Основные понятия и свойства
Свойства: противоположные углы равны, соседние углы в сумме дают 180°, диагонали точкой пересечения делятся пополам.
Свойства: противоположные углы равны, диагонали перпендикулярны и делят углы пополам.
Свойства: углы при одном основании в сумме с углами при другом основании дают 180°.
Свойства: углы при одном основании равны между собой.
Длина средней линии: \[m = \frac{a + b}{2},\] где \(a\) и \(b\) — длины оснований.
Ключевые формулы
Площадь параллелограмма:
\[ S = a \cdot h, \] где \(a\) — сторона, \(h\) — высота, опущенная на эту сторону.Площадь ромба (через сторону и угол):
\[ S = a^2 \sin \alpha, \] где \(a\) — сторона, \(\alpha\) — угол ромба.Площадь трапеции:
\[ S = \frac{a + b}{2} \cdot h, \] где \(a\) и \(b\) — основания, \(h\) — высота.Сумма углов четырёхугольника:
\[ \sum \text{углов} = 360°. \]Алгоритм решения задачи номер 17
- Прочитайте условие и определите, какая фигура описана (параллелограмм, ромб, трапеция и т. д.).
- Выпишите известные данные: углы, стороны, диагонали, высоты.
- Вспомните свойства фигуры и решите, какое из них применить.
- Составьте уравнение или найдите неизвестное пошагово.
- Проверьте ответ: убедитесь, что он имеет смысл (например, угол не больше 180°).
Пример с пошаговым решением
Задача: В параллелограмме один из углов равен 60°. Найдите больший угол параллелограмма.
Решение
Шаг 1. Вспомним свойство параллелограмма: соседние углы в сумме дают 180°.
Шаг 2. Если один угол равен 60°, то соседний угол равен
Шаг 3. В параллелограмме противоположные углы равны, поэтому два угла по 60° и два угла по 120°.
Шаг 4. Больший угол параллелограмма равен 120°.
Максимальный балл за эту задачу: 1
Пример 1: Площадь ромба
Задача: Периметр ромба равен \(12\), а один из углов равен \(30°\). Найдите площадь ромба.
Решение:
Шаг 1. Вычислим сторону ромба:
Шаг 2. Найдём высоту ромба, опущенную на сторону:
Шаг 3. По формуле площади параллелограмма найдём площадь ромба:
Ответ: \(S = 4{,}5\).
Пример 2: Углы ромба
Задача: Один из углов ромба равен \(93°\). Найдите меньший угол этого ромба. Ответ дайте в градусах.
Решение
Шаг 1. В ромбе противоположные углы равны, а соседние в сумме дают \(180°\).
Шаг 2. Тогда соседний угол к данному углу \(93°\) равен
Шаг 3. Следовательно, меньший угол ромба равен \(87°\).
Ответ: \(87°\).
Пример 3: Углы равнобедренной трапеции
Задача: Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна \(94°\). Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
Решение
Шаг 1. В равнобедренной трапеции углы при одном основании равны. Обозначим углы при большем основании через \(x\), а при меньшем основании через \(y\).
Шаг 2. Углы \(x\) и \(y\) являются односторонними при параллельных основаниях, поэтому
Шаг 3. Поскольку трапеция равнобедренная, углы при меньшем основании — это два одинаковых тупых угла, и каждый тупой угол больше \(90°\). Значит,
Шаг 4. Так как дана сумма двух углов равная \(94°\) и \(y + y > 180°\), эти два угла не могут быть углами \(y\). Следовательно, суммируются два угла \(x\):
Шаг 5. Тогда больший угол трапеции равен
Ответ: \(133°\).
Пример 4: Средняя линия и диагональ трапеции
Задача: Основания трапеции равны \(10\) и \(11\). Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.
Решение
Шаг 1. Пусть \(AB = 11\), \(DC = 10\).
Шаг 2. Так как \(EF\) — средняя линия трапеции \(ABCD\), то \(E\) и \(F\) — середины боковых сторон \(AD\) и \(BC\), а \(EF \parallel AB\) и \(EF \parallel DC\). Точка \(O\) — пересечение \(EF\) с диагональю \(AC\).
Шаг 3. В треугольнике \(ADC\) отрезок \(EO\) соединяет середины сторон \(AD\) и \(AC\), поэтому он является средней линией треугольника \(ADC\) и
Шаг 4. В треугольнике \(ABC\) отрезок \(OF\) соединяет середины сторон \(BC\) и \(AC\), поэтому он является средней линией треугольника \(ABC\) и
Шаг 5. Больший из отрезков равен \(5{,}5\).
Ответ: \(5{,}5\).
Пример 5: Большее основание равнобедренной трапеции
Задача: В равнобедренной трапеции известны высота \(h = 5\), меньшее основание \(a = 3\) и угол при основании \(\alpha = 45°\). Найдите большее основание \(b\).
Решение
Шаг 1. Проведём вторую высоту из вершины \(D\) на большое основание \(BC\).
Шаг 2. Получаем прямоугольник и по две стороны — два равнобедренных прямоугольных треугольника с катетом \(h = 5\) и острым углом \(45°\).
Шаг 3. В равнобедренном прямоугольном треугольнике катеты равны, значит оба боковых отрезка равны \(5\).
Шаг 4. Большое основание состоит из трёх отрезков: \(5 + a + 5 = 5 + 3 + 5 = 13\).
Ответ: \(b = 13\).
Пример 6: Углы параллелограмма через диагональ
Задача: Диагональ \(BD\) параллелограмма \(ABCD\) образует с его сторонами углы, равные \(50°\) и \(85°\). Найдите меньший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Решение
Шаг 1. Находим угол \(\angle ABC\) как сумму углов \(\angle ABD\) и \(\angle DBC\):
Шаг 2. Пользуемся свойством параллелограмма: сумма смежных углов равна \(180°\). Тогда
Шаг 3. Меньший угол параллелограмма равен \(45°\).
Ответ: \(45°\).