Задача Номер 16

Задача номер 16 на ЕГЭ по профильной математике — это экономические задачи, которые часто называют задачами на кредиты, вклады и финансовые расчёты. Эти задачи описывают реальные жизненные ситуации: взятие кредита в банке, открытие вклада с процентами, выплату долга по определённой схеме.

За полное и правильное решение задачи номер 16 можно получить 2 балла. Это одна из самых интересных задач экзамена, потому что она соединяет математику с практикой!

Давайте разберёмся, как решать такие задачи пошагово.

Теория

Основные понятия

Кредит — это деньги, которые банк даёт вам в долг. Вы обязаны вернуть эти деньги плюс проценты.
Вклад — это деньги, которые вы даёте банку. Банк платит вам проценты за пользование вашими деньгами.
Процент — это плата за пользование деньгами, выраженная в процентах от суммы.
Долг — сумма денег, которую нужно вернуть банку.

Ключевые схемы платежей

В экономических задачах используются две основные схемы погашения кредита:

1. Дифференцированная схема (разные платежи)

При дифференцированной схеме каждый месяц (или год) долг уменьшается на одну и ту же сумму. Платежи при этом разные: вначале платежи больше, потом становятся меньше.

Формула для платежа в $n$-ом периоде:

Платёж = Процент на остаток долга + Фиксированная часть основного долга

Если кредит $S$ рублей на $N$ периодов с процентной ставкой $r\%$ в период:

Фиксированная часть = $\frac{S}{N}$

Платёж в период $n$ = $\frac{r}{100} \cdot \text{(остаток долга)} + \frac{S}{N}$

2. Аннуитетная схема (равные платежи)

При аннуитетной схеме вы платите одинаковую сумму каждый период. Эта сумма включает и проценты, и часть основного долга.

Формула для равного платежа:

$x = S \cdot \frac{k(k^N - 1)}{k^N - 1}$

где $k = 1 + \frac{r}{100}$ — коэффициент увеличения долга, $N$ — количество периодов.

Алгоритм решения задачи номер 16

Шаг 1. Внимательно прочитайте условие. Определите:
• Сумму кредита или вклада (обозначим $S$ или $A$)
• Процентную ставку за период (обозначим $r\%$)
• Количество периодов (месяцев, лет)
• Схему платежей (дифференцированная или аннуитетная)

Шаг 2. Составьте таблицу, отслеживающую изменение долга:
• Столбцы: Период, Долг до начисления %, Долг после %, Платёж, Остаток долга
• Заполняйте строку за строкой по условию задачи

Шаг 3. Найдите закономерность в платежах или остатках долга.
Часто платежи образуют арифметическую прогрессию (дифференцированная схема)
или остатки долга образуют геометрическую прогрессию (аннуитетная схема).

Шаг 4. Составьте уравнение на основе условия задачи:
• Если в конце долг = 0, то сумма всех платежей равна исходной сумме плюс проценты
• Если нужно найти платёж, используйте формулу суммы прогрессии
• Если нужно найти сумму кредита, выразите её из уравнения

Шаг 5. Решите уравнение и проверьте ответ.

Подробный пример с решением

Задача: В июле 2026 года открыли вклад в банке на 3 года. Каждый год вклад увеличивается на 25%. В июле 2027, 2028 и 2029 годов снимают одну и ту же сумму. После третьего снятия вклад закончился. Всего было снято 375 000 рублей. Найдите исходную сумму вклада.

Решение

Шаг 1. Определим данные:
• Исходная сумма вклада: $A$ рублей (неизвестна)
• Процентная ставка: $25\%$ в год (коэффициент $1{,}25$)
• Количество лет: 3
• Ежегодное снятие: одинаковая сумма $x$ рублей
• Всего снято: 375 000 рублей за 3 раза

Шаг 2. Найдём сумму одного снятия:
$x = \frac{375000}{3} = 125000$ рублей

Шаг 3. Составим таблицу изменения вклада:

Год Вклад до начисления % Вклад после начисления % Снятие Вклад после снятия
2027 $A$ $1{,}25A$ $125000$ $1{,}25A - 125000$
2028 $1{,}25A - 125000$ $1{,}25(1{,}25A - 125000)$ $125000$ $1{,}25(1{,}25A - 125000) - 125000$
2029 $1{,}25(1{,}25A - 125000) - 125000$ $1{,}25[1{,}25(1{,}25A - 125000) - 125000]$ $125000$ $0$ (вклад закончился)

