Задача Номер 5

Задача номер 5 из профильного ЕГЭ по математике посвящена теории вероятностей. Это задачи, в которых нужно найти вероятность того или иного события — от простых бросаний монеты до сложных комбинаций с условиями.

За правильное решение задачи номер 5 вы получите 1 балл.

Эти задачи кажутся сложными, но на самом деле они решаются по простым правилам. Главное — понять, что такое вероятность и как её считать.

Теория

Что такое вероятность?

Вероятность — это число, которое показывает, насколько вероятно (возможно) наступление какого-то события.
Вероятность всегда находится между 0 и 1 (или между 0% и 100%).

Формула вероятности:

\[ P(A) = \frac{\text{Количество благоприятных исходов}}{\text{Общее количество исходов}} \]
где $P(A)$ — вероятность события $A$.

Основные понятия

Исход — это один из возможных результатов опыта. Например, при бросании монеты есть два исхода: орёл или решка.

Благоприятный исход — это исход, который соответствует интересующему нас событию.

Общее количество исходов — это все возможные результаты опыта.

Правила вероятности

Правило 1: Противоположное событие
Если вероятность того, что событие произойдёт, равна $p$, то вероятность того, что оно не произойдёт, равна:

\[ P(\text{не } A) = 1 - P(A) \]
Правило 2: Произведение вероятностей (независимые события)
Если два события независимы (одно не влияет на другое), то вероятность того, что произойдут оба, равна:

\[ P(A \text{ и } B) = P(A) \cdot P(B) \]
Правило 3: Сумма вероятностей (несовместные события)
Если два события не могут произойти одновременно, то вероятность того, что произойдёт одно из них, равна:

\[ P(A \text{ или } B) = P(A) + P(B) \]

Алгоритм решения задачи номер 5

  1. Шаг 1: Внимательно прочитайте условие. Определите, что нужно найти.
  2. Шаг 2: Подсчитайте общее количество исходов. Это знаменатель формулы.
  3. Шаг 3: Подсчитайте количество благоприятных исходов. Это числитель формулы.
  4. Шаг 4: Разделите благоприятные исходы на общее количество.
  5. Шаг 5: Упростите дробь или переведите в десятичную форму.

Детальный пример

Задача: Бросаем монету один раз. Найдите вероятность выпадения орла.


Решение

Шаг 1: Определяем, что нужно найти — вероятность выпадения орла.


Шаг 2: Подсчитаем общее количество исходов. При одном бросании монеты возможны два исхода: орёл или решка.


\[ \text{Общее количество исходов} = 2 \]

Шаг 3: Подсчитаем благоприятные исходы. Нам нужен орёл — это один исход.


\[ \text{Благоприятные исходы} = 1 \]

Шаг 4: Применяем формулу вероятности:


\[ P(\text{орёл}) = \frac{1}{2} = 0.5 \]

Ответ: Вероятность выпадения орла равна 0.5 или 50%.

Примеры

Пример 1: Монета и три матча

Условие: Перед началом футбольного матча судья бросает монетку. Команда «Сапфир» играет три матча. Найдите вероятность того, что «Сапфир» начнёт игру с мячом не более одного раза.


Решение

Шаг 1: Определим общее количество исходов. При трёх бросаниях монеты каждый раз есть 2 исхода (орёл или решка). По правилу произведения:


\[ \text{Общее количество исходов} = 2^3 = 8 \]

Шаг 2: Найдём благоприятные исходы. «Не более одного раза» означает: либо 0 раз, либо 1 раз.


Обозначим орёл как 1, решку как 0. Благоприятные исходы:

  • 0 раз орёл: 000 (1 исход)
  • 1 раз орёл: 100, 010, 001 (3 исхода)

\[ \text{Благоприятные исходы} = 1 + 3 = 4 \]

Шаг 3: Вычислим вероятность:


\[ P = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} = 0.5 \]

Ответ: 0.5

Пример 2: Игральная кость и условие

Условие: Игральную кость бросили два раза. Известно, что 6 очков не выпало ни разу. Найдите вероятность события «сумма очков равна 8».


Решение

Шаг 1: Так как 6 не выпадает, в каждом броске возможны числа от 1 до 5.


Шаг 2: Подсчитаем общее количество исходов:


\[ \text{Общее количество исходов} = 5 \cdot 5 = 25 \]

Шаг 3: Найдём пары, сумма которых равна 8:


\[ (5,3), \quad (4,4), \quad (3,5) \]
\[ \text{Благоприятные исходы} = 3 \]

Шаг 4: Вычислим вероятность:


\[ P = \frac{3}{25} = 0.12 \]

Ответ: 0.12

Пример 3: Масса буханки и вероятность диапазона

Условие: Вероятность того, что масса буханки меньше 810 г, равна 0.98. Вероятность того, что масса больше 790 г, равна 0.83. Найдите вероятность того, что масса больше 790 г, но меньше 810 г.


Решение

Шаг 1: Обозначим события. Нам даны:

  • $P(m < 810) = 0.98$
  • $P(m > 790) = 0.83$

Шаг 2: Найдём противоположное событие для второго условия:


\[ P(m \le 790) = 1 - P(m > 790) = 1 - 0.83 = 0.17 \]

Шаг 3: Событие «$790 < m < 810$» — это пересечение двух событий: $m < 810$ и $m > 790$.


\[ P(790 < m < 810) = P(m < 810) - P(m \le 790) = 0.98 - 0.17 = 0.81 \]

Ответ: 0.81

Пример 4: Два автомата и объединение событий

Условие: Два автомата продают кофе. Вероятность, что в первом автомате кофе закончится — 0.1, во втором — 0.1, в обоих — 0.05. Найдите вероятность того, что кофе останется в двух автоматах.


Решение

Шаг 1: Обозначим события:

  • $A$ — кофе закончилось в первом автомате
  • $B$ — кофе закончилось во втором автомате

Даны: $P(A) = 0.1$, $P(B) = 0.1$, $P(A \cap B) = 0.05$


Шаг 2: Найдём вероятность того, что кофе закончилось хотя бы в одном автомате (объединение событий):


\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0.1 + 0.1 - 0.05 = 0.15 \]

Шаг 3: Вероятность того, что кофе останется (противоположное событие):


\[ P(\text{кофе останется}) = 1 - P(A \cup B) = 1 - 0.15 = 0.85 \]

Ответ: 0.85

Пример 5: Стрелок и произведение вероятностей

Условие: Стрелок стреляет по четырём мишеням. Вероятность попадания — 0.8. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в первые три мишени и промахнётся по последней.


Решение

Шаг 1: Найдём вероятность промаха:


\[ P(\text{промах}) = 1 - 0.8 = 0.2 \]

Шаг 2: Нужно найти вероятность того, что произойдут все четыре события подряд: попадание, попадание, попадание, промах. События независимы, поэтому применяем правило произведения:


\[ P = 0.8 \cdot 0.8 \cdot 0.8 \cdot 0.2 \]

Шаг 3: Вычислим:


\[ P = 0.512 \cdot 0.2 = 0.1024 \]

Ответ: 0.1024

Заключение

Задачи номер 5 на ЕГЭ по профильной математике проверяют ваше умение работать с вероятностями. Главное — помнить три правила:

Решайте задачи пошагово, внимательно читайте условие и не спешите. Практика — лучший способ научиться!


Связанные темы:

Получить персонального ИИ-репетитора на EGEchat.ru