Пример 1: Уравнение четвёртой степени
Задача:
Решите уравнение \(x^{4}=(2x-15)^{2}\).
Решение
Шаг 1. Перепишем левую часть как квадрат:
\[(x^2)^2-(2x-15)^2=0.\]
Шаг 2. Применим формулу разности квадратов \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\):
\[\bigl(x^2-(2x-15)\bigr)\bigl(x^2+(2x-15)\bigr)=0,\]
то есть
\[(x^2-2x+15)(x^2+2x-15)=0.\]
Шаг 3. Решим систему уравнений
\[\begin{cases} x^2-2x+15=0,\\ x^2+2x-15=0. \end{cases}\]
Шаг 4. Для \(x^2-2x+15=0\) дискриминант
\[D=(-2)^2-4\cdot1\cdot15=-56<0,\]
значит действительных корней нет.
Шаг 5. Для \(x^2+2x-15=0\) дискриминант
\[D=2^2-4\cdot1\cdot(-15)=64,\]
тогда
\[x=\frac{-2\pm8}{2},\]
откуда \(x=3\) или \(x=-5\).
Ответ: \(x = 3; \, x = -5\).
Пример 2: Сумма квадратов равна нулю
Задача:
Решите уравнение \( \left(x^{2}-4\right)^{2}+\left(x^{2}-3x-10\right)^{2}=0 \).
Решение
Шаг 1. Решим вспомогательное уравнение
\[x^{2}-3x-10=0.\]
По формуле корней квадратного уравнения получаем
\[x=\frac{3\pm\sqrt{(-3)^{2}-4\cdot1\cdot(-10)}}{2}=\frac{3\pm\sqrt{9+40}}{2}=\frac{3\pm7}{2},\]
откуда
\[x_{1}=5,\quad x_{2}=-2,\]
и
\[x^{2}-3x-10=(x-5)(x+2).\]
Шаг 2. Заметим, что
\[x^{2}-4=(x-2)(x+2).\]
Подставим эти разложения в исходное уравнение:
\[\bigl((x-2)(x+2)\bigr)^{2}+\bigl((x-5)(x+2)\bigr)^{2}=0.\]
Шаг 3. Вынесем общий множитель \((x+2)^{2}\):
\[(x-2)^{2}(x+2)^{2}+(x-5)^{2}(x+2)^{2} =(x+2)^{2}\bigl((x-2)^{2}+(x-5)^{2}\bigr).\]
Шаг 4. Раскроем сумму квадратов:
\[(x-2)^{2}+(x-5)^{2} =(x^{2}-4x+4)+(x^{2}-10x+25) =2x^{2}-14x+29.\]
Итак,
\[(x+2)^{2}(2x^{2}-14x+29)=0.\]
Шаг 5. Приравниваем каждый множитель к нулю:
\[\begin{cases} (x+2)^{2}=0,\\ 2x^{2}-14x+29=0. \end{cases}\]
Шаг 6. Первое уравнение даёт
\[x+2=0\ \Rightarrow\ x=-2.\]
Второе уравнение имеет дискриминант
\[D=(-14)^{2}-4\cdot2\cdot29=196-232=-36<0,\]
то есть действительных корней не даёт.
Шаг 7. Таким образом, единственный корень исходного уравнения:
\[x=-2.\]
Ответ: \(x = -2\).
Пример 3: Уравнение с заменой переменной
Задача:
Решите уравнение \( (x-2)^{4} + 3(x-2)^{2} - 10 = 0 \).
Решение
Шаг 1. Вводим замену
\[t = (x-2)^2.\]
Тогда \((x-2)^4 = t^2\) и исходное уравнение превращается в
\[t^2 + 3t - 10 = 0.\]
Шаг 2. Решаем квадратное уравнение
\[t^2 + 3t - 10 = 0.\]
Вычисляем дискриминант
\[D = 3^2 - 4\cdot1\cdot(-10) = 9 + 40 = 49,\quad \sqrt{D} = 7.\]
По формуле корней получаем
\[t = \frac{-3 \pm 7}{2} \;\Longrightarrow\; t_1 = 2,\quad t_2 = -5.\]
Шаг 3. Так как \(t = (x-2)^2 \ge 0\), отбрасываем лишний корень \(t_2 = -5\) и оставляем
\[t = 2.\]
Шаг 4. Возвращаемся к \(x\). Из \(t = 2\) следует
\[(x-2)^2 = 2 \quad\Longrightarrow\quad (x-2)^2 - 2 = 0.\]
Заметим, что \(2 = (\sqrt{2})^2\), значит
\[(x-2)^2 - (\sqrt{2})^2 = 0.\]
Шаг 5. Применяем формулу разности квадратов \(A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)\) с \(A = x-2\), \(B = \sqrt{2}\):
\[(x-2 - \sqrt{2})\,(x-2 + \sqrt{2}) = 0.\]
Шаг 6. По свойству нуля произведения получаем два линейных уравнения:
\[\begin{cases} x - 2 - \sqrt{2} = 0,\\ x - 2 + \sqrt{2} = 0. \end{cases}\]
Откуда
\[x = 2 + \sqrt{2} \quad\text{или}\quad x = 2 - \sqrt{2}.\]
Ответ: \(x = 2 + \sqrt{2}; \, x = 2 - \sqrt{2}\).