Шаг 4. Составим уравнение. После третьего года вклад равен нулю:
$1{,}25[1{,}25(1{,}25A - 125000) - 125000] - 125000 = 0$

Шаг 5. Раскроем скобки и упростим:
$1{,}25^3 A - 1{,}25^2 \cdot 125000 - 1{,}25 \cdot 125000 - 125000 = 0$

$1{,}25^3 A = 125000(1{,}25^2 + 1{,}25 + 1)$

$1{,}953125 A = 125000 \cdot 3{,}5625$

$A = \frac{125000 \cdot 3{,}5625}{1{,}953125} = 244000$ рублей

Ответ: 244 000 рублей.

Проверка: 2027 год: $244000 \cdot 1{,}25 = 305000$, снимаем $125000$, остаётся $180000$. ✓
2028 год: $180000 \cdot 1{,}25 = 225000$, снимаем $125000$, остаётся $100000$. ✓
2029 год: $100000 \cdot 1{,}25 = 125000$, снимаем $125000$, остаётся $0$. ✓

Примеры

Пример 1: Дифференцированная схема кредита

Условие: 15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 6 млн рублей на 24 месяца. Условия возврата:

Вопрос: Чему равна общая сумма платежей в 2027 году?

Решение

Это дифференцированная схема: долг уменьшается на одну и ту же сумму каждый месяц.
Ежемесячное уменьшение долга: $\frac{6 \text{ млн}}{24} = 0{,}25$ млн рублей

Составим таблицу для первых месяцев:

Месяц Долг до % Долг после % Платёж Долг после платежа
1 $6$ $6 \cdot 1{,}03 = 6{,}18$ $0{,}18 + 0{,}25 = 0{,}43$ $5{,}75$
2 $5{,}75$ $5{,}75 \cdot 1{,}03 = 5{,}9225$ $0{,}1725 + 0{,}25 = 0{,}4225$ $5{,}5$
... ... ... ... ...
12 $1{,}75$ $1{,}75 \cdot 1{,}03 = 1{,}8025$ $0{,}0525 + 0{,}25 = 0{,}3025$ $1{,}5$

Платежи за 2027 год (месяцы 1–12) образуют арифметическую прогрессию:
• Первый платёж: $a_1 = 0{,}43$ млн
• Двенадцатый платёж: $a_{12} = 0{,}3025$ млн
• Количество платежей: $n = 12$

Сумма арифметической прогрессии:

$\Sigma = \frac{a_1 + a_{12}}{2} \cdot n = \frac{0{,}43 + 0{,}3025}{2} \cdot 12 = \frac{0{,}7325}{2} \cdot 12 = 4{,}395$ млн рублей

Ответ: 4,395 млн рублей (или 4 395 000 рублей).

Пример 2: Нахождение процентной ставки

Условие: В июле 2025 планируется взять кредит на 4 года на сумму 2 млн рублей. Условия:

Вопрос: Найдите $r$.

Решение

При дифференцированной схеме на 4 года каждый год выплачивается $\frac{2}{4} = 0{,}5$ млн.
Обозначим $k = \frac{r}{100}$.

Таблица изменения долга (в млн рублей):

Год Долг до % Долг после % Выплата Долг после выплаты
2026 $2$ $2 + 2k$ $0{,}5 + 2k$ $1{,}5$
2027 $1{,}5$ $1{,}5 + 1{,}5k$ $0{,}5 + 1{,}5k$ $1$
2028 $1$ $1 + 2k$ $0{,}5 + 2k$ $0{,}5$
2029 $0{,}5$ $0{,}5 + k$ $0{,}5 + k$ $0$

Переплата (сумма всех процентов):

$2k + 1{,}5k + 2k + k = 6{,}5k = 0{,}65$ млн

$k = \frac{0{,}65}{6{,}5} = 0{,}1$

$r = 100k = 10$

Ответ: $r = 10\%$.

