ОГЭ математика №10: Теория вероятностей

Что такое вероятность?

Вероятность — это число, которое показывает, насколько вероятно, что произойдёт какое-то событие.

Вероятность всегда находится между 0 и 1 (или между 0% и 100%).

Если вероятность равна 0, событие не произойдёт никогда.

Если вероятность равна 1, событие произойдёт обязательно.

Если вероятность равна 0,5, событие произойдёт с одинаковой вероятностью, как и не произойдёт.

Формула классической вероятности

Для равновероятных исходов используется формула:

\[ P = \frac{\text{число благоприятных исходов}}{\text{общее число всех исходов}} \]

Обозначим:

\(n\) — общее число всех возможных исходов
\(k\) — число благоприятных (нужных нам) исходов
\(P\) — вероятность события

Тогда формула принимает вид:

\[ P = \frac{k}{n} \]

Основные определения

Исход — это один из возможных результатов опыта или события.

Благоприятный исход — это исход, который нам подходит, который мы ищем в задаче.

Равновероятные исходы — это исходы, у которых одинаковая вероятность произойти.

Дополняющие события — это события, которые в сумме дают 1. Если событие \(A\) произойдёт с вероятностью \(P(A)\), то противоположное событие \(\bar{A}\) произойдёт с вероятностью \(P(\bar{A}) = 1 - P(A)\).

Алгоритм решения задачи номер 10

Шаг 1. Прочитайте задачу и поймите, что нужно найти.

Шаг 2. Определите общее число всех возможных исходов \(n\).

Шаг 3. Определите число благоприятных исходов \(k\) (то есть исходов, которые нам нужны).

Шаг 4. Применяйте формулу: \(P = \frac{k}{n}\).

Шаг 5. Упростите дробь и переведите в десятичное число (если нужно).

Пример с подробным решением

Задача: В коробке лежит 20 карточек: 12 красных и 8 синих. Вы вытаскиваете одну карточку. Какова вероятность, что она будет красной?

Решение

Шаг 1. Нам нужно найти вероятность того, что вытащится красная карточка.

Шаг 2. Общее число всех карточек (всех исходов):

\[ n = 20 \]

Шаг 3. Число красных карточек (благоприятные исходы):

\[ k = 12 \]

Шаг 4. Подставляем в формулу:

\[ P = \frac{k}{n} = \frac{12}{20} \]

Шаг 5. Упрощаем дробь:

\[ P = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} = 0{,}6 \]

Ответ: Вероятность вытащить красную карточку равна 0,6 (или 60%, или \(\frac{3}{5}\)).

Свойство дополняющих событий

Если вам нужно найти вероятность того, что событие НЕ произойдёт, используйте формулу:

\[ P(\text{событие НЕ произойдёт}) = 1 - P(\text{событие произойдёт}) \]

Это часто упрощает вычисления!

Пример 1: Такси

Задача:

В фирме такси в данный момент свободно 10 машин: 5 чёрных, 3 жёлтых и 2 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.

Решение

\[ \begin{aligned} &\text{Шаг 1. Определяем общее число равновозможных исходов: }N = 10.\\ &\text{Шаг 2. Определяем число благоприятных исходов (жёлтых такси): }N_{\text{жёлтые}} = 3.\\ &\text{Шаг 3. Записываем формулу вероятности: }P = \frac{N_{\text{благоприятных}}}{N_{\text{всех}}}.\\ &\text{Шаг 4. Подставляем значения и вычисляем: }P = \frac{3}{10} = 0{,}3. \end{aligned} \]

Ответ: \(0{,}3\) или 30%.

Пример 2: Экзаменационные билеты

Задача:

На экзамене 30 билетов, Серёжа не выучил 9 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

Решение

Шаг 1. Определяем общее число исходов:

\[ n = 30 \]

Шаг 2. Определяем число благоприятных исходов (выученные билеты):

\[ k = 30 - 9 = 21 \]

Шаг 3. Применяем формулу классической вероятности:

\[ P = \frac{k}{n} = \frac{21}{30} = \frac{7}{10} = 0{,}7 \]

Ответ: \(0{,}7\) или 70%.

Пример 3: Подарки с пазлами

Задача:

Родительский комитет закупил 25 пазлов для подарков детям в связи с окончанием учебного года, из них 21 с машинами и 4 с видами городов. Подарки распределяются случайным образом между 25 детьми, среди которых есть Саша. Найдите вероятность того, что Саше достанется пазл с машиной.

Решение

Шаг 1. Определяем общее число всех возможных исходов:

\[ n_{\text{всего}} = 25 \]

Шаг 2. Определяем число благоприятных исходов (пазлов с машинами):

\[ n_{\text{машины}} = 21 \]

Шаг 3. По определению классической вероятности вычисляем отношение:

\[ P = \frac{n_{\text{машины}}}{n_{\text{всего}}} = \frac{21}{25} = 0{,}84 \]

Ответ: \(0{,}84\) или 84%.

Пример 4: Ручки разных цветов

Задача:

В магазине канцтоваров продаётся 112 ручек: 17 красных, 44 зелёных, 29 фиолетовых, остальные — синие и чёрные поровну. Найдите вероятность того, что случайно выбранная ручка будет красной или чёрной.

Решение

Шаг 1. Находим число красных, зелёных и фиолетовых ручек:

\[ 17 + 44 + 29 = 90 \]

Шаг 2. Определяем общее число синих и чёрных ручек:

\[ 112 - 90 = 22 \]

Шаг 3. Поскольку синих и чёрных ручек поровну, число каждого цвета:

\[ \frac{22}{2} = 11 \]

Шаг 4. Вычисляем число благоприятных исходов (красных или чёрных ручек):

\[ 17 + 11 = 28 \]

Шаг 5. Находим вероятность:

\[ P = \frac{28}{112} = \frac{1}{4} = 0{,}25 \]

Ответ: \(0{,}25\) или 25%.

Пример 5: Ручка пишет хорошо (дополняющее событие)

Задача:

Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо или не пишет, равна 0,14. Покупатель в магазине выбирает одну шариковую ручку. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.

Решение

\[ \begin{aligned} \text{Шаг 1.} &\;\text{Обозначим }A\text{ — событие «ручка пишет плохо или не пишет»},\quad P(A)=0{,}14.\\ \text{Шаг 2.} &\;\text{Пусть }\bar{A}\text{ — событие «ручка пишет хорошо» (противоположное событие).}\\ \text{Шаг 3.} &\;\text{По свойству дополняющих событий: }P(A)+P(\bar{A})=1.\\ \text{Шаг 4.} &\;\text{Вычисляем }P(\bar{A})=1-P(A)=1-0{,}14=0{,}86. \end{aligned} \]

Ответ: \(0{,}86\) или 86%.

Пример 6: Исправные фонарики

Задача:

В среднем из 100 карманных фонариков, поступивших в продажу, 5 неисправны. Найдите вероятность того, что случайно выбранный в магазине фонарик окажется исправен.

Решение

Шаг 1. Определяем число благоприятных исходов (исправные фонарики):

\[ k = 100 - 5 = 95 \]

Шаг 2. Определяем общее число исходов:

\[ n = 100 \]

Шаг 3. Вычисляем вероятность исправного фонарика:

\[ P = \frac{95}{100} = 0{,}95 \]

Ответ: \(0{,}95\) или 95%.

Задачи на вероятность решаются по простой схеме: