Основные типы функций и их графики
В задаче 11 чаще всего встречаются три типа функций. Давайте их разберём:
Формула: $y = kx + b$
График: прямая линия
$k$ — угловой коэффициент (наклон), $b$ — точка пересечения с осью $OY$
Формула: $y = ax^2 + bx + c$
График: парабола (U-образная кривая)
Если $a > 0$, ветви смотрят вверх; если $a < 0$, ветви смотрят вниз
Формула: $y = \frac{k}{x}$
График: гипербола (две ветви)
Если $k > 0$, ветви в I и III четвертях; если $k < 0$, ветви во II и IV четвертях
Как определить знак коэффициента $k$ в линейной функции $y = kx + b$?
Коэффициент $k$ (угловой коэффициент):
- Если $k > 0$: прямая идёт вверх слева направо (острый угол с осью $OX$)
- Если $k < 0$: прямая идёт вниз слева направо (тупой угол с осью $OX$)
Коэффициент $b$ (свободный член):
- Если $b > 0$: прямая пересекает ось $OY$ выше оси $OX$ (в положительной части)
- Если $b < 0$: прямая пересекает ось $OY$ ниже оси $OX$ (в отрицательной части)
Как определить знак коэффициента в гиперболе $y = \frac{k}{x}$?
Коэффициент $k$:
- Если $k > 0$: гипербола расположена в I и III четвертях (правая верхняя и левая нижняя)
- Если $k < 0$: гипербола расположена во II и IV четвертях (левая верхняя и правая нижняя)
- Чем больше $|k|$, тем дальше ветви гиперболы от осей координат
Как определить направление ветвей параболы?
Коэффициент $a$ в $y = ax^2 + bx + c$:
- Если $a > 0$: ветви параболы направлены вверх (∪)
- Если $a < 0$: ветви параболы направлены вниз (∩)
Вершина параболы: абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$
Если $x_v < 0$, вершина находится слева от оси $OY$; если $x_v > 0$, вершина находится справа.
Алгоритм решения задачи номер 11
Шаг 2: Для прямой определите знаки $k$ и $b$ по наклону и пересечению с осью $OY$.
Шаг 3: Для параболы определите знак $a$ по направлению ветвей и найдите абсциссу вершины.
Шаг 4: Для гиперболы определите знак $k$ по расположению ветвей и сравните коэффициенты по расстоянию от осей.
Шаг 5: Сопоставьте каждый график с соответствующей формулой.
Подробный пример
Задача: Установите соответствие между формулами и графиками.
Формулы:
1) $y = 2x - 1$
2) $y = -x + 2$
3) $y = x^2$
Решение
Шаг 1: Анализируем формулы.
• Формулы 1 и 2 — линейные (прямые).
• Формула 3 — квадратичная (парабола).
Шаг 2: Для формулы $y = 2x - 1$:
• $k = 2 > 0$ → прямая идёт вверх.
• $b = -1 < 0$ → пересекает ось $OY$ ниже оси $OX$ в точке $(0, -1)$.
Шаг 3: Для формулы $y = -x + 2$:
• $k = -1 < 0$ → прямая идёт вниз.
• $b = 2 > 0$ → пересекает ось $OY$ выше оси $OX$ в точке $(0, 2)$.
Шаг 4: Для формулы $y = x^2$:
• $a = 1 > 0$ → ветви параболы направлены вверх.
• Вершина в точке $(0, 0)$ (на начале координат).
Шаг 5: Сопоставляем с графиками:
• Если видим прямую, идущую вверх и пересекающую $OY$ ниже нуля → формула 1.
• Если видим прямую, идущую вниз и пересекающую $OY$ выше нуля → формула 2.
• Если видим параболу, ветви вверх, вершина в начале координат → формула 3.
Пример 1: Соответствие между графиками функций и формулами
Задача:
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
Формулы:
1) $y = -x^2$
2) $y = -x$
3) $y = -\frac{1}{x}$
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Решение
Шаг 1. График под буквой «A» — прямая, соответствует линейному уравнению $y = -x$ (номер 2).
Шаг 2. График под буквой «Б» — парабола, соответствует квадратному уравнению $y = -x^2$ (номер 1).
Шаг 3. График под буквой «В» — гипербола, соответствует уравнению обратной пропорциональности $y = -\frac{1}{x}$ (номер 3).
Ответ: A → 2, Б → 1, В → 3
---Пример 2: Определение знаков коэффициентов линейной функции
Задача:
На рисунках изображены графики функций вида $y = kx + b$. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов $k$ и $b$:
Варианты ответов:
1) $k < 0, b < 0$
2) $k > 0, b > 0$
3) $k < 0, b > 0$
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Решение
Шаг 1. Определяем влияние знака коэффициента $k$ на поведение графика:
• Если $k > 0$, то при увеличении $x$ значение $y$ возрастает.
• Если $k < 0$, то при увеличении $x$ значение $y$ убывает.
Шаг 2. Определяем значение коэффициента $b$ по точке пересечения с осью ординат:
• Точка пересечения с осью $OY$ имеет координаты $(0, b)$.
• Если $b > 0$, точка лежит выше оси абсцисс.
• Если $b < 0$, точка лежит ниже оси абсцисс.
