Задача Номер 19

Условие: На доске записано $k$ последовательных натуральных чисел. Среди них чисел, делящихся на 25, меньше, чем чисел, делящихся на 29.

а) Могло ли среди записанных чисел быть ровно три числа, делящихся на 25?

Решение: Приведём пример. Возьмём числа от 29 до 116 включительно.

Числа, кратные 29: это 29, 58, 87, 116 — всего 4 числа.

Числа, кратные 25: это 50, 75, 100 — всего 3 числа.

Условие выполнено: 3 < 4. ✓

Ответ (а): Да, могло.

б) Могло ли среди записанных чисел быть ровно десять чисел, делящихся на 25?

Решение: Предположим, что есть 10 чисел, кратных 25. Тогда, по условию, чисел, кратных 29, должно быть не менее 11.

Среди 29 подряд идущих чисел ровно одно число кратно 29. Значит, для 11 чисел, кратных 29, нужно не менее $29 \cdot 10 + 1 = 291$ числа.

Но среди 291 подряд идущих чисел количество чисел, кратных 25, составляет:

$$\text{Количество} \ge \frac{291 - 24}{25} = \frac{267}{25} = 10{,}68 > 10$$
Получилось противоречие: чисел, кратных 25, должно быть больше 10, но по условию их ровно 10.

Ответ (б): Нет, не могло.

в) Найдите наибольшее возможное значение $k$.

Решение: Пусть чисел, кратных 25, равно $a$ штук. Тогда чисел, кратных 29, не менее $a + 1$.

Из условия на количество чисел, кратных 29:

$$k \ge 29(a + 1) - 28 = 29a + 1$$
Из условия на количество чисел, кратных 25 (их не менее $\dfrac{k-24}{25}$):

$$a \ge \frac{29a + 1 - 24}{25} = \frac{29a - 23}{25}$$
$$25a \ge 29a - 23$$
$$23 \ge 4a$$
$$a \le 5{,}75$$
Так как $a$ — целое число, $a \le 5$.

Тогда $k \le 25a + 24 \le 25 \cdot 5 + 24 = 149$.

Проверка примера: Числа от 551 до 699 (всего 149 чисел).

Числа, кратные 29: $29 \cdot 19 = 551$, ..., $29 \cdot 24 = 696$ — всего 6 чисел.

Числа, кратные 25: $25 \cdot 23 = 575$, ..., $25 \cdot 27 = 675$ — всего 5 чисел.

Условие: 5 < 6 ✓

Ответ (в): $k_{\max} = 149$

Условие: Из натурального числа можно получить другое число, вычеркивая его цифры (сохраняя порядок оставшихся).

а) Приведите пример семизначного числа, из которого можно получить 206, 835 и 930.

Решение: Возьмём число $2893506$.

Из него вычеркиванием получаем:
• 206 (вычеркиваем 8, 9, 3, 5)
• 835 (вычеркиваем 2, 9, 0, 6)
• 930 (вычеркиваем 2, 8, 5, 6)

Ответ (а): $2893506$

б) Существует ли восьмизначное число, из которого можно получить 247, 345, 586, 812?

Решение: Заметим, что в числах используются цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 — каждая по одному разу.

Проанализируем условия на порядок цифр:
• Для 247: цифра 2 должна быть раньше 4, а 4 раньше 7
• Для 345: цифра 3 раньше 4, а 4 раньше 5
• Для 586: цифра 5 раньше 8
• Для 812: цифра 8 раньше 1, а 1 раньше 2

Получается: 2 < 4 < 5 < 8 < 1 < 2. Но это означает, что 2 < 2, что невозможно!

Ответ (б): Нет, не существует.

в) Найдите наименьшее натуральное число, из которого можно получить все числа от 1 до 50.

Решение: Каждая цифра 1, 2, 3, 4 должна встречаться не менее двух раз (для чисел 11, 22, 33, 44). Цифры 5, 6, 7, 8, 9, 0 — по одному разу. Итого минимум $4 \cdot 2 + 6 = 14$ цифр.

Пример на 14 цифр: $1234123456789$

Проверка:
• Однозначные 1–9: каждая встречается в числе ✓
• Двузначные 10–49: цифра 1, 2, 3, 4 повторяется, после каждой идут цифры 1–9 ✓
• Числа 50: цифра 5 стоит после 1, 2, 3, 4 ✓

Ответ (в): $1234123456789$

Условие: В парке $n$ аттракционов. Пришло $n$ детей. Каждый потратил или 30, или 140 рублей. Стоимость каждого аттракциона — 10 рублей.

а) Может ли выручка каждого аттракциона составить ровно 80 рублей?

Решение: Пусть $a$ детей потратили 30 рублей, $b$ детей потратили 140 рублей. Тогда $a + b = n$.

