) и найдите, при каких \(m\) прямая \(y = m\) не пересекает график.
Решение
Шаг 1. Область определения:
\(x + 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2\).
Шаг 2. Упрощение:
При \(x \neq -2\) имеем \(\frac{x+2}{x+2} = 1\).
Значит, \(y = 1 - 1 = 0\).
Шаг 3. Вид графика:
График — это горизонтальная прямая \(y = 0\) (ось абсцисс) с выколотой точкой при \(x = -2\).
Шаг 4. Выколотая точка:
При \(x = -2\) функция не определена, но если бы была, то \(y = 0\).
Выколотая точка: \((-2; 0)\).
Шаг 5. Ответ:
Прямая \(y = m\) не пересекает график только при \(m = 0\) (совпадает с графиком, но точка \((-2; 0)\) выколота).
Пример 1: Гипербола с выколотой точкой
Задача:
Постройте график функции
\[y=-2-\frac{x+4}{x^{2}+4x}\]
Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) не имеет с графиком общих точек.
Решение
\[\begin{aligned} &\textbf{Шаг 1.} \text{ Найдём область определения функции:} \\ &\quad x^2 + 4x \neq 0 \;\Longrightarrow\; x(x + 4) \neq 0 \;\Longrightarrow\; x \neq 0,\; x \neq -4. \\ &\textbf{Шаг 2.} \text{ Упростим выражение для } y: \\ &\quad y = -2 - \frac{x+4}{x(x+4)} = -2 - \frac{1}{x}. \\ &\textbf{Шаг 3.} \text{ Сделаем вывод о виде графика:} \\ &\quad y = -2 - \frac{1}{x} \\ &\text{ — это гипербола с вертикальной асимптотой } x = 0 \text{ и горизонтальной асимптотой } y = -2. \\ &\text{ Функция не определена в точках } x = 0 \text{ и } x = -4 \text{ (вторая точка даёт «выколотую» точку).} \\ &\textbf{Шаг 4.} \text{ Составим таблицу значений для гиперболы:} \\ &\quad \begin{array}{c|cccccc} x & -5 & -1 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1 & 5\\\hline y & -1{,}8 & -1 & 0 & -4 & -3 & -2{,}2 \end{array} \\ &\textbf{Шаг 5.} \text{ Найдём координаты «выколотой» точки при } x = -4: \\ &\quad y = -2 - \frac{1}{-4} = -2 + 0{,}25 = -1{,}75. \\ &\text{ Значит, точка } (-4;\,-1{,}75) \text{ исключена из графика.} \\ &\textbf{Шаг 6.} \text{ Отметим в прямоугольной системе координат найденные точки, «выколотую» точку и проведём асимптоты } x = 0 \text{ и } y = -2. \\ &\text{ Это даёт полный рисунок графика функции.} \\ \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} &\textbf{Шаг 7.} \text{ Определим, при каких } m \text{ прямая } y = m \text{ не пересекает график:} \\ &\quad \bullet \text{ Если прямая совпадает с горизонтальной асимптотой } y = -2, \text{ то нет точек пересечения.} \\ &\quad \bullet \text{ Если прямая проходит через «выколотую» точку } (-4;\,-1{,}75), \text{ то в этой точке графика нет.} \\ &\text{ Следовательно,} \\ &\quad \boxed{m \in \{-2;\, -1{,}75\}}. \end{aligned}\]
Пример 2: Парабола и прямая через начало координат
Задача:
Постройте график функции
\[y = \frac{(x^2 + 2,25)\,(x-1)}{1 - x}\]
Определите, при каких значениях \(k\) прямая \(y = kx\) имеет с графиком ровно одну общую точку.
Решение
Шаг 1. Найдём область определения функции:
\[1 - x \neq 0 \;\;\Longleftrightarrow\;\; x \neq 1.\]
Шаг 2. Упростим выражение для \(y\). Поскольку \(1 - x = -(x - 1)\), получаем
\[y = \frac{(x^2 + 2,25)\,(x-1)}{1 - x} = \frac{(x^2 + 2,25)\,(x-1)}{-\,(x-1)} = -\,(x^2 + 2,25) = -x^2 - 2,25.\]
График исходной функции совпадает с графиком параболы \(y = -x^2 - 2,25\), за исключением «выколотой» точки при \(x = 1\).
Шаг 3. Найдём координаты выколотой точки. При \(x = 1\)
\[y(1) = -1^2 - 2,25 = -3,25.\]
Значит точка \((1;\,-3,25)\) из графика исключена.
Шаг 4. Исследуем саму параболу \(y = -x^2 - 2,25\). Находим её вершину:
\[a = -1,\quad b = 0, \qquad x_0 = -\frac{b}{2a} = 0, \quad y_0 = y(0) = -2,25.\]
Вершина параболы: \((0;\,-2,25)\).
