Задача номер 7 проверяет вашу способность вычислять значения сложных выражений, содержащих степени, корни и логарифмы. Это одна из самых важных задач в профильной математике, потому что она требует уверенного владения основными свойствами степеней и логарифмов.
За правильное решение этой задачи вы получаете 1 балл. Это может показаться мало, но каждый балл важен!
В этой статье мы разберёмся, как решать такие задачи быстро и без ошибок.
Степени и корни связаны очень простой формулой:
\[ \sqrt[n]{a} = a^{1/n} \]
Это значит, что корень можно записать как степень с дробным показателем!
Чтобы решать задачу 7, нужно хорошо знать эти правила:
Важные значения:
$\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$
$\cos\left(\frac{4\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$
Шаг 1: Внимательно прочитайте выражение и определите, какие операции в нём используются (степени, корни, логарифмы, тригонометрия).
Шаг 2: Приведите все числа к одному основанию или упростите выражение, используя свойства степеней и корней.
Шаг 3: Если есть логарифмы, используйте их свойства (произведение, частное, степень).
Шаг 4: Если есть тригонометрические функции, подставьте их стандартные значения.
Шаг 5: Выполните вычисления и найдите ответ.
Шаг 6: Проверьте, нет ли ошибок в расчётах.
Задача: Найдите значение выражения $4^{1/5} \cdot 16^{9/10}$.
Шаг 1: Определяем основания. Видим степени с основаниями 4 и 16. Оба — это степени двойки!
$4 = 2^2$
$16 = 2^4$
Шаг 2: Переписываем выражение через основание 2, используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
\[ 4^{1/5} = (2^2)^{1/5} = 2^{2 \cdot 1/5} = 2^{2/5} \]
\[ 16^{9/10} = (2^4)^{9/10} = 2^{4 \cdot 9/10} = 2^{36/10} = 2^{18/5} \]
Шаг 3: Умножаем степени с одинаковым основанием, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
\[ 2^{2/5} \cdot 2^{18/5} = 2^{2/5 + 18/5} = 2^{20/5} = 2^4 \]
Шаг 4: Вычисляем результат:
\[ 2^4 = 16 \]
Ответ: 16
Задача: Найдите значение выражения $(2^{16})^5 : 2^{74}$.
Используем свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
\[ (2^{16})^5 = 2^{16 \cdot 5} = 2^{80} \]
Используем свойство деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
\[ \frac{2^{80}}{2^{74}} = 2^{80-74} = 2^{6} = 64 \]
Ответ: 64
Задача: Найдите значение выражения $\frac{\sqrt[4]{8} \cdot \sqrt[4]{48}}{\sqrt[4]{24}}$.
Используем свойства корней: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$ и $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$:
\[ \frac{\sqrt[4]{8} \cdot \sqrt[4]{48}}{\sqrt[4]{24}} = \sqrt[4]{\frac{8 \cdot 48}{24}} \]
Упрощаем подкоренное выражение:
\[ \frac{8 \cdot 48}{24} = 8 \cdot \frac{48}{24} = 8 \cdot 2 = 16 \]
Вычисляем корень:
\[ \sqrt[4]{16} = \sqrt[4]{2^4} = 2 \]
Ответ: 2
Задача: Найдите значение выражения $\log_2 96 - \log_2 3$.
Используем свойство логарифма частного $\log_a b - \log_a c = \log_a\left(\frac{b}{c}\right)$:
\[ \log_2 96 - \log_2 3 = \log_2\left(\frac{96}{3}\right) = \log_2 32 \]
Представляем 32 как степень двойки:
\[ 32 = 2^5 \]
Используем свойство $\log_a(a^x) = x$:
\[ \log_2(2^5) = 5 \]
Ответ: 5
Задача: Найдите значение выражения $26\sqrt{2} \cdot \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) \cdot \cos\left(\frac{4\pi}{3}\right)$.
Вспоминаем стандартные значения косинуса:
\[ \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
\[ \cos\left(\frac{4\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} \]
Подставляем в выражение:
\[ 26\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \]
Упрощаем: $\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2}{2} = 1$
\[ 26 \cdot 1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -13 \]
Ответ: –13
Задача номер 7 — это проверка вашего умения работать со степенями, корнями, логарифмами и тригонометрическими функциями. Главное правило: приводите всё к одному основанию и используйте свойства степеней и логарифмов.
Не забывайте:
Практикуйтесь на примерах, и вы обязательно научитесь решать эти задачи быстро!