Пример 4: Система уравнений
Задача:
Решите систему уравнений \(\displaystyle \begin{cases}x^{2}+y=5,\\6x^{2}-y=2.\end{cases}\)
Решение
Шаг 1. Запишем систему:
\[\begin{cases} x^{2}+y=5,\\ 6x^{2}-y=2. \end{cases}\]
Шаг 2. Сложим оба уравнения по левой и правой частям:
\[(x^{2}+y)+(6x^{2}-y)=5+2.\]
Шаг 3. Упростим выражение, собрав подобные члены:
\[7x^{2}=7.\]
Шаг 4. Разделим обе части уравнения на 7:
\[x^{2}=1.\]
Шаг 5. Подставим \(x^{2}=1\) в первое исходное уравнение \(x^{2}+y=5\):
\[1+y=5\quad\Longrightarrow\quad y=4.\]
Шаг 6. Решим \(x^{2}=1\):
\[x=\pm1.\]
Получаем два решения системы:
\[(x,y)=(1,4)\quad\text{и}\quad(x,y)=(-1,4).\]
Ответ: \((1; 4)\) и \((-1; 4)\).
Пример 5: Рациональное неравенство
Задача:
Решите неравенство \( (x-7)^{2}<\sqrt{11}(x-7) \).
Решение
Шаг 1. Переносим все члены в левую часть и приводим подобные:
\[(x-7)^2 - \sqrt{11}\,(x-7)<0.\]
Шаг 2. Выносим общий множитель \(x-7\):
\[(x-7)\bigl((x-7)-\sqrt{11}\bigr)<0.\]
Шаг 3. Находим нули произведения, решая
\[(x-7)\bigl((x-7)-\sqrt{11}\bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=7,\;x=7+\sqrt{11}.\]
Шаг 4. Метод интервалов. На числовой оси отмечаем точки \(7\) и \(7+\sqrt{11}\), исключаем их (строгое неравенство) и определяем знак выражения на промежутках.
Шаг 5. Делая вывод по знакам, получаем
\[x\in(7;7+\sqrt{11}).\]
Ответ: \(x \in (7; 7+\sqrt{11})\).
Пример 6: Рациональное неравенство с дробью
Задача:
Решите неравенство \( -\frac{12}{x^{2}-7x-8} \leqslant 0 \).
Решение
Шаг 1. Разделим обе части неравенства на \(-12\), при этом знак неравенства поменяется на противоположный:
\[-\frac{12}{x^{2}-7x-8}\le0 \;\Longleftrightarrow\; \frac{1}{x^{2}-7x-8}\ge0.\]
Шаг 2. Найдём нули знаменателя, решив квадратное уравнение
\[x^{2}-7x-8=0.\]
Вычислим дискриминант:
\[D=(-7)^{2}-4\cdot1\cdot(-8)=49+32=81.\]
Корни:
\[x=\frac{7\pm\sqrt{81}}{2}=\frac{7\pm9}{2}\quad\Longrightarrow\quad x=-1,\;8.\]
Шаг 3. Представим знаменатель в виде произведения:
\[x^{2}-7x-8=(x-8)(x+1),\]
и запишем неравенство в окончательном виде:
\[\frac{1}{(x-8)(x+1)}\ge0.\]
Шаг 4. Метод интервалов. Критические точки \(x=-1\) и \(x=8\) разбивают числовую ось на три промежутка:
\[(-\infty,-1),\quad(-1,8),\quad(8,+\infty).\]
Определим знак выражения на каждом из них (например, подставив \(x=-2\), \(x=0\), \(x=9\)).
Шаг 5. Выясняем, что \(\frac{1}{(x-8)(x+1)}\ge0\) именно на интервалах \((-\infty,-1)\) и \((8,+\infty)\). При \(x=-1\) или \(x=8\) выражение не определено.
Ответ: \(x\in(-\infty,-1)\cup(8,+\infty)\).