Задачи номер 14 на ОГЭ — это задачи на геометрические и арифметические прогрессии, а также на процессы с постоянным изменением (распад, размножение, отскоки). За эту задачу можно получить 1 балл. Это задачи, где нужно найти член последовательности или понять закономерность изменения величины во времени.
Что такое последовательность?
Последовательность — это набор чисел, расположенных в определённом порядке. Каждое число в последовательности называется членом.
Формула геометрической прогрессии:
\[
a_n = a_1 \cdot q^{n-1}
\]
где $a_1$ — первый член, $q$ — знаменатель, $n$ — номер члена.
Формула арифметической прогрессии:
\[
a_n = a_1 + (n-1) \cdot d
\]
где $a_1$ — первый член, $d$ — разность, $n$ — номер члена.
Мини-глоссарий:
Алгоритм решения задачи номер 14:
Подробный пример 1: Распад радиоактивного изотопа
Задача: Масса радиоактивного изотопа уменьшается вдвое каждые 7 минут. Начальная масса — 160 мг. Найди массу через 28 минут.
Решение:
Шаг 1. Величина — масса изотопа. Она уменьшается вдвое каждые 7 минут.
Шаг 2. Это геометрическая прогрессия, потому что масса умножается на $\frac{1}{2}$ каждый период. Знаменатель $q = \frac{1}{2}$.
Шаг 3. За 28 минут пройдёт $28 \div 7 = 4$ периода полураспада.
Шаг 4. Составляем таблицу:
\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Время (мин)} & \text{Масса (мг)} \\
\hline
0 & 160 \\
7 & 160 \cdot \frac{1}{2} = 80 \\
14 & 80 \cdot \frac{1}{2} = 40 \\
21 & 40 \cdot \frac{1}{2} = 20 \\
28 & 20 \cdot \frac{1}{2} = 10 \\
\hline
\end{array}
\]
Шаг 5. Ответ: через 28 минут масса равна 10 мг.
Подробный пример 2: Отскоки мячика
Задача: Мячик подпрыгнул на 4 м, а при каждом следующем прыжке высота в 2 раза меньше. При каком прыжке высота впервые будет менее 20 см?
Решение:
Шаг 1. Переводим в одни единицы: 4 м = 400 см, нужно найти, когда высота < 20 см.
Шаг 2. Высота каждый раз умножается на $\frac{1}{2}$. Это ГП с $q = \frac{1}{2}$.
Шаг 3. Составляем последовательность:
\[
h_1 = 400 \text{ см}
\]
\[
h_2 = 400 \cdot \frac{1}{2} = 200 \text{ см}
\]
\[
h_3 = 200 \cdot \frac{1}{2} = 100 \text{ см}
\]
\[
h_4 = 100 \cdot \frac{1}{2} = 50 \text{ см}
\]
\[
h_5 = 50 \cdot \frac{1}{2} = 25 \text{ см}
\]
\[
h_6 = 25 \cdot \frac{1}{2} = 12{,}5 \text{ см}
\]
Шаг 4. При шестом прыжке высота 12,5 см < 20 см. Ответ: при 6-м прыжке.
Пример 1: Распад радиоактивного изотопа (базовый)
Задача: В ходе распада радиоактивного изотопа его масса $m(t)$ уменьшается вдвое каждые 7 минут. В начальный момент времени $t=0$ масса изотопа составляла $m(0)=160$ мг. Найдите массу изотопа $m(28)$ через 28 минут.
Решение:
Шаг 1. Заметим, что период полураспада изотопа равен 7 минут, то есть каждые 7 минут масса уменьшается вдвое.
Шаг 2. Составим таблицу значений функции $m(t)$ через каждые 7 минут:
\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
t,\,\text{мин} & m(t),\,\text{мг} \\
\hline
0 & 160 \\
7 & 80 \\
14 & 40 \\
21 & 20 \\
28 & 10 \\
\hline
\end{array}
\]
Шаг 3. По таблице находим, что через 28 минут масса изотопа равна $10$ мг.
Пример 2: Отскоки мячика (базовый)
Задача: Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на $4$ м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в два раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты $20$ см?
Решение:
Шаг 1. Переведём начальную высоту в сантиметры:
\[
4\,\text{м} = 4 \times 100\,\text{см} = 400\,\text{см}.
\]
Шаг 2. Высота второго отскока вдвое меньше первой:
\[
h_2 = \frac{400}{2}\,\text{см} = 200\,\text{см}.
\]
Шаг 3. Высота третьего отскока вдвое меньше второй:
\[
h_3 = \frac{200}{2}\,\text{см} = 100\,\text{см}.
\]
Шаг 4. Высота четвёртого отскока вдвое меньше третьей:
\[
h_4 = \frac{100}{2}\,\text{см} = 50\,\text{см}.
\]
Шаг 5. Высота пятого отскока вдвое меньше четвёртой:
\[
h_5 = \frac{50}{2}\,\text{см} = 25\,\text{см}.