Шаг 5. Для точной отрисовки составим таблицу значений:
\[\begin{array}{c|ccccc} x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & -6,25 & -3,25 & -2,25 & -3,25 & -6,25 \end{array}\]
По этим точкам и вершине строим параболу, не забыв выколоть точку \((1;\,-3,25)\).
Шаг 6. Рассмотрим семейство прямых \(y = kx\) и найдём \(k\), при которых прямая и график функции пересекаются в ровно одной точке.
1) Прямая проходит через выколотую точку \((1;\,-3,25)\):
\[-3,25 = k \cdot 1 \;\Longrightarrow\; k = -\frac{13}{4}.\]
2) Прямая касается параболы \(y = -x^2 - 2,25\). Система
\[\begin{cases} y = kx,\\ y = -x^2 - 2,25 \end{cases}\]
приводится к квадратному уравнению
\[x^2 + kx + 2,25 = 0.\]
Условие касания: дискриминант равен нулю,
\[D = k^2 - 4\cdot1\cdot2,25 = k^2 - 9 = 0 \;\Longrightarrow\; k^2 = 9 \;\Longrightarrow\; k = \pm 3.\]
Таким образом,
\[k \in \left\{-\frac{13}{4},\,-3,\,3\right\}.\]
Пример 3: Функция с модулем и кусочное определение
Задача:
Постройте график функции
\[y = 3\lvert x+7\rvert \;-\; x^2 \;-\; 13x \;-\; 42\]
Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно три общие точки.
Решение
Шаг 1. Раскрываем модуль:
\[y = 3\lvert x+7\rvert - x^2 -13x -42 = \begin{cases} 3(x+7)-x^2-13x-42, & x\ge -7,\\ -3(x+7)-x^2-13x-42, & x< -7. \end{cases}\]
Шаг 2. Приводим подобные слагаемые:
\[y = \begin{cases} -x^2 -10x -21, & x\ge -7,\\ -x^2 -16x -63, & x< -7. \end{cases}\]
Шаг 3. Исследуем ветвь при \(x\ge -7\), функцию \(y_1(x) = -x^2 -10x -21\).
Коэффициент при \(x^2\) равен \(-1<0\), значит парабола «ветвями» вниз. Вершина:
\[x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-10}{2\cdot(-1)} = -5,\qquad y_0 = y_1(-5) = -(-5)^2 -10\cdot(-5) -21 = 4.\]
Таблица значений:
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & -7 & -6 & -5 & -4\\ \hline y_1(x) & 0 & 3 & 4 & 3\\ \hline \end{array}\]
Шаг 4. Исследуем ветвь при \(x< -7\), функцию \(y_2(x) = -x^2 -16x -63\).
Аналогично, \(a=-1<0\), ветви вниз. Вершина:
\[x_0 = -\frac{-16}{2\cdot(-1)} = -8,\qquad y_0 = y_2(-8) = -(-8)^2 -16\cdot(-8) -63 = 1.\]
Таблица значений:
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & -9 & -8 & -7\\ \hline y_2(x) & 0 & 1 & 0\\ \hline \end{array}\]
Шаг 5. Строим график: на одной плоскости изображаем две ветви парабол, соединённые в точке стыка \((-7,0)\).
Шаг 6. Рассматриваем горизонтальную прямую \(y = m\). Точка пересечения с графиком — это решение уравнения \(f(x)=m\). Чтобы получить ровно три разные общие точки, прямая должна пройти через одну из «особых» точек графика, дав одну кратную точку пересечения (касание) и две простые пересечения с другой ветвью.
Шаг 7. Особые точки графика:
\[(-7,0)\quad\text{(точка стыка ветвей)},\qquad (-8,1)\quad\text{(вершина левой ветви)}.\]
Подставляем в \(y=m\):
\[m=0\quad\text{или}\quad m=1.\]
Итак,
\[m\in\{0;1\}.\]
Пример 4: Функция с модулем аргумента
Задача:
Постройте график функции
\[y = x|x| + |x| - 3x.\]
Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y = m\) имеет с этим графиком ровно две общие точки.
Решение
Шаг 1. Представим функцию в кусочно-заданной форме с учётом определения модуля:
\[y = x|x| + |x| - 3x = \begin{cases} x\cdot x + x - 3x, & x \ge 0,\\ x\cdot(-x) - x - 3x, & x < 0, \end{cases}\]
что упрощается до
\[y = \begin{cases} x^2 - 2x, & x \ge 0,\\ -\,x^2 - 4x, & x < 0. \end{cases}\]
Шаг 2. Исследуем ветвь при \(x\ge0\):
функция \(y = x^2 - 2x\) — парабола, ветви вверх.