Пример 3: Нахождение суммы кредита

Условие: 15 декабря 2026 года планируется взять кредит размером $A$ млн рублей на 48 месяцев. Условия:

Дано: Общая сумма платежей в 2027 году = 8550 тыс. рублей.

Вопрос: Чему равно $A$?

Решение

Дифференцированная схема на 48 месяцев: ежемесячное уменьшение $= \frac{A}{48}$ млн.
Коэффициент: $k = 1 + 0{,}01 = 1{,}01$.

Платежи за 2027 год (месяцы 1–12) образуют арифметическую прогрессию:

Первый платёж: $\frac{A}{48} + 0{,}01A$

Двенадцатый платёж: $\frac{A}{48} + 0{,}01 \cdot \frac{37A}{48}$

Сумма: $\Sigma = \frac{\text{первый} + \text{двенадцатый}}{2} \cdot 12 = 8{,}55$ млн

Подставим и упростим:

$\frac{\left(\frac{A}{48} + 0{,}01A\right) + \left(\frac{A}{48} + 0{,}01 \cdot \frac{37A}{48}\right)}{2} \cdot 12 = 8{,}55$

$\frac{A}{4} + 0{,}01 \cdot \frac{85A}{8} = 8{,}55$

$\frac{A}{4} + \frac{0{,}85A}{8} = 8{,}55$

Умножим на 8:

$2A + 0{,}85A = 68{,}4$

$2{,}85A = 68{,}4$

$A = 24$ млн рублей

Ответ: 24 млн рублей.

Пример 4: Аннуитетная схема с равными платежами

Условие: В июле 2026 года открыли вклад на 3 года с процентной ставкой 25% годовых. Каждый год снимают одну и ту же сумму. Всего снято 375 000 рублей за 3 года. После третьего снятия вклад закончился.

Вопрос: Найдите исходную сумму вклада.

Решение

Ежегодное снятие: $x = \frac{375000}{3} = 125000$ рублей.

Составим уравнение для конечного остатка (равного нулю):

$1{,}25^3 A - 1{,}25^2 \cdot 125000 - 1{,}25 \cdot 125000 - 125000 = 0$

$A = \frac{125000(1{,}25^2 + 1{,}25 + 1)}{1{,}25^3}$

$A = \frac{125000}{1{,}25} + \frac{125000}{1{,}25^2} + \frac{125000}{1{,}25^3}$

$A = 100000 + 80000 + 64000 = 244000$ рублей

Ответ: 244 000 рублей.

Пример 5: Аннуитетная схема кредита с равными платежами

Условие: В июле 2026 года взяли кредит на некоторую сумму. Каждый январь долг увеличивается на 10%. С февраля по июнь выплачивается одинаковая сумма. Кредит погашен за 3 года тремя равными платежами. Общая сумма платежей на 40 980 рублей больше суммы кредита.

Вопрос: Сколько рублей взяли в кредит?

Решение

Обозначим сумму кредита $S$ рублей, ежегодный платёж $x$ рублей.
Коэффициент: $k = 1{,}1$.

После третьего года долг должен быть нулевым:

$k^3 S - k^2 x - kx - x = 0$

$x(k^2 + k + 1) = k^3 S$

$3x = \frac{3k^3 S}{k^2 + k + 1}$

По условию: $3x = S + 40980$

Подставим $k = 1{,}1$:

$k^2 + k + 1 = 1{,}21 + 1{,}1 + 1 = 3{,}31$

$k^3 = 1{,}331$

$3x = \frac{3 \cdot 1{,}331 \cdot S}{3{,}31} = \frac{3{,}993S}{3{,}31}$

Из условия переплаты:

$\frac{3{,}993S}{3{,}31} = S + 40980$

$3{,}993S = 3{,}31S + 135544{,}8$

$0{,}683S = 135544{,}8$

$S = 198600$ рублей

Ответ: 198 600 рублей.

Заключение

Задачи номер 16 на ЕГЭ — это экономические задачи на кредиты и вклады. Они требуют:

Практикуйте решение различных вариантов: кредиты с разными сроками, вклады с разными процентами, смешанные схемы. Чем больше примеров вы решите, тем увереннее будете на экзамене!

Связанные темы для углубления знаний:

Получить персонального ИИ-репетитора на EGEchat.ru