\]
Шаг 6. Высота шестого отскока вдвое меньше пятой:
\[
h_6 = \frac{25}{2}\,\text{см} = 12{,}5\,\text{см}.
\]
Шаг 7. Поскольку $h_6 = 12{,}5\,\text{см} < 20\,\text{см}$, на шестом по счёту отскоке мячик впервые не достигнет высоты $20\,\text{см}$.
Пример 3: Размножение микроорганизмов
Задача: В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой $3$ мг. Каждые $20$ минут масса колонии увеличивается в $3$ раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через $80$ минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.
Решение:
Шаг 1. После 20 минут масса колонии будет $3 \cdot 3 = 9$ мг.
Шаг 2. После 40 минут масса колонии будет $9 \cdot 3 = 27$ мг.
Шаг 3. После 60 минут масса колонии будет $27 \cdot 3 = 81$ мг.
Шаг 4. После 80 минут масса колонии будет $81 \cdot 3 = 243$ мг.
Пример 4: Распад с большим периодом
Задача: В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые $7$ минут. В начальный момент масса изотопа составляла $640$ мг. Найдите массу изотопа через $42$ минуты.
Решение:
Шаг 1. Составляем таблицу зависимости массы изотопа $m(t)$ от времени $t$ с шагом в $7$ минут:
\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
t\,(\text{мин}) & m(t)\,(\text{мг})\\
\hline
0 & 640\\
\hline
7 & 320\\
\hline
14 & 160\\
\hline
21 & 80\\
\hline
28 & 40\\
\hline
35 & 20\\
\hline
42 & 10\\
\hline
\end{array}
\]
Шаг 2. По таблице при $t=42$ мин масса изотопа равна $10$ мг.
Пример 5: Отскоки с делением на 3
Задача: Каучуковый мячик бросили на асфальт. После первого отскока он подпрыгнул на высоту $6{,}3$ м, а каждый последующий отскок достигает $\frac{1}{3}$ высоты предыдущего. При каком по счёту отскоке мячик впервые не достигнет высоты $25$ см?
Решение:
Шаг 1. Переводим высоту первого отскока в сантиметры:
\[
h_1 = 6{,}3\,\text{м} = 6{,}3 \times 100\,\text{см} = 630\,\text{см}.
\]
Шаг 2. На каждом следующем отскоке мячик поднимается в три раза меньше, то есть делим на 3. Высота второго отскока:
\[
h_2 = \frac{h_1}{3} = \frac{630}{3} = 210\,\text{см}.
\]
Шаг 3. То же правило для третьего отскока:
\[
h_3 = \frac{h_2}{3} = \frac{210}{3} = 70\,\text{см}.
\]
Шаг 4. И для четвёртого отскока:
\[
h_4 = \frac{h_3}{3} = \frac{70}{3} \approx 23{,}33\,\text{см}.
\]
Поскольку $h_4 < 25$ см, ответ: при четвёртом отскоке мячик впервые не достигнет 25 см.
Пример 6: Отскоки с делением на 3 (другие числа)
Задача: Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на $5{,}4$ м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в три раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты $10$ см?
Решение:
Шаг 1. Переведём высоту первого отскока в сантиметры:
\[
h_1 = 5{,}4\,\text{м} = 5{,}4 \times 100 = 540\,\text{см}.
\]
Шаг 2. Так как каждый следующий отскок в 3 раза ниже предыдущего, то
\[
h_2 = \frac{h_1}{3} = \frac{540}{3} = 180\,\text{см}.
\]
Шаг 3. Аналогично:
\[
h_3 = \frac{h_2}{3} = \frac{180}{3} = 60\,\text{см}.
\]
Шаг 4. Ещё раз делим на 3:
\[
h_4 = \frac{h_3}{3} = \frac{60}{3} = 20\,\text{см}.
\]
Шаг 5. И наконец:
\[
h_5 = \frac{h_4}{3} = \frac{20}{3}\,\text{см} = 6\frac{2}{3}\,\text{см}.
\]
Поскольку $6\frac{2}{3}<10$, при пятом отскоке мячик впервые не достигнет $10$ см.
Задачи номер 14 — это задачи на последовательности, в основном на геометрическую прогрессию. Главное — правильно определить:
Практикуйся на разных типах задач, и ты быстро научишься видеть закономерности! Помни: таблица — твой лучший друг при решении этих задач.
Связанные навыки:
Геометрическая прогрессия
Сумма первых n членов ГП
Определение разности и первого члена ГП
Текстовые задачи на ГП
Арифметическая прогрессия
Сумма первых n членов АП
Определение разности и первого члена АП
Текстовые задачи на АП
Сложные проценты
Запись последовательностей
Способы задания последовательностей
Правило n-го члена последовательностей
Определение следующего члена последовательностей
Чтение условия и извлечение данных из текста
Перевод текставой задачи в уравнение