Общая выручка: $30a + 140b = 80n = 80(a+b)$

$$30a + 140b = 80a + 80b$$ $$60b = 50a$$ $$6b = 5a$$
Решение: $a = 6, b = 5, n = 11$.

Проверка: $6 \cdot 30 + 5 \cdot 140 = 180 + 700 = 880 = 80 \cdot 11$ ✓

Ответ (а): Да, может. Пример: 11 аттракционов, 6 детей по 30 рублей, 5 детей по 140 рублей.

б) Какое наименьшее количество детей, если все аттракционы получили одинаковую выручку?

Решение: Пусть каждый аттракцион заработал $10x$ рублей. Тогда:

$$10xn = 30a + 140b$$ $$xn = 3(a+b) + 11b = 3n + 11b$$ $$b = \frac{(x-3)n}{11}$$
Для целости $b$ нужно, чтобы $11 \mid n$. Минимальное значение: $n = 11$.

Ответ (б): 11 детей

в) Любые два аттракциона имеют разную выручку. Каково наибольшее количество детей?

Решение: Выручка должна быть разной для каждого аттракциона. Минимальная сумма выручек (в рублях):

$$0 + 10 + 20 + \ldots + 10(n-1) = 5n(n-1)$$
Максимальная сумма (1 ребёнок по 30 рублей, остальные по 140):

$$30 + 140(n-1) = 140n - 110$$
Неравенство:

$$5n(n-1) < 140n - 110$$ $$5n^2 - 145n + 110 < 0$$ $$n^2 - 29n + 22 < 0$$
Корни: $n = \dfrac{29 \pm \sqrt{841 - 88}}{2} = \dfrac{29 \pm \sqrt{753}}{2} \approx \dfrac{29 \pm 27{,}4}{2}$

Получаем $n \le 28$.

Ответ (в): 28 детей

Условие: На доске 30 чисел: десять «5», десять «4», десять «3». Разбиваем на две группы с средними $A$ и $B$.

в) Найдите наименьшее возможное значение $\dfrac{A+B}{2}$.

Решение: Среднее всех чисел: $\dfrac{5 \cdot 10 + 4 \cdot 10 + 3 \cdot 10}{30} = 4$

Если в каждой группе количество троек равно количеству пятёрок, то $A = B = 4$, откуда $\dfrac{A+B}{2} = 4$.

Если в одной группе троек меньше, чем пятёрок, то $A > 4$. Наименьшее $A > 4$ — это $\dfrac{120}{29} = 4\dfrac{1}{29}$ (одна тройка в одной группе, остальное в другой).

Тогда $B = 3$ (минимально), и:

$$\frac{A+B}{2} = \frac{4\dfrac{1}{29} + 3}{2} = \frac{\dfrac{117}{29} + 3}{2} = \frac{\dfrac{117 + 87}{29}}{2} = \frac{204}{58} = \frac{102}{29} = 3\frac{15}{29}$$

Ответ (в): $3\dfrac{15}{29}$

Условие: На доске 10 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое любых 3, 4, 5 или 6 чисел — целое число. Одно число равно 3033.

б) Может ли отношение двух чисел быть равным 31?

Решение: Сначала докажем, что все числа дают одинаковые остатки по модулю 4.

Если числа $a$ и $b$ дают разные остатки по модулю 4, то для любых чисел $c, d, e$:
• Сумма $a + c + d + e \equiv 0 \pmod{4}$ (по условию)
• Сумма $b + c + d + e \equiv 0 \pmod{4}$ (по условию)

Вычитая: $a - b \equiv 0 \pmod{4}$, что противоречит предположению.

Число 3033 дает остаток 1 при делении на 4.

Если на доске есть число $a$ и число $31a$, то:
• $a \equiv 1 \pmod{4}$
• $31a \equiv 31 \cdot 1 \equiv 3 \pmod{4}$

Противоречие! Остатки разные.

Ответ (б): Нет, не может.

в) Отношение двух чисел — целое число $n$. Найдите наименьшее $n$.

Решение: Число 3033 дает остатки: 0 (по модулю 3), 1 (по модулю 4), 3 (по модулю 5), 3 (по модулю 6).

Проверяем $n = 2, 3, \ldots$ и находим противоречия. Например:
• $n = 2$: если $a \equiv 3 \pmod{6}$, то $2a \equiv 0 \pmod{6}$ — противоречие
• $n = 3$: если $a \equiv 1 \pmod{4}$, то $3a \equiv 3 \pmod{4}$ — противоречие

Проверяем до $n = 21$. Пример для $n = 21$: числа вида $33 + 60k$ (остатки совпадают).

Набор: 33, 93, 153, 213, 273, 333, 393, 453, 693, 30033.

Ответ (в): $n = 21$