Пример 1: Угол между касательной и хордой
Максимальный балл за эту задачу: 1
Задача:
На окружности отмечены точки $A$ и $B$ так, что меньшая дуга $AB$ равна $68°$. Прямая $BC$ касается окружности в точке $B$ так, что угол $ABC$ острый. Найдите угол $ABC$. Ответ дайте в градусах.
Решение
Шаг 1. По теореме об угле между касательной и хордой, угол между касательной $BC$ и хордой $BA$ равен половине дуги, которую стягивает хорда:
\[\angle ABC = \frac{1}{2} \widehat{AB}.\]Шаг 2. Подставим $\widehat{AB} = 68°$:
\[\angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 68° = 34°.\]Ответ: $34°$.
Пример 2: Радиус описанной окружности равностороннего треугольника
Максимальный балл за эту задачу: 1
Задача:
Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен $6\sqrt{3}$. Найдите длину стороны этого треугольника.
Решение
Шаг 1. По теореме синусов для любого треугольника:
\[\frac{AB}{\sin \angle C} = 2R.\]Шаг 2. В равностороннем треугольнике все углы равны $60°$, поэтому:
\[AB = 2R \sin 60°.\]Шаг 3. Знаем, что $\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Подставим $R = 6\sqrt{3}$:
\[AB = 2 \cdot 6\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}.\]Шаг 4. Вычислим:
\[AB = 2 \cdot 6\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6 \cdot 3 = 18.\]Ответ: $18$.
Пример 3: Описанный четырёхугольник
Максимальный балл за эту задачу: 1
Задача:
Четырёхугольник $ABCD$ описан около окружности, $AB = 8$, $BC = 20$, $CD = 17$. Найдите $AD$.
Решение
Шаг 1. Для четырёхугольника, описанного около окружности, справедливо свойство: сумма противоположных сторон равна:
\[AB + CD = BC + AD.\]Шаг 2. Выразим $AD$:
\[AD = AB + CD - BC.\]Шаг 3. Подставим известные значения:
\[AD = 8 + 17 - 20 = 5.\]Ответ: $5$.
Пример 4: Радиус описанной окружности квадрата
Максимальный балл за эту задачу: 1
Задача:
Сторона квадрата равна $16\sqrt{2}$. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.
Решение
Шаг 1. В квадрате все углы равны $90°$. Угол $\angle BCD = 90°$ — вписанный угол, опирающийся на сторону $BD$. По свойству вписанного угла, если вписанный угол равен $90°$, то сторона, на которую он опирается, является диаметром окружности:
\[BD = \text{диаметр}.\]
Шаг 2. Диагональ квадрата $BD$ найдём по теореме Пифагора. В прямоугольном треугольнике $BCD$:
\[BD^2 = BC^2 + CD^2 = (16\sqrt{2})^2 + (16\sqrt{2})^2.\]Шаг 3. Вычислим:
\[BD^2 = 16^2 \cdot 2 + 16^2 \cdot 2 = 256 \cdot 2 + 256 \cdot 2 = 1024,\] \[BD = 32.\]Шаг 4. Радиус — половина диаметра:
\[R = \frac{BD}{2} = \frac{32}{2} = 16.\]Ответ: $16$.
Пример 5: Площадь квадрата с вписанной окружностью
Максимальный балл за эту задачу: 1
Задача:
Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса $9$.
Решение
Шаг 1. Пусть $ABCD$ — квадрат, $O$ — центр вписанной окружности радиуса $r = 9$. Точки $K$ и $L$ — точки касания окружности со сторонами $BC$ и $AD$.
Шаг 2. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу в точке касания. Поэтому $OK \perp BC$ и $OL \perp AD$. Так как $BC \parallel AD$, прямые $OK$ и $OL$ обе перпендикулярны $AD$, значит, они лежат на одной прямой, проходящей через $O$.
Шаг 3. Из того, что $CD \perp AD$ и $KL \perp AD$, получаем $KL \parallel CD$. Следовательно, четырёхугольник $KCDL$ — параллелограмм, и $KL = CD$.
Шаг 4. Поскольку $OK = OL = r$, то расстояние между $K$ и $L$ равно:
\[KL = OK + OL = 2r = 2 \cdot 9 = 18.\]Шаг 5. Значит, сторона квадрата $CD = 18$. Площадь квадрата:
\[S = CD^2 = 18^2 = 324.\]Ответ: $324$.
Пример 6: Высота равнобедренной трапеции с вписанной окружностью
Максимальный балл за эту задачу: 1
Задача:
Радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, равен $22$. Найдите высоту этой трапеции.
Решение
Шаг 1. Для равнобедренной трапеции с вписанной окружностью радиуса $r$ высота трапеции связана с радиусом формулой:
\[r = \frac{h}{2}.\]Шаг 2. Выразим высоту:
\[h = 2r.\]Шаг 3. Подставим $r = 22$:
\[h = 2 \cdot 22 = 44.\]Ответ: $44$.