Задача Номер 8

Задача номер 8 на профильном ЕГЭ по математике посвящена производной функции и её геометрическому смыслу. Здесь вам предстоит анализировать поведение функции по её производной, находить точки экстремума, определять промежутки возрастания и убывания, а также работать с касательными к графику.

За правильное решение этой задачи вы получите 1 балл. Хотя это кажется небольшим количеством, такие задачи часто решаются быстро, если вы хорошо понимаете основные концепции.

Основной навык здесь — это читать информацию с графика производной и переводить её в свойства исходной функции.

Теория

Что такое производная?

Производная функции $f(x)$ в точке $x_0$ — это скорость, с которой функция изменяется в этой точке.
Обозначается: $f'(x_0)$ или $\frac{df}{dx}\bigg|_{x=x_0}$
Геометрически: производная равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке $(x_0, f(x_0))$.

Если производная положительна, функция возрастает. Если отрицательна — убывает. Если равна нулю — функция может иметь экстремум (максимум или минимум).

Связь между функцией и её производной

• Если $f'(x) > 0$ на промежутке, то $f(x)$ возрастает на этом промежутке.
• Если $f'(x) < 0$ на промежутке, то $f(x)$ убывает на этом промежутке.
• Если $f'(x) = 0$ в точке $x_0$, то $x_0$ — критическая точка (возможный экстремум).
• Если $f'(x)$ меняет знак с «–» на «+» в точке $x_0$, то $x_0$ — точка минимума.
• Если $f'(x)$ меняет знак с «+» на «–» в точке $x_0$, то $x_0$ — точка максимума.

Касательная к графику функции

Касательная к графику $y = f(x)$ в точке $(x_0, f(x_0))$ — это прямая, которая «касается» графика в этой точке.
Уравнение касательной: $y = f'(x_0) \cdot (x - x_0) + f(x_0)$
Угловой коэффициент касательной равен $f'(x_0)$.

Если касательная параллельна оси абсцисс (оси $x$), то её угловой коэффициент равен нулю, то есть $f'(x_0) = 0$.

Алгоритм решения задачи номер 8

  1. Определите тип задачи: работаете ли вы с графиком производной $y = f'(x)$ или графиком самой функции $y = f(x)$?
  2. Если дан график $y = f'(x)$:
    • Найдите точки, где $f'(x) = 0$ (пересечения с осью $x$).
    • Определите знак производной на каждом промежутке (выше оси — положительна, ниже — отрицательна).
    • Определите промежутки возрастания/убывания функции $f(x)$ и точки экстремума.
  3. Если дан график $y = f(x)$:
    • Найдите точки локальных максимумов и минимумов (вершины и впадины).
    • В этих точках производная равна нулю: $f'(x) = 0$.
  4. Если нужна касательная: найдите точку касания, вычислите $f'(x_0)$ и используйте уравнение касательной.
  5. Проверьте ответ: убедитесь, что он соответствует условию задачи.

Пример: Касательная к параболе

Задача: Прямая $y = 7 - 9x$ является касательной к графику функции $y = ax^2 + 21x - 2$. Найдите $a$.

Решение

Шаг 1. Найдём производную функции $f(x) = ax^2 + 21x - 2$:
$f'(x) = 2ax + 21$

Шаг 2. Касательная имеет уравнение $y = -9x + 7$, её угловой коэффициент равен $-9$. В точке касания $x_0$ производная должна равняться этому коэффициенту:
$f'(x_0) = -9$
$2ax_0 + 21 = -9$
$2ax_0 = -30$
$ax_0 = -15 \quad \text{...(1)}$

Шаг 3. Точка касания лежит одновременно на графике функции и на прямой (касательной):
$ax_0^2 + 21x_0 - 2 = -9x_0 + 7$
$ax_0^2 + 30x_0 - 9 = 0$
$x_0(ax_0 + 30) = 9 \quad \text{...(2)}$

Шаг 4. Подставим $ax_0 = -15$ из (1) в уравнение (2):
$x_0(-15 + 30) = 9$
$15x_0 = 9$
$x_0 = \frac{3}{5}$

Шаг 5. Из (1) найдём $a$:
$a \cdot \frac{3}{5} = -15$
$a = -15 \cdot \frac{5}{3} = -25$

Ответ: $a = -25$

Примеры

Пример 1: Точки минимума по графику производной

Условие: На рисунке изображён график $y = f'(x)$ — производной функции $f(x)$, определённой на интервале $(-22;2)$. Найдите количество точек минимума функции $f(x)$, принадлежащих отрезку $[-18;1]$.

Рисунок
Решение

В точке минимума функции $f(x)$ производная $f'(x)$ обращается в ноль и меняет знак с «–» на «+».

На отрезке $[-18;1]$ производная обнуляется в точках:
$x_1 = -16,\ x_2 = -13,\ x_3 = -9,\ x_4 = -3,\ x_5 = -1$

По рисунку анализируем смену знака:

  • При $x_1=-16$: знак меняется с «–» на «+» → минимум
  • При $x_2=-13$: знак меняется с «+» на «–» → максимум
  • При $x_3=-9$: знак меняется с «–» на «+» → минимум
  • При $x_4=-3$: знак меняется с «+» на «–» → максимум
  • При $x_5=-1$: знак меняется с «–» на «+» → минимум

Точек минимума: $x_1=-16,\ x_3=-9,\ x_5=-1$ — всего 3 точки.

Ответ: 3

Пример 2: Касательная параллельна оси абсцисс

Условие: На рисунке изображён график $y = f'(x)$ — производной функции $f(x)$. Найдите абсциссу точки, принадлежащей отрезку $[-8;1]$, в которой касательная к графику $y = f(x)$ параллельна оси абсцисс или совпадает с ней.

Рисунок
Решение

Касательная параллельна оси $Ox$, когда её угловой коэффициент равен нулю, то есть:
$f'(x_0) = 0$

По графику видно, что на отрезке $[-8;1]$ производная равна нулю только при:
$x = -7$

Ответ: –7

Пример 3: Количество решений уравнения $f'(x) = 0$

Условие: На рисунке изображён график функции $y = f(x)$, определённой на интервале $(-5;9)$. Найдите количество решений уравнения $f'(x) = 0$ на отрезке $[4;8]$.

Рисунок
Решение

Точки, где $f'(x) = 0$, — это точки локальных максимумов и минимумов функции $f(x)$ (вершины и впадины графика).

По графику на отрезке $[4;8]$ функция имеет:

  • максимум при $x = 5$
  • минимум при $x = 6$
  • максимум при $x = 7$

Значит, уравнение $f'(x) = 0$ имеет 3 решения на $[4;8]$.

Ответ: 3

Пример 4: Промежутки возрастания функции

Условие: На рисунке изображён график $y = f'(x)$ — производной функции $f(x)$. На оси абсцисс отмечено десять точек: $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7, x_8, x_9, x_{10}$. Сколько из этих точек принадлежит промежуткам возрастания функции $f(x)$?

Рисунок
Решение

Функция $f(x)$ возрастает там, где её производная положительна: $f'(x) > 0$, то есть график $f'(x)$ расположен выше оси $Ox$.

По рисунку к промежуткам возрастания относятся точки:
$x_2, x_3, x_6, x_7, x_8, x_9, x_{10}$

Всего таких точек: 7.

Ответ: 7

Заключение

Задача номер 8 требует от вас понимания связи между функцией и её производной. Главные идеи:

Практикуйте чтение графиков и запомните эти три правила — и задача номер 8 будет для вас простой!

Рекомендуем повторить следующие темы:

Получить персонального ИИ-репетитора на EGEchat.ru