ОГЭ математика №21: Текстовые задачи — теория, формулы и разбор

Задача номер 21 на ОГЭ — это текстовая задача повышенной сложности, которая требует составления и решения уравнения. Здесь вам предлагают реальную ситуацию: движение, работу, движение по воде или круговую трассу. За правильное решение вы получите максимум 2 балла, что очень ценно для повышения вашего результата! Главное — правильно понять условие, обозначить неизвестное и составить уравнение.

Что такое текстовая задача?
Это задача, где условие описано словами, а не формулами. Вам нужно самостоятельно перевести текст в математический язык.

Основные этапы решения текстовой задачи:
1. Прочитайте условие внимательно и выделите главное.
2. Обозначьте неизвестное (обычно через $x$).
3. Выразите все остальные величины через $x$.
4. Составьте уравнение, используя связь между величинами.
5. Решите уравнение.
6. Проверьте, подходит ли ответ по смыслу задачи (скорость > 0, время > 0 и т. д.).
7. Запишите ответ.

Расстояние = Скорость × Время, или $s = v \cdot t$.

Из этой формулы можно выразить:
Время = $t = \frac{s}{v}$
Скорость = $v = \frac{s}{t}$

Средняя скорость: если путь состоит из нескольких участков, то
\[ v_{\text{ср}} = \frac{\text{весь путь}}{\text{всё время}}. \]

Движение по воде:
Скорость по течению = собственная скорость + скорость течения: $v_{\text{по}} = v + u$.
Скорость против течения = собственная скорость − скорость течения: $v_{\text{против}} = v - u$.

Задачи на совместную работу:
Если рабочий делает $x$ деталей в час, то за время $t$ он сделает $x \cdot t$ деталей.
Если нужно сделать $N$ деталей, то время равно $t = \frac{N}{x}$.

Задачи на круговую трассу:
Длина круга обозначается через $L$. Если спортсмен за время $t$ прошёл расстояние $d$, то $d = v \cdot t$, где $v$ — его скорость.

Алгоритм решения задачи номер 21:

Шаг 1. Внимательно прочитайте задачу. Определите тип: движение, работа, движение по воде, круговая трасса.

Шаг 2. Введите переменную. Обычно это скорость или производительность. Обозначьте её через $x$ (или другую букву).

Шаг 3. Выразите все остальные величины через $x$. Например, время, расстояние, количество работы.

Шаг 4. Найдите в условии ключевое слово или фразу, которая связывает величины: «одновременно», «на 3 часа быстрее», «вместе с», «одновременно прибыл» и т. д.

Шаг 5. Составьте уравнение на основе этой связи. Например: если два объекта прибыли одновременно, то их времена равны.

Шаг 6. Решите уравнение (часто получается квадратное).

Шаг 7. Проверьте оба корня: отбросьте отрицательные значения и те, которые не подходят по смыслу.

Шаг 8. Запишите ответ.

Задача: Первый рабочий делает на 2 детали в час больше, чем второй, и выполняет заказ из 100 деталей на 1 час быстрее. Сколько деталей в час делает первый рабочий?

Шаг 1. Обозначим производительность второго рабочего через $x$ (дет./ч).
Тогда первый делает $x + 2$ (дет./ч).

Шаг 2. Время выполнения заказа вторым: $t_2 = \frac{100}{x}$ (ч).
Время первым: $t_1 = \frac{100}{x+2}$ (ч).

Шаг 3. По условию первый выполняет на 1 час быстрее:
\[ t_2 - t_1 = 1. \]

Шаг 5. Приведём к общему знаменателю:
\[ \frac{100(x+2) - 100x}{x(x+2)} = 1 \quad \Longrightarrow \quad \frac{200}{x(x+2)} = 1. \]

Шаг 6. Решаем:
\[ 200 = x(x+2) \quad \Longrightarrow \quad x^2 + 2x - 200 = 0. \]
Дискриминант: $D = 4 + 800 = 804$. Корни: $x = \frac{-2 + \sqrt{804}}{2} \approx 13{,}2$ или $x \approx -15{,}2$.
Отрицательный корень отбросим.

Шаг 7. Первый рабочий делает $x + 2 \approx 15{,}2$ дет./ч (или точный ответ через корень).

Задача:
Из $A$ в $B$ одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал весь путь с постоянной скоростью. Второй проехал первую половину пути со скоростью $78$ км/ч, а вторую половину пути — со скоростью, большей скорости первого на $7$ км/ч, в результате чего прибыл в $B$ одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля.

Шаг 1. Обозначим полный путь через $2S$ (км) и скорость первого автомобиля через $x$ (км/ч).

