Задача 18 на ЕГЭ по профильной математике — это задачи с параметром. Здесь нужно найти все значения параметра, при которых уравнение или система удовлетворяет определённым условиям. Это очень сложная задача, за которую можно получить 4 балла. Она требует глубокого понимания функций, уравнений и умения анализировать поведение выражений при разных значениях параметра.
1. Метод замены переменной
Часто в задаче 18 используется замена переменной. Это позволяет свести сложное уравнение к более простому.
2. Анализ функции с модулями
Если в уравнении есть модули, нужно раскрыть их на разных интервалах и получить кусочно-заданную функцию.
3. Графический метод
Можно построить графики левой и правой части уравнения и найти, при каких параметрах они пересекаются нужное количество раз.
Задача: Найдите все значения параметра \(a\), при которых уравнение
где \(t = x + \frac{1}{x}\), имеет ровно два различных решения по переменной \(x\).
Шаг 1. Обозначим \(t = x + \frac{1}{x}\). Получаем квадратное уравнение:
Шаг 2. Найдём область значений функции \(t = x + \frac{1}{x}\).
Для \(x > 0\): по неравенству Коши имеем \(x + \frac{1}{x} \geq 2\sqrt{x \cdot \frac{1}{x}} = 2\).
Для \(x < 0\): аналогично \(x + \frac{1}{x} \leq -2\).
Следовательно, \(t \in (-\infty, -2] \cup [2, +\infty)\).
Шаг 3. Для каждого значения \(t\) из области значений нужно найти количество решений уравнения \(x + \frac{1}{x} = t\).
Это уравнение равносильно \(x^2 - tx + 1 = 0\).
При \(|t| > 2\) это уравнение имеет два различных решения.
При \(|t| = 2\) это уравнение имеет одно решение.
Шаг 4. Чтобы исходное уравнение имело ровно два решения, нужно, чтобы квадратное уравнение относительно \(t\) имело один корень с \(|t| > 2\).
Это возможно, если:
Ответ: \(a = 6.25\) (и другие значения в зависимости от дополнительных условий).
Задача: Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение
имеет ровно два различных решения.
Сделаем замену \(t = x + \frac{4}{x}\). Получим
Рассмотрим случай \(a = 0\):
Дискриминант равен \((-10)^2 - 4\cdot 4 = 84 > 0\), поэтому уравнение имеет ровно два корня. Следовательно, \(a=0\) подходит.
При \(a\neq 0\): Рассмотрим дискриминант квадратного уравнения относительно \(t\):
Отсюда
Анализ замены: Для \(x+\frac{4}{x}=t\) имеем \(x^2 - tx + 4 = 0\) с дискриминантом \(D = t^2 - 16\).
Случай 1: \(D = 0\) — ровно один корень \(|t_0| > 4\).
Это даёт \(a = \frac{1}{20}(5 - \sqrt{30})\) (проверка показывает, что \(|t_0| > 4\)).
Случай 2: \(D>0\) и \(f(4)\cdot f(-4)<0\), где \(f(t)=at^2 + t + 20a - 10\).
Это даёт \(a\in\left(\frac{1}{6},\frac{7}{18}\right)\).
Ответ:
Задача: Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение
имеет ровно два различных решения.
Обозначим
Раскрытие модулей: Нули подмодульных выражений: \(x=-a^{2}\) и \(x=1\).
Так как \(-a^{2}\le 0 < 1\), имеем три интервала:
Вывод из анализа:
Требование к квадратному уравнению: Нужны два различных корня, ни один из которых не равен 1.
Ответ:
Задача: Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение
имеет ровно два различных решения.
Обозначим
Раскрытие модулей: Нули: \(x = a + 2\) и \(x = a - 2\). Так как \(a - 2 < a + 2\):
Анализ:
Требование: Для ровно двух решений исходного уравнения нужно ровно одно значение \(y > 4\).
Рассмотрим квадратное уравнение \(y^2 - ay + a - 64 = 0\).
Нужно, чтобы один корень был \(> 4\), а другой \(< 4\). Это равносильно \(f(4) < 0\):
Ответ:
Задача: Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение
имеет ровно два различных решения.
Обозначим \(y = 5x + |2x - a| - |3x|\).
При \(a = 0\): Имеем \(y = 5x - |x|\).
Для каждого \(y\) — ровно одно решение. Дискриминант уравнения \(y^2 - 2y + 1 = 0\) равен нулю, поэтому \(a = 0\) не подходит.
При \(a > 0\): Нули: \(x = 0\) и \(x = \frac{a}{2}\).
При \(y = a\) — бесконечно много решений; при \(y \ne a\) — одно решение.
Требование: два корня уравнения \(y^2 - (a + 2)y + 1 = 0\), оба \(\ne a\).
При \(a < 0\): Аналогичный анализ показывает \(a \in (-\infty; -4)\).
Ответ:
Задача: Найдите все значения \(a\), при каждом из которых уравнение
имеет ровно одно решение или не имеет решений вовсе.
Обозначим \(b = a - 3\). Тогда \(f(x) = x^4 + b^2\) и \(g(x) = |x - b| + |x + b|\).
Анализ функции \(g(x)\): Это «корыто» с дном на высоте \(y = 2|b|\).
Подходят \(|b| \ge 2\), то есть \(|a - 3| \ge 2\).
Ответ:
Задача 18 — одна из самых сложных на ЕГЭ. Основной подход:
Ключ к успеху — внимательный анализ и систематическое рассмотрение всех случаев. Практикуйтесь на разных типах уравнений и вы сможете решить задачу 18!