Задача Номер 15

Задача номер 15 на ЕГЭ по профильной математике — это неравенства повышенной сложности. Здесь встречаются показательные, логарифмические, иррациональные и рациональные неравенства, часто в комбинированном виде. За правильное решение этой задачи вы получаете 2 балла.

Эта задача требует уверенного владения методом интервалов, свойствами функций и умения проводить эквивалентные преобразования. Давайте разберёмся, как её решать!

Теория

Что такое неравенство?

Неравенство — это утверждение, в котором два выражения сравниваются с помощью знаков $<$, $>$, $\le$, $\ge$.
Решить неравенство — найти все значения переменной, при которых неравенство верно.
Множество решений — это совокупность всех таких значений (обычно интервал или объединение интервалов).

Основные типы неравенств в задаче 15

В задаче 15 встречаются неравенства разных типов. Рассмотрим самые важные:

1. Показательные неравенства

Показательное неравенство содержит переменную в показателе степени.

Ключевое свойство: если основание $a > 1$, то функция $a^x$ возрастает, поэтому знак неравенства сохраняется:

Если $a > 1$: $a^{f(x)} > a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x) > g(x)$

Если основание $0 < a < 1$, то функция убывает, и знак неравенства меняется:

Если $0 < a < 1$: $a^{f(x)} > a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x) < g(x)$

2. Логарифмические неравенства

Логарифмическое неравенство содержит переменную под знаком логарифма.

Ключевое свойство: если основание $a > 1$, то функция $\log_a x$ возрастает:

Если $a > 1$: $\log_a f(x) > \log_a g(x) \Leftrightarrow f(x) > g(x) > 0$

Если $0 < a < 1$, то функция убывает:

Если $0 < a < 1$: $\log_a f(x) > \log_a g(x) \Leftrightarrow 0 < f(x) < g(x)$

Важно: всегда проверяйте область допустимых значений (ОДЗ) — под логарифмом должно быть только положительное число!

3. Рациональные неравенства

Рациональное неравенство содержит дроби с переменной в числителе или знаменателе.

Для решения используется метод интервалов (см. ниже).

4. Неравенства с модулем

Модуль числа $x$ обозначается $|x|$ и равен:

$|x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Для неравенств с модулем нужно раскрыть модули на разных промежутках.

Метод интервалов

Метод интервалов — универсальный способ решения рациональных неравенств.

Алгоритм решения задачи номер 15:

Шаг 1. Найдите область допустимых значений (ОДЗ) — определите, при каких $x$ выражение имеет смысл (знаменатель не равен нулю, под логарифмом положительное число, под корнем неотрицательное число).

Шаг 2. Приведите неравенство к виду $\frac{P(x)}{Q(x)} \ge 0$ или $P(x) \cdot Q(x) \ge 0$ (перенесите всё в одну часть, приведите к общему знаменателю).

Шаг 3. Найдите нули числителя и знаменателя — точки, где выражение равно нулю или не определено.

Шаг 4. Отметьте эти точки на числовой прямой. Они делят прямую на интервалы.

Шаг 5. На каждом интервале определите знак выражения (подставьте пробную точку).

Шаг 6. Выберите интервалы, где знак соответствует условию неравенства ($\ge 0$ — берите интервалы со знаком «плюс» и точки, где выражение равно нулю).

Шаг 7. Проверьте, что найденные решения принадлежат ОДЗ. Запишите ответ.

Пример решения простого неравенства

Задача: Решите неравенство $\frac{(x-1)(x+2)}{x-3} \ge 0$.

Решение

Шаг 1. ОДЗ: $x \ne 3$ (знаменатель не равен нулю).

Шаг 2. Неравенство уже приведено к нужному виду.

Шаг 3. Нули числителя: $x = 1$ и $x = -2$.
Нули знаменателя: $x = 3$.

Шаг 4–5. Отметим точки на числовой прямой и определим знаки на каждом интервале:

На $(-\infty; -2)$: берём $x = -3$, получаем $\frac{(-4)(-1)}{-6} = \frac{4}{-6} < 0$ — знак минус.
На $(-2; 1)$: берём $x = 0$, получаем $\frac{(-1)(2)}{-3} = \frac{-2}{-3} > 0$ — знак плюс.
На $(1; 3)$: берём $x = 2$, получаем $\frac{(1)(4)}{-1} = -4 < 0$ — знак минус.
На $(3; +\infty)$: берём $x = 4$, получаем $\frac{(3)(6)}{1} = 18 > 0$ — знак плюс.

