ОГЭ математика задания 1–5: Группы задач по тексту

Задачи номер 1 на ОГЭ — это практические задачи, которые требуют умения работать с информацией из таблиц, планов и графиков. Вы должны будете извлечь нужные данные, провести вычисления и дать ответ. За правильное решение задачи номер 1 вы получите 1 балл. Это хороший способ начать экзамен с уверенности!

Что такое задача номер 1?
Задача номер 1 — это прикладная задача, в которой вам даны реальные данные (таблица, план помещения, график, рисунок). Нужно внимательно прочитать условие, найти нужные значения и ответить на вопрос.

Основные типы информации в задаче 1:
• Таблицы — данные организованы в строки и столбцы;
• Планы помещений — чертежи квартир, комнат с указанием размеров;
• Графики и диаграммы — визуальное представление данных;
• Описание с числовыми характеристиками — размеры, расстояния, площади.

Шаг 1: Прочитайте условие внимательно
Выделите ключевые слова и данные. Поймите, что именно нужно найти.

Шаг 2: Найдите в таблице или на плане нужные значения
Проверьте единицы измерения (метры, миллиметры, килограммы и т.д.).

Шаг 3: Проведите вычисления
Используйте арифметику, геометрию или логику в зависимости от типа задачи.

Шаг 4: Проверьте ответ
Убедитесь, что ответ имеет смысл и соответствует единицам измерения в вопросе.

• Сравнение чисел (какой больше, какой меньше);
• Вычисление площади прямоугольника: $S = a \times b$;
• Вычисление расстояния по плану (считаем клетки или используем масштаб);
• Вычисление времени: $t = \frac{S}{v}$;
• Применение теоремы Пифагора: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$;
• Расчёт стоимости по тарифам и таблицам.

Представим, что у нас есть таблица с размерами листов бумаги, и нужно определить, какой лист какому формату соответствует.

Дана таблица:

Лист 1: ширина 148 мм, длина 210 мм
Лист 2: ширина 297 мм, длина 420 мм
Лист 3: ширина 105 мм, длина 148 мм
Лист 4: ширина 210 мм, длина 297 мм

Известно, что формат А6 получается путём разрезания А5 пополам, А5 получается разрезанием А4, и так далее. Это значит, что при переходе на меньший формат обе стороны уменьшаются примерно в $\sqrt{2}$ раза.

Шаг 1: Вычислим примерное соотношение сторон для каждого листа.

Лист 1: $\frac{210}{148} \approx 1{,}42$ (это соотношение $\sqrt{2} \approx 1{,}41$)
Лист 2: $\frac{420}{297} \approx 1{,}41$ (то же самое)
Лист 3: $\frac{148}{105} \approx 1{,}41$ (то же самое)
Лист 4: $\frac{297}{210} \approx 1{,}41$ (то же самое)

Все листы подобны (это подтверждает условие).

Шаг 2: Определим порядок по размеру. Самый большой — лист 2 (420 × 297), это А3.

Шаг 3: Следующий — лист 4 (297 × 210), это А4.

Шаг 4: Затем — лист 1 (210 × 148), это А5.

Шаг 5: Самый маленький — лист 3 (148 × 105), это А6.

Ответ: А6 — 3, А5 — 1, А4 — 4, А3 — 2.

Пример 1: Определение размеров листов бумаги

Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой А и цифрой: А0, А1, А2 и так далее. Лист формата А0 имеет форму прямоугольника площадью 1 кв. м. Если лист формата А0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получатся два одинаковых листа формата А1. Если лист А1 разрезать пополам таким же образом, получатся два листа формата А2 и т.д.

Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это нужно, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при изменении формата листа.

В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы А3, А4, А5 и А6:

Для листов бумаги форматов А6, А5, А4 и А3 определите, какими порядковыми номерами обозначены их размеры в таблице. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр.

Шаг 1: Все листы подобны, поэтому отношение сторон одинаково.

Шаг 2: Определим порядок по площади (большой → малый):
• Лист 2: $297 \times 420 = 124\,740$ мм² (самый большой) — А3
• Лист 4: $210 \times 297 = 62\,370$ мм² — А4
• Лист 1: $148 \times 210 = 31\,080$ мм² — А5
• Лист 3: $105 \times 148 = 15\,540$ мм² (самый маленький) — А6

Ответ: 3142

Пример 2: Определение помещений по плану квартиры

На рисунке изображён план двухкомнатной квартиры. Известно, что длина стороны клетки на плане соответствует 0,4 м. Вход в квартиру находится в прихожей. В квартире есть две застеклённые лоджии: меньшая примыкает к кухне, большая — к спальне. На улицу также выходит окно гостиной. Кроме указанных помещений в квартире есть санузел и кладовая, причём площадь санузла больше площади кладовой.

Определите, какими цифрами обозначены помещения: спальня, гостиная, прихожая, кладовая, кухня.

Шаг 1: Считаем клетки для каждого помещения и находим площади.

Шаг 2: Лоджии обозначены отдельно. Большая лоджия (44 клетки) примыкает к спальне, значит спальня — комната с большой лоджией.

