Задача Номер 9

Задачи номер 9 — это прикладные задачи, где нужно найти неизвестное значение из физической или практической формулы. Вы встретите уравнения с корнями, степенями, дробями и тригонометрией. За правильное решение этой задачи вы получите 1 балл.

Главная идея: подставить известные значения в формулу и решить полученное уравнение для неизвестной переменной.

Теория

Что такое прикладная задача?

Прикладная задача — это задача, описывающая реальный физический или практический процесс.
В задаче даётся формула (уравнение), которая связывает несколько величин.
Вам нужно найти одну неизвестную величину, если известны все остальные.

Общий алгоритм решения задачи номер 9

Шаг 1. Прочитайте задачу и выпишите все известные значения.

Шаг 2. Найдите формулу (уравнение) в условии задачи.

Шаг 3. Подставьте известные значения в формулу.

Шаг 4. Решите полученное уравнение для неизвестной переменной.

Шаг 5. Проверьте ответ и запишите его.

Основные типы уравнений в прикладных задачах

Линейные уравнения: решаются переносом слагаемых и делением.

Квадратные уравнения: решаются через дискриминант или разложение на множители.

Уравнения с дробями: нужно избавиться от дроби, умножив обе части на знаменатель.

Уравнения со степенями и корнями: используются свойства степеней и корней.

Ключевые формулы и свойства

Свойства степеней:

$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
$(a^m)^n = a^{mn}$
$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

Свойства корней:

$\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$
$\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$

Решение квадратного уравнения:

Для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:
$D = b^2 - 4ac$
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

Подробный пример решения

Задача: Закон адиабаты для газа описывается формулой $pV^k = C$, где $p$ — давление, $V$ — объём, $k$ — показатель адиабаты, $C$ — константа.

Дано: $C = 6.4 \times 10^6$, $p = 2 \times 10^5$ Па, $k = \frac{5}{3}$. Найдите объём $V$.

Решение

Шаг 1. Подставляем известные значения в формулу:

$2 \times 10^5 \cdot V^{5/3} = 6.4 \times 10^6$

Шаг 2. Выражаем $V^{5/3}$:

$V^{5/3} = \frac{6.4 \times 10^6}{2 \times 10^5} = \frac{6.4}{2} \times 10^{6-5} = 3.2 \times 10 = 32$

Шаг 3. Возводим обе части в степень $\frac{3}{5}$:

$V = 32^{3/5}$

Шаг 4. Заметим, что $32 = 2^5$, поэтому:

$V = (2^5)^{3/5} = 2^{5 \cdot 3/5} = 2^3 = 8$

Ответ: $V = 8$ м³

Примеры

Пример 1: Формула Доплера для звука

Задача:

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов частота определяется формулой:

$f = f_0 \frac{c + u}{c - v}$

где $f_0 = 160$ Гц (исходная частота), $f = 170$ Гц (наблюдаемая частота), $u = 8$ м/с (скорость приёмника), $v = 11$ м/с (скорость источника).

Найдите скорость распространения сигнала $c$.

Решение

Шаг 1. Подставляем значения:

$170 = 160 \cdot \frac{c+8}{c-11}$

Шаг 2. Делим обе части на 160:

$\frac{170}{160} = \frac{c + 8}{c - 11}$
$\frac{17}{16} = \frac{c + 8}{c - 11}$

Шаг 3. Перемножаем крест-накрест:

$17(c - 11) = 16(c + 8)$

Шаг 4. Раскрываем скобки:

$17c - 187 = 16c + 128$

Шаг 5. Решаем линейное уравнение:

$17c - 16c = 128 + 187$
$c = 315$

Ответ: $c = 315$ м/с

Пример 2: Высота жидкости в баке

Задача:

Высота воды в баке изменяется по формуле:

$H(t) = \frac{1}{72}t^2 - \frac{2}{3}t + 8$

Найдите время $t$ (в минутах), когда вода полностью вытечет из бака (то есть когда $H(t) = 0$).

Решение

Шаг 1. Составляем уравнение:

$\frac{1}{72}t^2 - \frac{2}{3}t + 8 = 0$

Шаг 2. Умножаем все на 72, чтобы избавиться от дробей:

$t^2 - 48t + 576 = 0$

Шаг 3. Заметим, что это полный квадрат:

$(t - 24)^2 = 0$

Шаг 4. Решаем:

$t = 24$

Ответ: $t = 24$ минуты

Пример 3: Движение мотоциклиста

Задача:

Расстояние, которое проходит мотоциклист, описывается формулой:

$S = v_0 t + \frac{at^2}{2}$

где $v_0 = 90$ км/ч (начальная скорость), $a = 16$ км/ч² (ускорение), $S = 72$ км (пройденное расстояние).

Найдите время $t$ в минутах.

Решение

Шаг 1. Подставляем значения:

$72 = 90t + 8t^2$

Шаг 2. Переносим всё в левую часть и делим на 2:

$8t^2 + 90t - 72 = 0$
$4t^2 + 45t - 36 = 0$

Шаг 3. Находим дискриминант:

$D = 45^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-36) = 2025 + 576 = 2601$
$\sqrt{D} = 51$

Шаг 4. Находим корни:

$t = \frac{-45 + 51}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$ часа (берём положительный корень)

Шаг 5. Переводим в минуты:

$t = 0.75 \times 60 = 45$ минут

Ответ: $t = 45$ минут

Пример 4: Энергия при столкновении

Задача:

Энергия, выделяющаяся при неупругом столкновении, описывается формулой:

$Q = mv^2 \sin^2(\alpha)$

где $Q = 243$ Дж (энергия), $m = 6$ кг (масса), $v = 9$ м/с (скорость).

Найдите угол $2\alpha$ (в градусах).

Решение

Шаг 1. Подставляем значения:

$243 = 6 \cdot 9^2 \cdot \sin^2(\alpha)$
$243 = 6 \cdot 81 \cdot \sin^2(\alpha)$
$243 = 486 \cdot \sin^2(\alpha)$

Шаг 2. Выражаем $\sin^2(\alpha)$:

$\sin^2(\alpha) = \frac{243}{486} = \frac{1}{2}$

Шаг 3. Находим $\sin(\alpha)$:

$\sin(\alpha) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Шаг 4. Находим угол $\alpha$:

$\alpha = 45°$

Шаг 5. Находим $2\alpha$:

$2\alpha = 90°$

Ответ: $2\alpha = 90°$

Заключение

Главное в задачах номер 9:

Практикуйтесь! Чем больше задач вы решите, тем быстрее научитесь видеть нужные преобразования.

Рекомендуемые темы для повторения:

Выражение одной переменной из формулы
Решение линейных уравнений
Решение квадратных уравнений
Решение рациональных уравнений
Решение иррационального уравнения
Определение степени с рациональным показателем (Корни)
Умножение и деление степеней при одном основании
Возведение степени в степень
Арифметические действия с алгебраическими дробями
Прямоугольный треугольник: Тригонометрия
Единицы измерения: Перевод между величинами

Получить персонального ИИ-репетитора на EGEchat.ru