Вершина:
\[x_0 = -\frac{b}{2a} = \frac{2}{2} = 1,\qquad y_0 = y(1) = 1^2 - 2 = -1.\]
Таблица значений:
\[\begin{array}{c|cccc} x & 0 & 1 & 2 & 3\\\hline y & 0 & -1 & 0 & 3 \end{array}\]
Шаг 3. Исследуем ветвь при \(x<0\):
функция \(y = -x^2 - 4x\) — парабола, ветви вниз.
Вершина:
\[x_0 = -\frac{b}{2a} = \frac{4}{-2} = -2,\qquad y_0 = y(-2) = -(-2)^2 - 4\cdot(-2) = 4.\]
Таблица значений:
\[\begin{array}{c|ccccc} x & -4 & -3 & -2 & -1 & 0\\\hline y & 0 & 3 & 4 & 3 & 0 \end{array}\]
Шаг 4. Строим график обеих ветвей, отмечая точки из таблиц и точку стыка \((0,0)\).
Шаг 5. Горизонтальная прямая \(y = m\) имеет ровно две общие точки с графиком тогда и только тогда, когда она касается одной из парабол в её вершине (1 точка пересечения) и пересекает другую ветвь в одной дополнительной точке.
– Для ветви \(y = x^2 - 2x\) вершина лежит на уровне \(y=-1\) → \(m=-1\).
– Для ветви \(y = -x^2 - 4x\) вершина лежит на уровне \(y=4\) → \(m=4\).
Таким образом,
\[m \in \{-1;4\}.\]
Пример 5: Дробно-рациональная функция после упрощения
Задача:
Постройте график функции
\[y = \frac{\bigl(0{,}5x^2 - 0{,}5x\bigr)\,\lvert x\rvert}{x - 1}\]
и определите, при каких значениях \(m\) прямая
\[y = m\]
не имеет с этим графиком ни одной общей точки.
Решение
Шаг 1. Найдём область определения функции:
\[x - 1 \neq 0 \;\Longleftrightarrow\; x \neq 1.\]
Шаг 2. Упростим выражение:
\[y = \frac{(0{,}5x^2 - 0{,}5x)\,\lvert x\rvert}{x - 1} = \frac{0{,}5x(x - 1)\,\lvert x\rvert}{x - 1} = 0{,}5x\,\lvert x\rvert.\]
Шаг 3. Раскроем модуль:
\[y = \begin{cases} 0{,}5x^2, & x \ge 0,\\ -0{,}5x^2, & x < 0. \end{cases}\]
Шаг 4. Найдём координаты выколотой точки при \(x = 1\):
\[y = 0{,}5\cdot1^2 = 0{,}5.\]
Значит, точка \((1;0{,}5)\) выколота из графика.
Шаг 5. Построим два фрагмента графика:
1. для \(x \ge 0\): парабола \(y = 0{,}5x^2\) (ветви вверх, вершина в \((0;0)\));
2. для \(x < 0\): парабола \(y = -0{,}5x^2\) (ветви вниз, вершина в \((0;0)\)).
Шаг 6. Отметим на плоскости точки \((0;0)\) (стык двух ветвей) и выколотую точку \((1;0{,}5)\), затем проведём соответствующие дуги парабол.
Шаг 7. Исследуем пересечение с прямой \(y = m\). Чтобы прямая не пересекала график, она должна проходить ровно через выколотую точку и не пересекать ни одну из ветвей. Это возможно лишь при
\[m = 0{,}5.\]
Пример 6: Функция с абсолютной величиной квадратного трёхчлена
Задача:
Постройте график функции
\[y = \bigl|x^2 + 5x + 6\bigr|\]
Какое наибольшее число общих точек может иметь график данной функции с прямой, параллельной оси абсцисс?
Решение:
Шаг 1. Исследовать функцию \(f(x)=x^2+5x+6\): найти вершину параболы.
\[x_0=-\frac{5}{2}=-2.5,\quad y_0=f(x_0)=(-2.5)^2+5\cdot(-2.5)+6=-0.25.\]
Шаг 2. Составить таблицу значений \(f(x)\) в точках \(x=-4,-3,-2.5,-2,-1\):
\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & -4 & -3 & -2.5 & -2 & -1 \\ \hline f(x) & 2 & 0 & -0.25 & 0 & 2 \end{array}\]
Шаг 3. Построить график \(y=f(x)\): параболу с ветвями вверх и найденными точками.
Шаг 4. Получить график \(y=|f(x)|\): участки с \(f(x)\ge0\) оставить, а \(f(x)<0\) отразить симметрично вверх относительно оси Ox.
Шаг 5. Рассмотреть прямые \(y=m\ (m\in\mathbb R)\) и найти число пересечений с \(y=|f(x)|\):
\(m<0\): 0 точек,
\(m=0\): 2 точки,
\(0 < m < 0.25\): 4 точки,
\(m=0.25\): 3 точки,
\(m>0.25\): 2 точки
Шаг 6. Наибольшее число общих точек равно 4.