Задача номер 6 на ЕГЭ по профильной математике — это уравнения разных типов: иррациональные, показательные и логарифмические.
За правильное решение этой задачи вы получите 1 балл.
Здесь нужно найти корень уравнения и записать ответ числом. Обычно ответ — целое число или простая дробь.
Давайте разберёмся, как решать такие уравнения шаг за шагом!
В этой задаче встречаются четыре главных типа уравнений:
Для иррациональных уравнений:
Если $\sqrt[n]{f(x)} = a$, то $f(x) = a^n$ (возводим обе части в степень $n$)
Для показательных уравнений:
Если $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ (основания одинаковые), то $f(x) = g(x)$
Для логарифмических уравнений:
Если $\log_a f(x) = \log_a g(x)$ (основания одинаковые), то $f(x) = g(x)$
Задача: Найдите корень уравнения $\sqrt{3x + 49} = 10$
Шаг 1. Определяем тип: это иррациональное уравнение (переменная под корнем).
Шаг 2. Возводим обе части в квадрат, чтобы избавиться от корня:
\[ (\sqrt{3x+49})^2 = 10^2 \]Шаг 3. Упрощаем:
\[ 3x + 49 = 100 \]Шаг 4. Решаем линейное уравнение:
\[ 3x = 100 - 49 \] \[ 3x = 51 \] \[ x = 17 \]Шаг 5. Проверяем: подставляем $x = 17$ в исходное уравнение:
\[ \sqrt{3 \cdot 17 + 49} = \sqrt{51 + 49} = \sqrt{100} = 10 \,\checkmark \]Ответ: 17
Задача: Найдите корень уравнения $\sqrt{3x + 49} = 10$
Ответ: 17
Задача: Найдите корень уравнения $\sqrt[3]{x + 3} = 3$
Возводим обе части в третью степень:
\[ (\sqrt[3]{x+3})^3 = 3^3 \] \[ x + 3 = 27 \] \[ x = 24 \]Ответ: 24
Задача: Найдите корень уравнения $2^{-4 - x} = 16$
Сначала представляем 16 как степень числа 2:
\[ 16 = 2^4 \]Теперь уравнение имеет вид:
\[ 2^{-4 - x} = 2^4 \]Основания одинаковые, поэтому приравниваем показатели:
\[ -4 - x = 4 \] \[ -x = 8 \] \[ x = -8 \]Ответ: –8
Задача: Найдите корень уравнения $\left(\frac{1}{4}\right)^{x-5} = \frac{1}{16}$
Представляем $\frac{1}{16}$ как степень числа $\frac{1}{4}$:
\[ \frac{1}{16} = \left(\frac{1}{4}\right)^2 \]Теперь уравнение:
\[ \left(\frac{1}{4}\right)^{x-5} = \left(\frac{1}{4}\right)^2 \]Приравниваем показатели:
\[ x - 5 = 2 \] \[ x = 7 \]Ответ: 7
Задача: Найдите корень уравнения $\log_5(8 - x) = \log_5 2$
Шаг 1. Находим ОДЗ:
\[ 8 - x > 0 \quad \Rightarrow \quad x < 8 \]Шаг 2. Приравниваем аргументы логарифмов:
\[ 8 - x = 2 \] \[ x = 6 \]Шаг 3. Проверяем ОДЗ:
\[ 6 < 8 \quad \text{— верно} \]Ответ: 6
Задача номер 6 требует знания трёх основных типов уравнений:
Всегда проверяйте ОДЗ и подставляйте найденный корень в исходное уравнение!
Практикуйте на разных примерах — и вы легко решите эту задачу на экзамене.
Определение корней
Свойства корней
Арифметика с корнями
Решение линейных уравнений
Определение логарифма
Вычисление простых логарифмов
Основные свойства логарифмов
Показательные уравнения вида ax=b
Показательные уравнения вида af(x)=ag(x)
Логарифмические уравнения вида log af(x)=ce
Логарифмические уравнения вида log af(x)=log ag(x)
Определение области допустимых значений (ОДЗ)
Решение иррационального уравнения
Использование свойств степеней для преобразования показательных уравнений
Использование свойств логарифмов для преобразования уравнений