Задача номер 3 в профильной математике посвящена стереометрии — геометрии в пространстве. Здесь вам нужно найти объём многогранника, который составлен из вершин известных фигур (призм, параллелепипедов, пирамид).
Это задача на 1 балл, но она требует чёткого понимания формул объёма и умения разбирать сложные фигуры на простые части.
Главная идея: любой многогранник можно представить как пирамиду или разложить на несколько пирамид. Зная формулу объёма пирамиды, вы сможете решить эту задачу.
Самая важная формула для задачи номер 3:
\[V = \frac{1}{3} S_{\text{осн.}} \cdot h\]Где:
Важно: Множитель $\frac{1}{3}$ — это ключевое отличие пирамиды от призмы. Объём призмы: $V_{\text{призмы}} = S_{\text{осн.}} \cdot h$ (без множителя $\frac{1}{3}$).
Эта формула нужна, когда в задаче появляется конус.
Шаг 1: Прочитайте задачу и выпишите все размеры (стороны, высоты, площади).
Шаг 2: Определите, из каких вершин состоит искомый многогранник. Часто это 4 или 5 вершин.
Шаг 3: Поймите, какую форму имеет этот многогранник. Обычно это пирамида.
Шаг 4: Выберите основание пирамиды (обычно это треугольник или четырёхугольник из трёх или четырёх вершин).
Шаг 5: Найдите площадь основания, используя известные формулы площадей треугольника или прямоугольника.
Шаг 6: Определите высоту пирамиды. Это расстояние от оставшейся вершины до плоскости основания.
Шаг 7: Подставьте значения в формулу $V = \frac{1}{3} S_{\text{осн.}} \cdot h$ и вычислите.
Задача: Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины $A$, $B$, $C$, $C_1$ правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 9.
Шаг 1: Выпишем данные:
— Площадь основания призмы: $S_{\text{осн.}} = 6$
— Боковое ребро (высота призмы): $h_{\text{призмы}} = 9$
— Вершины многогранника: $A$, $B$, $C$, $C_1$
Шаг 2: Определяем форму многогранника.
Вершины $A$, $B$, $C$ лежат в основании призмы. Вершина $C_1$ находится в верхнем основании (над вершиной $C$). Это означает, что многогранник $ABCC_1$ — это пирамида с основанием $ABC$ и вершиной $C_1$.
Шаг 3: Выбираем основание и вычисляем его площадь.
Основание пирамиды — это треугольник $ABC$.
Площадь основания: $S_{ABC} = 6$ (дано в условии).
Шаг 4: Определяем высоту пирамиды.
Высота пирамиды — это перпендикулярное расстояние от вершины $C_1$ до плоскости основания $ABC$.
В правильной призме это боковое ребро: $h = CC_1 = 9$.
Шаг 5: Применяем формулу объёма пирамиды:
\[V = \frac{1}{3} S_{\text{осн.}} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot 9 = \frac{54}{3} = 18\]Ответ: $V = 18$
Основание пирамиды — многоугольник, на котором стоит пирамида (обычно внизу).
Вершина пирамиды — одна точка, к которой сходятся все боковые грани.
Высота пирамиды — перпендикуляр, опущенный из вершины на плоскость основания.
Боковое ребро — отрезок, соединяющий вершину пирамиды с вершиной основания.
Призма — многогранник с двумя параллельными и равными основаниями.
Параллелепипед — призма, основанием которой служит параллелограмм (обычно прямоугольник).
Задача: Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины $A$, $B$, $C$, $C_1$ правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равна 9.
Многогранник $ABCC_1$ — это пирамида с основанием $ABC$ и вершиной $C_1$.
Объём треугольной пирамиды вычисляется по формуле:
\[V = \frac{1}{3} S_{\text{осн.}} \cdot h\]В основании — треугольник $ABC$ с площадью 6.
Высота пирамиды — боковое ребро $CC_1 = 9$.
Тогда:
\[V_{ABCC_1} = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot 9 = 18\]Ответ: 18
Задача: Найдите объём многогранника $A$, $B$, $C$, $D$, $B_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, где $AB = 9$, $BC = 3$, $BB_1 = 8$.
$ABCDB_1$ — это пирамида с основанием $ABCD$ и вершиной $B_1$.
Объём пирамиды:
\[V = \frac{1}{3} S_{\text{осн.}} \cdot h\]Основание — прямоугольник $ABCD$:
\[S_{ABCD} = AB \cdot BC = 9 \cdot 3 = 27\]Высота — $BB_1 = 8$.
Тогда:
\[V_{ABCDB_1} = \frac{1}{3} \cdot 27 \cdot 8 = 72\]Ответ: 72
Задача: В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известно: $AB = 9$, $BC = 7$, $AA_1 = 6$. Найдите объём многогранника $A$, $B$, $C$, $B_1$.
$ABCB_1$ — треугольная пирамида.
Объём пирамиды:
\[V = \frac{1}{3} S_{\text{осн.}} \cdot h\]Основание — треугольник $ABC$ (прямоугольный, так как параллелепипед прямоугольный):
\[S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 7 = \frac{63}{2}\]Высота — $BB_1 = AA_1 = 6$.
Тогда:
\[V_{ABCB_1} = \frac{1}{3} \cdot \frac{63}{2} \cdot 6 = \frac{1}{3} \cdot 189 = 63\]Ответ: 63
Задача: В правильной треугольной призме объём равен 84. Через среднюю линию основания проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найти объём отсечённой призмы.
Объём призмы:
\[V = S_{\text{осн.}} \cdot h\]Обозначим:
Высоты обеих призм совпадают, поэтому:
\[\frac{V_{\text{отс.}}}{V_{\text{исх.}}} = \frac{S_{\text{отс.}}}{S_{\text{исх.}}}\]Средняя линия треугольника отсекает подобный треугольник с коэффициентом подобия $\frac{1}{2}$.
Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия:
\[\frac{S_{\text{отс.}}}{S_{\text{исх.}}} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\]Тогда:
\[V_{\text{отс.}} = \frac{1}{4} V_{\text{исх.}} = \frac{1}{4} \cdot 84 = 21\]Ответ: 21
Задача: Во сколько раз уменьшится объём конуса, если его высота уменьшится в 9 раз, а радиус основания останется прежним?
Объём конуса:
\[V = \frac{1}{3} \pi R^2 h\]Пусть исходная высота была $h$, новая высота: $h' = \frac{h}{9}$.
Радиус остаётся неизменным: $R' = R$.
Найдём отношение объёмов:
\[\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{1}{3} \pi R^2 h}{\frac{1}{3} \pi R^2 \cdot \frac{h}{9}} = \frac{h}{\frac{h}{9}} = 9\]Объём уменьшится в 9 раз.
Ответ: 9
Задача номер 3 требует от вас трёх ключевых умений:
Главная ошибка — забыть множитель $\frac{1}{3}$. Всегда проверяйте, что вы имеете дело с пирамидой, а не с призмой!
Рекомендуем повторить связанные темы: