Пример 1: Система с пустым решением
Максимальный балл за эту задачу: 1
Задача:
Укажите решение системы неравенств
\[ \begin{cases} -9 + 3x < 0,\\ 2 - 3x < -10. \end{cases} \]
Решение
Шаг 1. Преобразуем первое неравенство:
\[ -9 + 3x < 0 \;\Longrightarrow\; 3x < 9. \]Шаг 2. Преобразуем второе неравенство:
\[ 2 - 3x < -10 \;\Longrightarrow\; -3x < -12. \]Шаг 3. Разделим обе части каждого неравенства на коэффициент при \(x\), помня, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется:
\[ 3x < 9 \;\Longrightarrow\; x < 3, \] \[ -3x < -12 \;\Longrightarrow\; x > 4. \]Шаг 4. Системе соответствует пересечение множеств решений:
\[ \{x \mid x < 3\} \;\cap\; \{x \mid x > 4\} = \varnothing. \]Вывод: Система не имеет решений, так как нет значений \(x\), которые одновременно меньше 3 и больше 4.
Пример 2: Система с решением
Максимальный балл за эту задачу: 1
Задача:
Укажите решение системы неравенств
\[ \begin{cases} -5 + 5x < 0,\\ 4 - 3x < 31. \end{cases} \]Варианты ответа:
\[ 1) \; x \in (-9; 1) \] \[ 2) \; x \in (-9; 3) \] \[ 3) \; x \in (-3; 1) \] \[ 4) \; x \in (-9; -1) \]Решение
Шаг 1. Упростим первое неравенство:
\[ -5 + 5x < 0 \;\Longrightarrow\; 5x < 5 \;\Longrightarrow\; x < 1. \]Шаг 2. Упростим второе неравенство:
\[ 4 - 3x < 31 \;\Longrightarrow\; -3x < 27 \;\Longrightarrow\; x > -9. \]Шаг 3. Пересечение решений обоих неравенств:
\[ \begin{cases} x < 1,\\ x > -9 \end{cases} \;\Longrightarrow\; x \in (-9; 1). \]Ответ: 1) \(x \in (-9; 1)\)
Пример 3: Квадратное неравенство
Максимальный балл за эту задачу: 1
Задача:
Укажите решение неравенства \((x + 2)(x - 7) > 0\).
Решение
Шаг 1. Найдём корни уравнений \(x + 2 = 0\) и \(x - 7 = 0\).
Шаг 2. Получаем точки \(x = -2\) и \(x = 7\).
Шаг 3. На числовой прямой разбиваем её на три интервала: \((-\infty, -2)\), \((-2, 7)\), \((7, +\infty)\).
Шаг 4. Определяем знак произведения \((x + 2)(x - 7)\) на каждом интервале:
- На \((-\infty, -2)\): \(x + 2 < 0\), \(x - 7 < 0\) \(\Rightarrow\) \((−) \cdot (−) = (+)\)
- На \((-2, 7)\): \(x + 2 > 0\), \(x - 7 < 0\) \(\Rightarrow\) \((+) \cdot (−) = (−)\)
- На \((7, +\infty)\): \(x + 2 > 0\), \(x - 7 > 0\) \(\Rightarrow\) \((+) \cdot (+) = (+)\)
Шаг 5. Так как нужно \((x + 2)(x - 7) > 0\), выбираем интервалы, где произведение положительно:
\[ x \in (-\infty, -2) \cup (7, +\infty). \]Ответ: \(x \in (-\infty, -2) \cup (7, +\infty)\)
Пример 4: Линейное неравенство с одной переменной
Максимальный балл за эту задачу: 1
Задача:
При каких значениях \(a\) выражение \(7a + 3\) принимает только отрицательные значения?
Варианты ответа:
\[ 1) \; a > -\frac{3}{7} \] \[ 2) \; a < -\frac{3}{7} \] \[ 3) \; a > -\frac{7}{3} \] \[ 4) \; a < -\frac{7}{3} \]Решение
Шаг 1. Запишем условие отрицательности выражения:
\[ 7a + 3 < 0. \]Шаг 2. Вычтем 3 из левой и правой части неравенства:
\[ 7a < -3. \]Шаг 3. Разделим обе части на положительное число 7 (знак неравенства не меняется):
\[ a < -\frac{3}{7}. \]Ответ: 2) \(a < -\frac{3}{7}\)
Пример 5: Ещё одно квадратное неравенство
Максимальный балл за эту задачу: 1
Задача:
Укажите решение неравенства \((x + 2)(x - 10) > 0\).
Варианты ответа:
\[ 1) \; (-2; 10) \] \[ 2) \; (-\infty; -2) \cup (10; +\infty) \] \[ 3) \; (10; +\infty) \] \[ 4) \; (-2; +\infty) \]Решение
Шаг 1. Запишем неравенство:
\[ (x + 2)(x - 10) > 0. \]Шаг 2. Найдём корни каждого множителя:
\[ \begin{cases} x + 2 = 0 \;\Rightarrow\; x = -2,\\ x - 10 = 0 \;\Rightarrow\; x = 10. \end{cases} \]Шаг 3. Разобьём числовую прямую на три интервала по точкам \(-2\) и \(10\):
\[ (-\infty, -2), \quad (-2, 10), \quad (10, +\infty). \]
Шаг 4. Определим знак выражения \((x + 2)(x - 10)\) на каждом интервале методом интервалов и выберем те интервалы, где произведение положительно:
\[ x \in (-\infty, -2) \cup (10, +\infty). \]Ответ: 2) \((-\infty, -2) \cup (10, +\infty)\)
Пример 6: Система с противоречивыми условиями
Максимальный балл за эту задачу: 1
Задача:
Укажите решение системы неравенств
\[ \begin{cases} x > -1,\\ -4 - x > 0. \end{cases} \]
Решение
Шаг 1. Преобразуем неравенство \(-4 - x > 0\). Добавим \(x\) к обеим частям:
\[ -4 - x + x > 0 + x \;\Longrightarrow\; -4 > x, \]то есть
\[ x < -4. \]Шаг 2. Теперь имеем два неравенства:
\[ x > -1 \quad\text{и}\quad x < -4. \]Шаг 3. Поскольку \(-4 < -1\), нет числа, удовлетворяющего одновременно обоим условиям. Следовательно, система не имеет решений.
Ответ: Система не имеет решений (пустое множество).