Шаг 3: Меньшая лоджия (30 клеток) примыкает к кухне, значит кухня — комната с меньшей лоджией.

Шаг 4: Входная дверь ведёт в прихожую — это комната у входа.

Шаг 5: Окно на улицу есть в гостиной — ищем комнату с окном на внешнюю стену.

Шаг 6: Санузел больше кладовой, поэтому из двух оставшихся помещений большее — санузел, меньшее — кладовая.

Ответ: спальня — 4, гостиная — 5, прихожая — 2, кладовая — 1, кухня — 6

Гриша с дедушкой едят на велосипедах из деревни Грушёвка в село Абрамово. По шоссе они едят со скоростью 15 км/ч, по лесной дорожке и тропинке — со скоростью 12 км/ч. На плане длина стороны каждой клетки равна 2 км.

Сколько минут затратят они, если поедят сначала по шоссе до деревни Таловка (4 клетки), а затем по тропинке до села Абрамово?

Шаг 1: Используем формулу времени: $t = \frac{S}{v}$

Шаг 2: Расстояние по шоссе: $4 \text{ клетки} \times 2 = 8$ км.

Шаг 3: Время на первом участке: \[ t_1 = \frac{8}{15} \text{ ч} = \frac{8}{15} \times 60 = 32 \text{ мин} \]

Шаг 4: Расстояние по тропинке вычисляется по теореме Пифагора (если это гипотенуза прямоугольного треугольника). Допустим, это 26 км.

Шаг 5: Время на втором участке: \[ t_2 = \frac{26}{12} \text{ ч} = \frac{26}{12} \times 60 = 130 \text{ мин} \]

Шаг 6: Общее время: \[ t_{\text{общ}} = 32 + 130 = 162 \text{ мин} \]

Ответ: 162 минуты

Пример 4: Применение теоремы Пифагора для нахождения радиуса

Хозяин строит баню. Печь имеет кожух с аркой. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной по дуге окружности с центром в середине нижней части кожуха. Ширина основания кожуха — 60 см, высота арки — 40 см. Найдите радиус закругления арки.

Шаг 1: Половина ширины основания: \[ \frac{60}{2} = 30 \text{ см} \]

Шаг 2: Высота арки: 40 см.

Шаг 3: Радиус арки — это гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 30 см и 40 см.

Шаг 4: По теореме Пифагора: \[ R = \sqrt{30^2 + 40^2} = \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = 50 \text{ см} \]

Ответ: 50 см

Пример 5: Расчёт стоимости услуг мобильной связи

Абонент пользуется тарифом «Стандартный» (350 руб./месяц). В тариф входят: 300 минут вызовов, 3 ГБ интернета, 120 SMS.

Дополнительно:
• Минуты сверх пакета: 3 руб./мин
• Интернет сверх пакета: 90 руб. за 0,5 ГБ
• SMS сверх пакета: 2 руб./шт.

В декабре абонент использовал 350 минут и 2,25 ГБ интернета. Сколько он потратит в декабре?

Шаг 1: Интернет: 2,25 ГБ ≤ 3 ГБ (входит в пакет), дополнительная плата = 0 руб.

Шаг 2: Минуты: $350 - 300 = 50$ минут сверх пакета.

Дополнительная плата за минуты: $50 \times 3 = 150$ руб.

Шаг 3: Общая стоимость: \[ 350 + 150 = 500 \text{ руб.} \]

Ответ: 500 рублей

Пример 6: Сравнение тарифов и выбор оптимального

Абонент рассматривает переход на новый тариф (430 руб./месяц вместо 350 руб./месяц). Новый тариф включает: 400 минут, 4 ГБ интернета, 120 SMS.

За весь 2019 год абонент потратил на старом тарифе определённую сумму. Нужно рассчитать, сколько бы он потратил на новом тарифе, и выбрать выгодный вариант.

Шаг 1: Разница в абонентской плате за месяц: $430 - 350 = 80$ руб.

Шаг 2: Разница за год: $80 \times 12 = 960$ руб.

Шаг 3: Подсчитаем дополнительные платежи на старом тарифе за весь год (сверх пакета).

Шаг 4: Подсчитаем дополнительные платежи на новом тарифе за весь год.

Шаг 5: Если (960 + дополнительные платежи новый тариф) < (дополнительные платежи старый тариф), то новый тариф выгоднее.

Ответ: выбираем тариф с меньшей общей стоимостью (в примере это может быть 430 руб./месяц)

• Задача 1 требует внимательного чтения условия и поиска нужной информации в таблицах, планах и графиках.

• Основной алгоритм: прочитать → найти данные → вычислить → проверить ответ.

• Типичные операции: сравнение, вычисление площадей, расстояний, времени, применение теоремы Пифагора, расчёт по тарифам.

• Всегда проверяйте единицы измерения (метры, миллиметры, часы, минуты и т.д.).

• Задача 1 даёт 1 балл, но это надёжный способ начать экзамен с успеха!

Порядковые номера	Ширина (мм)	Длина (мм)
1	148	210
2	297	420
3	105	148
4	210	297

Задача Номер 1