Шаг 2. Время движения первого автомобиля:
\[ t_1 = \frac{2S}{x}. \]

Шаг 3. Второй автомобиль проезжает первую половину пути ($S$ км) со скоростью $78$ км/ч, вторую половину ($S$ км) со скоростью $x+7$ км/ч. Его общее время:
\[ t_2 = \frac{S}{78} + \frac{S}{x+7}. \]

Шаг 4. По условию $t_1 = t_2$, значит:
\[ \frac{2S}{x} = \frac{S}{78} + \frac{S}{x+7}. \]

Шаг 5. Так как $S \neq 0$, разделим обе части на $S$:
\[ \frac{2}{x} = \frac{1}{78} + \frac{1}{x+7}. \]

Шаг 6. Умножим обе части на $78$:
\[ \frac{156}{x} = 1 + \frac{78}{x+7}. \]

Шаг 7. Перенесём всё в левую часть:
\[ \frac{156}{x} - 1 - \frac{78}{x+7} = 0. \]

Шаг 8. Приведём к общему знаменателю $x(x+7)$:
\[ \frac{156(x+7) - x(x+7) - 78x}{x(x+7)} = 0. \]

Шаг 9. Приравняем числитель к нулю и раскроем скобки:
\[ 156x + 1092 - x^2 - 7x - 78x = 0 \quad \Longrightarrow \quad x^2 - 71x - 1092 = 0. \]

Шаг 10. Найдём дискриминант:
\[ D = (-71)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1092) = 5041 + 4368 = 9409 = 97^2. \]
Корни:
\[ x = \frac{71 \pm 97}{2} \quad \Longrightarrow \quad x_1 = 84, \quad x_2 = -13. \]

Шаг 11. Отрицательный корень $x = -13$ не подходит (скорость положительна), поэтому:
\[ \boxed{x = 84 \text{ км/ч}}. \]

Задача:
Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью $36$ км/ч, а вторую — со скоростью $99$ км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

Шаг 1. Обозначим длину половины пути через $S$; тогда весь путь равен $2S$.

Шаг 2. Выразим время движения на каждой половине пути:
\[ t_1 = \frac{S}{36}, \quad t_2 = \frac{S}{99}. \]

Шаг 3. Найдём общее время движения:
\[ t = t_1 + t_2 = \frac{S}{36} + \frac{S}{99}. \]

Шаг 4. По определению средняя скорость есть отношение всего пути к общему времени:
\[ v_{\text{ср}} = \frac{2S}{t} = \frac{2S}{\dfrac{S}{36} + \dfrac{S}{99}} = \frac{2}{\dfrac{1}{36} + \dfrac{1}{99}}. \]

Шаг 5. Сложим дроби в знаменателе и упростим:
\[ \frac{1}{36} + \frac{1}{99} = \frac{99 + 36}{36 \cdot 99} = \frac{135}{36 \cdot 99}, \]
\[ v_{\text{ср}} = \frac{2}{\dfrac{135}{36 \cdot 99}} = \frac{2 \cdot 36 \cdot 99}{135}. \]

Шаг 6. Сократим дробь:
\[ \frac{36 \cdot 99}{135} = \frac{36}{135} \cdot 99 = \frac{4}{15} \cdot 99 = \frac{396}{15} = 26{,}4, \]
значит:
\[ v_{\text{ср}} = 2 \cdot 26{,}4 = 52{,}8 \text{ км/ч}. \]

Задача:
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения $132$ км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна $5$ км/ч, стоянка длится $21$ ч, а в пункт отправления теплоход возвращается через $32$ ч после отплытия из него.

Шаг 1. Обозначим скорость теплохода в неподвижной воде через $x$ (км/ч).

Шаг 2. Тогда скорость по течению равна $x+5$ км/ч, против течения — $x-5$ км/ч; время на каждый участок:
\[ t_1 = \frac{132}{x+5}, \quad t_2 = \frac{132}{x-5}. \]

Шаг 3. По условию общее время пути с учётом стоянки $21$ ч равно $32$ ч, значит:
\[ \frac{132}{x+5} + \frac{132}{x-5} + 21 = 32. \]

Шаг 4. Перенесём $21$ в правую часть и сократим:
\[ \frac{132}{x+5} + \frac{132}{x-5} = 11. \]

Шаг 5. Приведём левую часть к общему знаменателю $(x+5)(x-5)$:
\[ \frac{132(x-5) + 132(x+5)}{(x+5)(x-5)} = 11. \]

Шаг 6. Раскроем скобки в числителе:
\[ 132(x-5) + 132(x+5) - 11(x^2 - 25) = 0, \]
\[ 132x - 660 + 132x + 660 - 11x^2 + 275 = 0, \]
\[ 264x - 11x^2 + 275 = 0. \]

Шаг 7. Разделим на $-11$ и получим:
\[ x^2 - 24x - 25 = 0 \quad \Longrightarrow \quad (x - 25)(x + 1) = 0, \]
откуда $x = 25$ или $x = -1$. Отрицательное значение отбросим, остаётся:
\[ \boxed{x = 25 \text{ км/ч}}. \]

Задача:
Баржа прошла по течению реки $80$ км и, повернув обратно, прошла ещё $60$ км, затратив на весь путь $10$ часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна $5$ км/ч.

