Задачи номер 18 — это геометрические задачи на клетчатой бумаге, где нужно найти площади фигур, длины отрезков, радиусы кругов или тангенсы углов.
За правильное решение этой задачи вы получите 1 балл.
Эти задачи учат вас работать с геометрией в практических ситуациях и применять формулы площадей, теорему Пифагора и свойства подобия треугольников.
Что нужно знать для решения задач номер 18?
Задачи на клетчатой бумаге требуют знания основных формул геометрии и умения считать клетки.
Основные формулы для площадей:
Площадь прямоугольника: $S = a \cdot b$, где $a$ и $b$ — стороны.
Площадь треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ — основание, $h$ — высота.
Площадь трапеции: $S = \frac{a + b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — основания, $h$ — высота.
Площадь ромба: $S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2$, где $d_1$ и $d_2$ — диагонали.
Площадь круга: $S = \pi r^2$, где $r$ — радиус.
Средняя линия трапеции:
Средняя линия трапеции — это отрезок, соединяющий середины боковых сторон.
Формула средней линии:
\[
m = \frac{a + b}{2},
\]
где $a$ и $b$ — длины оснований трапеции.
Теорема Пифагора:
В прямоугольном треугольнике с катетами $a$ и $b$ и гипотенузой $c$:
\[
c^2 = a^2 + b^2.
\]
Эта формула помогает найти длину отрезка, если он является гипотенузой прямоугольного треугольника на сетке.
Тангенс угла:
В прямоугольном треугольнике тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему:
\[
\tan\alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}.
\]
Теорема Фалеса:
Если параллельные прямые пересекают две другие прямые, то они отсекают на этих прямых пропорциональные отрезки.
Следствие: средняя линия треугольника (соединяющая середины двух сторон) параллельна третьей стороне и равна её половине.
Алгоритм решения задачи номер 18:
Шаг 1. Внимательно рассмотрите рисунок и определите, какую величину нужно найти (площадь, длину, радиус или тангенс).
Шаг 2. Посчитайте клетки, чтобы найти необходимые размеры (длины сторон, высоты, диагонали, радиусы).
Шаг 3. Если нужна длина наклонного отрезка, постройте вспомогательный прямоугольный треугольник и используйте теорему Пифагора.
Шаг 4. Подставьте найденные значения в подходящую формулу.
Шаг 5. Выполните вычисления и запишите ответ.
Пример решения: Площадь трапеции
На клетчатой бумаге изображена трапеция. Нужно найти её площадь, если видно, что нижнее основание имеет длину 8 клеток, верхнее основание — 4 клетки, а высота — 3 клетки.
Решение
Шаг 1. Используем формулу площади трапеции:
\[
S = \frac{a + b}{2} \cdot h.
\]
Шаг 2. Подставляем значения: $a = 8$, $b = 4$, $h = 3$.
Шаг 3. Вычисляем:
\[
S = \frac{8 + 4}{2} \cdot 3 = \frac{12}{2} \cdot 3 = 6 \cdot 3 = 18.
\]
Ответ: площадь трапеции равна 18 квадратных клеток.
Мини-словарь важных терминов:
Основание трапеции — одна из двух параллельных сторон.
Высота — перпендикуляр, проведённый от одного основания к другому.
Диагональ — отрезок, соединяющий противоположные вершины многоугольника.
Радиус круга — расстояние от центра круга до его границы.
Гипотенуза — самая длинная сторона прямоугольного треугольника (напротив прямого угла).
Катет — одна из двух сторон прямоугольного треугольника, образующих прямой угол.
Пример 1: Средняя линия трапеции
Максимальный балл: 1
Задача:
На клетчатой бумаге с размером клетки $1\times1$ изображена трапеция. Найдите длину средней линии этой трапеции.
Решение
Шаг 1. Записать формулу средней линии трапеции:
\[
m = \frac{a + b}{2}.
\]
Шаг 2. Определить длины оснований трапеции по рисунку:
\[
a = 4,\quad b = 7.
\]
Шаг 3. Подставить найденные значения в формулу и вычислить:
\[
m = \frac{4 + 7}{2} = \frac{11}{2} = 5{,}5.
\]
Ответ: $5{,}5$.
Пример 2: Длина отрезка с использованием теоремы Фалеса
Максимальный балл: 1
Задача:
На клетчатой бумаге размером $1\times1$ изображена фигура. Найдите длину отрезка $AB$ по данным чертежа.
Решение
Шаг 1. Обозначим вершины треугольника на чертеже как $M$, $N$ и $C$, проведём отрезок $MN$ и заметим, что по построению $AB\parallel MN$.
Шаг 2. Проведём из точки $C$ высоту $CK$ на прямую, содержащую $MN$, и обозначим точку пересечения $CK$ с $AB$ как $L$.
