Задача номер 15 на ОГЭ — это геометрические задачи про треугольники и многоугольники. Здесь нужно найти стороны, углы, площади или применить свойства фигур. За эту задачу можно получить 1 балл. Это базовая задача, которая требует знания формул и свойств геометрических фигур.
Задача: В прямоугольном треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90°$, $\sin \angle B = \frac{4}{9}$, $AB = 18$. Найдите $AC$.
Шаг 1. Определим, что нам дано:
— угол $C = 90°$ (прямой угол);
— $\sin \angle B = \frac{4}{9}$ (синус угла $B$);
— $AB = 18$ (гипотенуза, так как она напротив прямого угла);
— найти нужно $AC$ (сторону, противолежащую углу $B$).
Шаг 2. Вспомним определение синуса острого угла в прямоугольном треугольнике.
В треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$:
$\sin \angle B = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AC}{AB}$
Шаг 3. Подставим известные значения:
$\frac{4}{9} = \frac{AC}{18}$
Шаг 4. Выразим $AC$:
$AC = \frac{4}{9} \cdot 18 = \frac{4 \cdot 18}{9} = \frac{72}{9} = 8$
Ответ: $AC = 8$.
Пример 1. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90°$, $\tan\angle B = \frac{11}{8}$, $BC = 24$. Найдите $AC$.
Решение:
Шаг 1. В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ по определению
$\tan\angle B = \frac{AC}{BC}.$
Шаг 2. По условию задачи $\tan\angle B = \frac{11}{8}$, значит
$\frac{AC}{BC} = \frac{11}{8}.$
Шаг 3. Выразим $AC$:
$AC = \frac{11}{8} \cdot BC.$
Шаг 4. Подставим $BC = 24$ и вычислим:
$AC = \frac{11}{8} \cdot 24 = 11 \cdot \frac{24}{8} = 11 \cdot 3 = 33.$
Ответ: $AC = 33$.
Пример 2. В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $45°$, угол $B$ равен $60°$, $BC = 8\sqrt{6}$. Найдите $AC$.
Шаг 1. Применяем теорему синусов:
$\frac{\sin A}{BC} = \frac{\sin B}{AC}.$
Шаг 2. Выражаем искомую сторону $AC$:
$AC = \frac{BC \cdot \sin B}{\sin A}.$
Шаг 3. Подставляем данные задачи:
$AC = \frac{8\sqrt{6} \cdot \sin 60°}{\sin 45°} = \frac{8\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{8\sqrt{6} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{18}}{\sqrt{2}} = \frac{8 \cdot 3\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 24.$
Ответ: $AC = 24$.
Пример 3. У треугольника со сторонами $12$ и $6$ проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведённая к первой стороне, равна $3$. Чему равна высота, проведённая ко второй стороне?
Шаг 1. Вычислим площадь $S$ треугольника, взяв в качестве основания сторону $a=12$ и соответствующую ей высоту $h_a=3$:
$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 3 = 18.$
Шаг 2. Пусть $h$ — высота к стороне $b=6$. Тогда та же площадь равна
$S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot h = 18.$
Шаг 3. Решим уравнение $3h = 18$: получаем $h = 6$.
Ответ: высота равна $6$.
Пример 4. На стороне $AC$ треугольника $ABC$ отмечена точка $D$ так, что $AD = 3$, $DC = 4$. Площадь треугольника $ABC$ равна $28$. Найдите площадь треугольника $ABD$.
Шаг 1. Опустим перпендикуляр $BH$ к стороне $AC$.
Шаг 2. Запишем формулы площадей:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BH \cdot AC, \quad S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot BH \cdot AD.$
Шаг 3. Составим отношение площадей:
$\frac{S_{ABD}}{S_{ABC}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot BH \cdot AD}{\frac{1}{2} \cdot BH \cdot AC} = \frac{AD}{AC} \implies S_{ABD} = \frac{AD}{AC} \cdot S_{ABC}.$
Шаг 4. Найдём $AC = AD + DC = 3 + 4 = 7$.
Шаг 5. Подставим численные значения:
$S_{ABD} = \frac{3}{7} \cdot 28 = 12.$
Ответ: $S_{ABD} = 12$.
Пример 5. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90°$, $\sin \angle B = \frac{4}{9}$, $AB = 18$. Найдите $AC$.
Решение:
Шаг 1. В прямоугольном треугольнике $ABC$ по определению синуса острого угла $B$ имеем
$\sin \angle B = \frac{AC}{AB}.$
Шаг 2. Подставляем известные значения:
$AC = AB \cdot \sin \angle B = 18 \cdot \frac{4}{9}.$
Шаг 3. Вычисляем произведение:
$18 \cdot \frac{4}{9} = 8.$
Ответ: $AC = 8$.
Задача номер 15 требует хорошего понимания свойств треугольников, тригонометрии и формул площадей. Главное — правильно определить тип треугольника и выбрать нужную формулу. Всегда делайте чертёж, чтобы лучше понять задачу. Практикуйтесь с разными типами задач, и вы обязательно научитесь их решать!
Связанные темы для изучения: