Задача номер 2 на профильном ЕГЭ по математике посвящена векторам и их операциям. Здесь вам встретятся задачи на вычисление координат векторов, их длин, скалярного произведения и работу с геометрическими рисунками.
За правильное решение этой задачи вы получаете 1 балл. Это одна из самых доступных задач на экзамене, поэтому очень важно научиться решать её без ошибок!
Что такое вектор?
Вектор — это направленный отрезок, который имеет начало и конец.
Вектор характеризуется двумя свойствами: направлением и длиной (модулем).
На плоскости вектор задаётся двумя координатами: $\vec{a}(x; y)$, где $x$ и $y$ — это смещение по осям.
Основные операции с векторами
Сложение векторов:
Если $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2)$, то:
\[
\vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2; y_1 + y_2)
\]
Вычитание векторов:
\[
\vec{a} - \vec{b} = (x_1 - x_2; y_1 - y_2)
\]
Умножение вектора на число:
Если $k$ — число, то:
\[
k\vec{a} = (kx_1; ky_1)
\]
Длина (модуль) вектора:
Длина вектора $\vec{a}(x; y)$ вычисляется по формуле:
\[
|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}
\]
Скалярное произведение векторов:
Если $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2)$, то скалярное произведение равно:
\[
\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2
\]
Также скалярное произведение можно вычислить через угол между векторами:
\[
\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos\varphi
\]
где $\varphi$ — угол между векторами.
Координаты вектора на рисунке
Если вектор нарисован на координатной плоскости:
Чтобы найти координаты вектора, нужно вычесть координаты начала из координат конца.
Если вектор начинается в точке $A(x_A; y_A)$ и заканчивается в точке $B(x_B; y_B)$, то:
$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A)$
Алгоритм решения задачи номер 2
- Прочитайте условие. Определите, что нужно найти: длину вектора, скалярное произведение или координаты.
- Если вектор дан на рисунке: найдите координаты начала и конца, затем вычислите координаты вектора.
- Выполните операции с векторами. Сложение, вычитание, умножение на число — делайте это покоординатно.
- Вычислите результат. Используйте формулы для длины или скалярного произведения.
- Проверьте ответ. Убедитесь, что вычисления верны.
Подробный пример
Задача: Даны векторы $\vec{a}(2; 0)$ и $\vec{b}(1; 4)$. Найдите длину вектора $\vec{a} + 3\vec{b}$.
Решение
Шаг 1: Найдём вектор $3\vec{b}$:
\[
3\vec{b} = (3 \cdot 1; 3 \cdot 4) = (3; 12)
\]
Шаг 2: Найдём вектор $\vec{a} + 3\vec{b}$:
\[
\vec{a} + 3\vec{b} = (2 + 3; 0 + 12) = (5; 12)
\]
Шаг 3: Вычислим длину вектора $(5; 12)$:
\[
|\vec{a} + 3\vec{b}| = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13
\]
Ответ: $13$
Мини-словарь
- Координаты вектора — пара чисел $(x; y)$, которые показывают смещение вектора по горизонтали и вертикали.
- Модуль вектора — длина вектора, всегда неотрицательное число.
- Скалярное произведение — число (скаляр), получающееся при перемножении векторов определённым способом.
- Угол между векторами — угол, на который нужно повернуть один вектор, чтобы он совпал с другим.
Пример 1: Длина суммы векторов
Задача: Даны векторы $\vec{a}(2;0)$ и $\vec{b}(1;4)$. Найдите длину вектора $\vec{a} + 3\vec{b}$.
Решение
Найдём координаты вектора $\vec{a} + 3\vec{b}$:
\[
\vec{a} + 3\vec{b} = (2 + 3 \cdot 1; 0 + 3 \cdot 4) = (5; 12)
\]
Его длина:
\[
|\vec{a} + 3\vec{b}| = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13
\]
Ответ: $13$
Пример 2: Длина разности векторов
Задача: Даны векторы $\vec{a}(25;0)$ и $\vec{b}(1;-5)$. Найдите длину вектора $\vec{a} - 4\vec{b}$.
Решение
Найдём координаты вектора $\vec{a} - 4\vec{b}$:
\[
\vec{a} - 4\vec{b} = (25 - 4 \cdot 1; 0 - 4 \cdot (-5)) = (25 - 4; 0 + 20) = (21; 20)
\]
Его длина:
\[
|\vec{a} - 4\vec{b}| = \sqrt{21^2 + 20^2} = \sqrt{441 + 400} = \sqrt{841} = 29
\]
Ответ: $29$
Пример 3: Координаты векторов по рисунку
Задача: На координатной плоскости изображены векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ с целыми координатами. Найдите $\vec{a}\cdot\vec{b}$.
Решение
Шаг 1: Определим координаты векторов по рисунку.
Вектор $\vec{a}$ начинается в точке $(1; 1)$ и заканчивается в точке $(3; 4)$:
\[
\vec{a} = (3 - 1; 4 - 1) = (2; 3)
\]
Вектор $\vec{b}$ начинается в точке $(3; 3)$ и заканчивается в точке $(5; 2)$:
\[
\vec{b} = (5 - 3; 2 - 3) = (2; -1)
\]
Шаг 2: Вычислим скалярное произведение по формуле:
\[
\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2
\]
Шаг 3: Подставим значения:
\[
\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 2 + 3 \cdot (-1) = 4 - 3 = 1
\]
Ответ: $1$
Пример 4: Скалярное произведение сложных выражений
Задача: Даны векторы $\vec{a}(2;1)$ и $\vec{b}(2;-4)$. Найдите скалярное произведение $(\vec{a}+\vec{b}) \cdot (7\vec{a}-\vec{b})$.
Решение
Шаг 1: Найдём координаты вектора $\vec{a}+\vec{b}$:
\[
\vec{a}+\vec{b} = (2+2; 1+(-4)) = (4; -3)
\]
Шаг 2: Найдём координаты вектора $7\vec{a} - \vec{b}$:
\[
7\vec{a} = (7 \cdot 2; 7 \cdot 1) = (14; 7)
\]
\[
7\vec{a} - \vec{b} = (14 - 2; 7 - (-4)) = (12; 11)
\]
Шаг 3: Вычислим скалярное произведение:
\[
(\vec{a}+\vec{b}) \cdot (7\vec{a}-\vec{b}) = 4 \cdot 12 + (-3) \cdot 11 = 48 - 33 = 15
\]
Ответ: $15$
Пример 5: Скалярное произведение через угол
Задача: Длины векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равны $3$ и $7$, угол между ними — $60°$. Найдите $\vec{a}\cdot\vec{b}$.
Решение
Шаг 1: Используем формулу скалярного произведения через угол:
\[
\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos\varphi
\]
Шаг 2: Подставим значения:
\[
\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 7 \cdot \cos 60° = 21 \cdot \frac{1}{2} = 10.5
\]
Ответ: $10.5$