Шаг 3. По чертежу видно, что
\[
\frac{CL}{LK} = \frac{3}{3} = 1.
\]
Шаг 4. Применяя теорему Фалеса в треугольнике $CMA$ (для угла $MCK$), получаем
\[
\frac{CA}{AM} = \frac{CL}{LK} = 1 \quad\Longrightarrow\quad CA = AM.
\]
Шаг 5. Аналогично, в треугольнике $CBN$ (для угла $KCN$) по теореме Фалеса имеем
\[
\frac{CB}{BN} = \frac{CL}{LK} = 1 \quad\Longrightarrow\quad CB = BN.
\]
Шаг 6. Поскольку в треугольнике $MCN$ точки $A$ и $B$ делят боковые стороны пополам и $AB\parallel MN$, отрезок $AB$ является средней линией в треугольнике $MCN$. По свойству средней линии
\[
\frac{AB}{MN} = \frac{1}{2}.
\]
Шаг 7. Из чертежа известно, что $MN = 6$. Следовательно,
\[
AB = \frac{MN}{2} = \frac{6}{2} = 3.
\]
Ответ: $3$.
Пример 3: Площадь ромба
Максимальный балл: 1
Задача:
На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён ромб. Найдите площадь этого ромба.
Решение
Шаг 1. Написать формулу площади ромба:
\[
S = \frac{1}{2}\,d_1 d_2.
\]
Шаг 2. Подставить значения диагоналей: $d_1 = 8$, $d_2 = 4$.
Шаг 3. Вычислить:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4 = 16.
\]
Ответ: $16$.
Пример 4: Отношение площадей кругов (целые радиусы)
Максимальный балл: 1
Задача:
На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?
Решение
Шаг 1. Запишем формулу для площади круга:
\[
S = \pi r^2.
\]
Шаг 2. По рисунку радиус большого круга равен $r_{\text{бол}} = 3$. Тогда
\[
S_{\text{бол}} = \pi \cdot 3^2 = 9\pi.
\]
Шаг 3. По рисунку радиус малого круга равен $r_{\text{мен}} = 1$. Тогда
\[
S_{\text{мен}} = \pi \cdot 1^2 = \pi.
\]
Шаг 4. Найдём отношение площадей:
\[
\frac{S_{\text{бол}}}{S_{\text{мен}}} = \frac{9\pi}{\pi} = 9.
\]
Ответ: $9$.
Пример 5: Отношение площадей кругов (радиус через теорему Пифагора)
Максимальный балл: 1
Задача:
На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?
Решение
Шаг 1. Построим на клетчатой бумаге прямоугольный треугольник с катетами длиной $3$ и $1$, гипотенуза которого совпадает с радиусом большего круга.
Шаг 2. По теореме Пифагора находим
\[
r_{\text{бол}} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}.
\]
Шаг 3. По формуле площади круга $S = \pi r^2$ получаем
\[
S_{\text{бол}} = \pi \bigl(\sqrt{10}\bigr)^2 = 10\pi.
\]
Шаг 4. Радиус меньшего круга равен $1$, поэтому
\[
S_{\text{мен}} = \pi \cdot 1^2 = \pi.
\]
Шаг 5. Находим отношение площадей:
\[
\frac{S_{\text{бол}}}{S_{\text{мен}}} = \frac{10\pi}{\pi} = 10.
\]
Ответ: $10$.
Пример 6: Тангенс угла
Максимальный балл: 1
Задача:
На клетчатой бумаге с размером клетки $1\times1$ изображён угол. Найдите тангенс этого угла.
Решение
Шаг 1. На рисунке выделен прямоугольный треугольник с горизонтальным катетом длины $2$ и вертикальным катетом длины $6$.
Шаг 2. По определению тангенса в прямоугольном треугольнике
\[
\tan\alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}.
\]
Шаг 3. Подставляем длины катетов:
\[
\tan\alpha = \frac{6}{2} = 3.
\]
Ответ: $3$.
Задачи номер 18 требуют от вас внимательности при подсчёте клеток и знания основных формул геометрии. Главное — правильно определить, какую формулу применить, и аккуратно провести вычисления.
Ключевые моменты:
- Для площадей используйте соответствующие формулы (прямоугольник, треугольник, трапеция, ромб, круг).
- Для наклонных отрезков применяйте теорему Пифагора.
- Помните о свойстве средней линии и теореме Фалеса.
- Для тангенса угла найдите противолежащий и прилежащий катеты.
Рекомендуемые связанные темы для углубленного изучения:
Фигуры на квадратной решётке
Площадь треугольника
Площадь трапеции
Площадь прямоугольника
Площадь круга и его частей
Прямоугольный треугольник: Теорема Пифагора
Прямоугольный треугольник: Тригонометрия
Признаки подобия треугольников
Ромб
Трапеция
Длина окружности