Шаг 6. Нам нужны интервалы со знаком плюс и нули числителя:

$x \in [-2; 1] \cup (3; +\infty)$

Ответ: $x \in [-2; 1] \cup (3; +\infty)$.

Полезные свойства и приёмы

Замена переменной. Если неравенство содержит одно и то же выражение несколько раз (например, $2^x$), введите новую переменную (например, $t = 2^x$) и решите неравенство относительно $t$.

Рационализация. Для логарифмических и показательных неравенств иногда удобно применить метод рационализации — заменить сложное выражение на более простое с сохранением знака.

Учёт монотонности функции. Если вы знаете, что функция возрастает или убывает, можно переходить от неравенства для функции к неравенству для аргументов.

Примеры

Пример 1: Комбинированное неравенство с показателями и логарифмами

Задача:

Решите неравенство
$2^x \cdot \log_3 x + 3^x \cdot \log_2 x \le 2 \cdot 3^{x-1} \cdot \log_3 x + 3 \cdot 2^{x-1} \cdot \log_2 x$
Решение

Шаг 1. ОДЗ: $x > 0$ (логарифмы определены только для положительных чисел).

Шаг 2. Перенесём всё в левую часть и сгруппируем по логарифмам:

$2^x \cdot \log_3 x - 2 \cdot 3^{x-1} \cdot \log_3 x + 3^x \cdot \log_2 x - 3 \cdot 2^{x-1} \cdot \log_2 x \le 0$

$\log_3 x \cdot (2^x - 2 \cdot 3^{x-1}) + \log_2 x \cdot (3^x - 3 \cdot 2^{x-1}) \le 0$

$\log_3 x \cdot 2(2^{x-1} - 3^{x-1}) - \log_2 x \cdot 3(2^{x-1} - 3^{x-1}) \le 0$

$(2 \log_3 x - 3 \log_2 x)(2^{x-1} - 3^{x-1}) \le 0$

Шаг 3. Анализируем первый множитель. Проверим знак $2 - 3\log_2 3$:

$\log_2 3 > 1 \Rightarrow 3\log_2 3 > 3 \Rightarrow 2 - 3\log_2 3 < 0$

Значит, $2\log_3 x - 3\log_2 x < 0$ для всех $x > 0$.

Шаг 4. Делим на отрицательное число, меняя знак:

$2^{x-1} - 3^{x-1} \ge 0$

$2^{x-1} \ge 3^{x-1}$

$\left(\frac{2}{3}\right)^{x-1} \ge 1$

Шаг 5. Так как $\frac{2}{3} < 1$, функция убывает:

$x - 1 \le 0 \Rightarrow x \le 1$

Шаг 6. Учитываем ОДЗ ($x > 0$):

$x \in (0; 1]$

Ответ: $(0; 1]$.

Пример 2: Показательное неравенство

Задача:

Решите неравенство $2^{\frac{1}{x}} \cdot 5^x \le 0{,}1$
Решение

Шаг 1. ОДЗ: $x \ne 0$.

Шаг 2. Преобразуем неравенство, приводя к степеням одного основания:

$2^{\frac{1}{x}} \cdot 5^x \le \frac{1}{10}$

$2^{\frac{1}{x}} \cdot 5^x \cdot 10 \le 1$

$2^{\frac{1}{x} + 1} \cdot 5^{x+1} \le 1$

$2^{\frac{x+1}{x}} \cdot 2^{(x+1)\log_2 5} \le 2^0$

$2^{\frac{x+1}{x} + (x+1)\log_2 5} \le 2^0$

Шаг 3. Так как основание $2 > 1$, функция возрастает:

$\frac{x+1}{x} + (x+1)\log_2 5 \le 0$

Шаг 4. Используем свойство логарифмов: $\log_2 5 \cdot \log_5 2 = 1$:

$\frac{x+1}{x} + (x+1)\log_2 5 = \frac{(x+1)(\log_5 2 + x)}{x} \le 0$

Шаг 5. Применяем метод интервалов. Нули: $x = -1$, $x = -\log_5 2 \approx -0{,}43$, $x = 0$.