Шаг 3. Анализ графика «А»:
• Точка пересечения с осью $OY$ выше оси абсцисс ⇒ $b > 0$.
• При росте $x$ значение $y$ убывает ⇒ $k < 0$.
⇒ График «А» соответствует пункту 3.
Шаг 4. Анализ графика «Б»:
• Точка пересечения с осью $OY$ ниже оси абсцисс ⇒ $b < 0$.
• При росте $x$ значение $y$ убывает ⇒ $k < 0$.
⇒ График «Б» соответствует пункту 1.
Шаг 5. Анализ графика «В»:
• Точка пересечения с осью $OY$ выше оси абсцисс ⇒ $b > 0$.
• При росте $x$ значение $y$ возрастает ⇒ $k > 0$.
⇒ График «В» соответствует пункту 2.
Ответ: A → 3, Б → 1, В → 2
---Пример 3: Гиперболы и сравнение коэффициентов
Задача:
Установите соответствие между формулами, которыми заданы функции, и графиками этих функций.
Формулы:
A) $y = \frac{1}{6x}$
Б) $y = -\frac{6}{x}$
В) $y = \frac{6}{x}$
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Решение
Шаг 1. В формуле $y = -\frac{6}{x}$ множитель «–6» отрицателен, значит её гипербола расположена во II и IV четвертях. Это единственный график с отрицательным коэффициентом — номер 2.
Шаг 2. Оставшиеся функции $y = \frac{6}{x}$ и $y = \frac{1}{6x}$ имеют положительный коэффициент: $6$ и $\frac{1}{6}$, причём $6 > \frac{1}{6}$. Чем больше коэффициент, тем дальше ветви гиперболы от осей. Значит $y = \frac{6}{x}$ — график номер 3, а $y = \frac{1}{6x}$ — график номер 1.
Ответ: A → 1, Б → 2, В → 3
---Пример 4: Параболы и вершины
Задача:
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
Формулы:
1) $y = x^2 - 8x + 16$
2) $y = -x^2 - 8x - 16$
3) $y = -x^2 + 8x - 16$
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Решение
Шаг 1. График A — парабола с ветвями вверх, значит $a > 0$, это функция 1.
Шаг 2. Формула абсциссы вершины: $x_v = -\frac{b}{2a}$. Для функции 2: $a = -1$, $b = -8$, значит
\[x_v = -\frac{-8}{2 \cdot (-1)} = -4.\]
Шаг 3. Поскольку $x_v = -4 < 0$, эта парабола лежит слева от оси $OY$, значит функция 2 соответствует графику B, а оставшаяся функция 3 — графику C.
Ответ: A → 1, Б → 2, В → 3
---Пример 5: Симметричные гиперболы
Задача:
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
Формулы:
1) $y = -\frac{1}{3x}$
2) $y = \frac{3}{x}$
3) $y = -\frac{3}{x}$
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Решение
Шаг 1. Графики $A$ и $B$ симметричны относительно оси $Oy$, значит соответствующие им функции отличаются только знаком коэффициента.
Шаг 2. Из трёх формул только две имеют одинаковый по модулю, но противоположный по знаку числовой коэффициент ($+3$ и $-3$), следовательно, графикам $A$ и $B$ соответствуют формулы 2 и 3.
Шаг 3. График $A$ расположен в I и III координатных четвертях, а функции вида $y = \frac{k}{x}$ при $k > 0$ дают точки в этих четвертях. Значит $A$ соответствует формула 2.
Шаг 4. График $B$ расположен во II и IV четвертях, а это характерно для функций $y = \frac{k}{x}$ при $k < 0$. Значит $B$ соответствует формула 3.
Шаг 5. Остаётся единственная неиспользованная формула 1, поэтому графику «Б» соответствует формула 1.
Ответ: A → 2, Б → 1, В → 3
---Пример 6: Комбинированная задача
Задача:
На рисунках изображены функции вида $y = kx + b$. Установите соответствие между знаками коэффициентов $k$ и $b$ и графиками функций.
Коэффициенты:
A) $k < 0, b < 0$
Б) $k < 0, b > 0$
В) $k > 0, b < 0$
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Решение
Шаг 1. График функции $y = kx + b$ — это прямая линия в координатной плоскости.
Шаг 2. Угол между этой прямой и положительным направлением оси $OX$ определяется знаком $k$:
• если $k > 0$, прямая «поднимается» справа, угол острый;
• если $k < 0$, прямая «опускается» справа, угол тупой.
Шаг 3. Положение точки пересечения с осью $OY$ определяется знаком $b$:
• точка $(0, b)$ лежит выше оси $OX$, если $b > 0$;
• ниже оси $OX$, если $b < 0$.
Шаг 4. По этим признакам сверяем каждый график:
• график 1 образует острый угол и пересекает ось $OY$ ниже $OX$ ⇒ $k > 0, b < 0$ ⇒ вариант В;
• график 2 образует тупой угол и пересекает $OY$ выше $OX$ ⇒ $k < 0, b > 0$ ⇒ вариант Б;
• график 3 образует тупой угол и пересекает $OY$ ниже $OX$ ⇒ $k < 0, b < 0$ ⇒ вариант A.
Шаг 5. Записываем соответствие:
A → 3, Б → 2, В → 1
Ответ: A → 3, Б → 2, В → 1