Задача Номер 19

Шаг 1. По неравенству треугольника: для любого треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$ выполняется
\[ a + b > c. \] В прямоугольном треугольнике $a$, $b$ — катеты, $c$ — гипотенуза, значит $a + b > c$. Следовательно, утверждение 1 верно.

Шаг 2. Свойство биссектрисы угла: если точка $P$ лежит на биссектрисе угла $\angle A$, то расстояния от $P$ до сторон $AB$ и $AC$ равны, то есть
\[ d(P, AB) = d(P, AC). \] Это и утверждает пункт 2, значит он верен.

Шаг 3. В параллелограмме диагонали могут быть равны (например, в прямоугольнике), но при этом боковые стороны не обязаны быть равны. Прямоугольник имеет равные диагонали, но не является ромбом (в ромбе все стороны равны). Следовательно, утверждение 3 неверно.

Шаг 1. Утверждение 1 ложно: в ромбе диагонали не равны (они пересекаются под прямым углом, но имеют разные длины). Например, в ромбе со сторонами 1 и углами $60°$ и $120°$ диагонали имеют длины $\sqrt{3}$ и $1$, поэтому не равны.

Шаг 2. Утверждение 2 истинно: это признак подобия треугольников по двум углам. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого, то третьи углы также равны (сумма углов в треугольнике $180°$), и треугольники подобны.

Шаг 3. Утверждение 3 ложно: например, $\tan 60° = \sqrt{3} \approx 1.73 > 1$. Так что тангенс острого угла может быть и больше единицы.

Шаг 1. По определению параллельных прямых — это две прямые в одной плоскости, которые не пересекаются. В Евклидовой геометрии существует аксиома: через любую точку, не лежащую на данной прямой $\ell$, проходит ровно одна прямая, параллельная этой прямой. Поэтому утверждение 1 справедливо.

Шаг 2. Параллелограмм $ABCD$ — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Существует теорема: в параллелограмме диагонали равны тогда и только тогда, когда он является прямоугольником (все углы по $90°$). Ромб — это параллелограмм с равными всеми сторонами. Прямоугольник не обязательно имеет все стороны равными, поэтому не любой прямоугольник является ромбом. Следовательно, утверждение 2 ложно.

Шаг 3. Окружность с центром $O$ и радиусом $r$ определяется как множество всех точек, расстояние от каждой из которых до $O$ равно $r$. Если $X$ лежит на этой окружности, то по определению $OX = r$. Именно это утверждает пункт 3, значит он верен.

Шаг 1. Известен критерий: четырёхугольник $ABCD$ можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда
\[ \angle A + \angle C = 180°. \]

Шаг 2. В параллелограмме $ABCD$ противоположные углы равны:
\[ \angle A = \angle C, \] поэтому
\[ \angle A + \angle C = 2\angle A. \]

Шаг 3. Так как не всякий параллелограмм обладает углами по $90°$, то в общем случае $2\angle A \neq 180°$. Значит не любой параллелограмм можно вписать в окружность, и утверждение неверно.

Шаг 1. Пусть точка $P$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$. Обозначим точку пересечения перпендикуляра с $AB$ через $M$. Тогда $M$ — середина $AB$ и $PM \perp AB$.

Шаг 2. В треугольнике $APB$ отрезок $PM$ является одновременно медианой (соединяет вершину $P$ с серединой $AB$) и высотой (перпендикулярен $AB$).

Шаг 3. Если в треугольнике медиана, проведённая из вершины, совпадает с высотой, то этот треугольник равнобедренный, следовательно, $PA = PB$.

Шаг 4. Поскольку $PA = PB$, точка $P$ действительно равноудалена от концов отрезка $AB$.

Шаг 1. Применяем теорему о вписанном угле, опирающемся на диаметр: такой угол равен $90°$.

Шаг 2. Поскольку полученный угол равен $90°$, он является прямым.