Шаг 1. Обозначим собственную скорость баржи через $x$ (км/ч).

Шаг 2. Тогда скорость баржи по течению равна $x+5$, против течения $x-5$.

Шаг 3. Время в пути по течению $T_1 = \frac{80}{x+5}$, против течения $T_2 = \frac{60}{x-5}$.

Шаг 4. По условию $T_1 + T_2 = 10$, то есть:
\[ \frac{80}{x+5} + \frac{60}{x-5} = 10. \]

Шаг 5. Упростим, разделив на $10$:
\[ \frac{8}{x+5} + \frac{6}{x-5} = 1. \]

Шаг 6. Приведём к общему знаменателю и перенесём всё в одну дробь:
\[ \frac{8(x-5) + 6(x+5) - (x+5)(x-5)}{(x+5)(x-5)} = 0. \]

Шаг 7. Решаем числитель:
\[ 8x - 40 + 6x + 30 - (x^2 - 25) = 0 \quad \Longrightarrow \quad -x^2 + 14x + 15 = 0. \]

Шаг 9. Найдём дискриминант:
\[ D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 196 + 60 = 256 = 16^2. \]

Шаг 10. Корни уравнения:
\[ x = \frac{14 \pm 16}{2} \quad \Longrightarrow \quad x_1 = 15, \quad x_2 = -1. \]

Шаг 11. Отвергаем $x_2 = -1$ (недопустимо, скорость $> 0$).
Ответ: $\boxed{x = 15 \text{ км/ч}}$.

Задача:
Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы и бежали несколько кругов. Спустя $1$ ч, когда одному из них оставался $1$ км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун пробежал первый круг $15$ мин назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на $5$ км/ч меньше скорости второго.

Шаг 1. Обозначим скорость первого бегуна через $x$ км/ч, тогда скорость второго равна $x+5$ км/ч.

Шаг 2. За $1$ ч первый пробежал $x \cdot 1 = x$ км, до конца круга оставался $1$ км, значит длина круга $x+1$ км.

Шаг 3. Второй пробежал первый круг за $15$ мин раньше, то есть за $60 - 15 = 45$ мин, а это $\frac{3}{4}$ ч.

Шаг 4. Запишем уравнение по определению: расстояние второго за круг равно скорости, умноженной на время, и должно совпадать с длиной круга:
\[ (x+5) \cdot \frac{3}{4} = x+1. \]

Шаг 5. Умножим обе части на $4$:
\[ (x+5) \cdot 3 = (x+1) \cdot 4 \quad \Longrightarrow \quad 3x + 15 = 4x + 4 \quad \Longrightarrow \quad x = 11. \]

Задача:
Первый рабочий за час делает на $5$ деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из $180$ деталей, на $3$ часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает первый рабочий?

Шаг 1. Обозначим скорость второго рабочего за $x$ (дет./ч), тогда первого $x+5$.

Шаг 2. Время выполнения заказа вторым: $t_2 = \frac{180}{x}$, первым: $t_1 = \frac{180}{x+5}$.

Шаг 4. Запишем уравнение и упростим, разделив на $3$:
\[ \frac{180}{x} - \frac{180}{x+5} = 3 \quad \Longrightarrow \quad \frac{60}{x} - \frac{60}{x+5} = 1. \]

Шаг 5. Приведём к общему знаменателю и получим квадратное уравнение:
\[ \frac{60(x+5) - 60x}{x(x+5)} = 1 \quad \Longrightarrow \quad 60(x+5) - 60x = x(x+5) \quad \Longrightarrow \quad x^2 + 5x - 300 = 0. \]

Шаг 6. Дискриминант:
\[ D = 5^2 + 4 \cdot 300 = 25 + 1200 = 1225 = 35^2. \]
Корни:
\[ x = \frac{-5 \pm 35}{2} \quad \Longrightarrow \quad x = 15 \text{ или } x = -20. \]

Шаг 7. Отрицательный корень отвергаем, так как $x > 0$, получаем $x = 15$ $\Rightarrow$ $x+5 = 20$ (дет./ч).
Ответ: $\boxed{20 \text{ деталей в час}}$.

Задача номер 21 на ОГЭ — это задача на составление и решение уравнения. Главное правило: внимательно прочитайте условие, обозначьте неизвестное, выразите остальные величины и составьте уравнение. Чаще всего получается квадратное уравнение, которое нужно решить и проверить оба корня на допустимость. Помните, что скорость, время и количество работы должны быть положительными!

Задача Номер 21