Определяем знаки на интервалах:

На $(-\infty; -1)$: знак минус.
На $(-1; -\log_5 2)$: знак плюс.
На $(-\log_5 2; 0)$: знак минус.
На $(0; +\infty)$: знак плюс.

Шаг 6. Выбираем интервалы со знаком минус и ноли числителя:

$x \in (-\infty; -1] \cup [-\log_5 2; 0)$

Ответ: $(-\infty; -1] \cup [-\log_5 2; 0)$.

Пример 3: Рациональное неравенство со степенями

Задача:

Решите неравенство
$\frac{16^{x+0.5} - 4^{x+1.5} - 4}{4^x - 2} + \frac{100}{4^x - 8} \ge 4^{x+1} - 24$
Решение

Шаг 1. ОДЗ: $4^x \ne 2$ и $4^x \ne 8$, то есть $x \ne 0{,}5$ и $x \ne 1{,}5$.

Шаг 2. Сделаем замену $t = 4^x > 0$:

$\frac{4t^2 - 8t - 4}{t - 2} + \frac{100}{t - 8} \ge 4t - 24$

$\frac{t^2 - 2t - 1}{t - 2} + \frac{25}{t - 8} \ge t - 6$

Шаг 3. Приводим к общему знаменателю и упрощаем:

$\frac{(t^2 - 2t - 1)(t - 8) + 25(t - 2) - (t - 6)(t - 2)(t - 8)}{(t - 2)(t - 8)} \ge 0$

После раскрытия скобок и приведения подобных:

$\frac{(t - 3)^2}{(t - 2)(t - 8)} \ge 0$

Шаг 4. Метод интервалов: нули $t = 3$ (с чётной кратностью), разрывы в $t = 2$ и $t = 8$.

На $(0; 2)$: знак минус (но $t > 0$, поэтому берём этот интервал).
На $(2; 3)$: знак минус.
На $(3; 8)$: знак минус.
На $(8; +\infty)$: знак плюс.

Решение: $0 < t < 2$, $t = 3$, $t > 8$.

Шаг 5. Обратная замена $t = 4^x$:

$0 < 4^x < 2 \Rightarrow x < \log_4 2 = 0{,}5$
$4^x = 3 \Rightarrow x = \log_4 3$
$4^x > 8 \Rightarrow x > \log_4 8 = 1{,}5$

Ответ: $(-\infty; 0{,}5) \cup \{\log_4 3\} \cup (1{,}5; +\infty)$.

Пример 4: Неравенство с модулями и логарифмами

Задача:

Решите неравенство $|\log_4 (x+1)^2 - 2| + |\log_2(2x+3) - 1| \le 3$
Решение

Шаг 1. ОДЗ: $(x+1)^2 > 0$ (то есть $x \ne -1$) и $2x + 3 > 0$ (то есть $x > -1{,}5$).
Итого: $x \in (-1{,}5; -1) \cup (-1; +\infty)$.

Шаг 2. Найдём нули подмодульных выражений:

$\log_4 (x+1)^2 - 2 = 0 \Rightarrow (x+1)^2 = 16 \Rightarrow x = 3$ или $x = -5$ (не в ОДЗ).
$\log_2(2x+3) - 1 = 0 \Rightarrow 2x + 3 = 2 \Rightarrow x = -0{,}5$.

Критические точки: $x = -0{,}5$ и $x = 3$.

Шаг 3. Разбиваем на промежутки и раскрываем модули:

На $x \ge 3$: оба подмодульных выражения положительны.

$(\log_4 (x+1)^2 - 2) + (\log_2(2x+3) - 1) \le 3$
$\log_4 (x+1)^2 + \log_2(2x+3) \le 6$
$(x+1)(2x+3) \le 64$
$2x^2 + 5x - 61 \le 0$

Решая квадратное неравенство: $x \in [3; \frac{-5+\sqrt{513}}{4}]$ (примерно $[3; 4{,}42]$).

На $-0{,}5 \le x < 3$: первое выражение отрицательно, второе положительно.

$(2 - \log_4 (x+1)^2) + (\log_2(2x+3) - 1) \le 3$
$\log_2 \frac{2x+3}{x+1} \le 2$
$\frac{2x+3}{x+1} \le 4$

Решая: $x \in [-0{,}5; 3)$.

На $-1{,}5 < x < -0{,}5$ (исключая $x = -1$): оба выражения отрицательны.

Анализ показывает, что неравенство не выполняется на этом промежутке.

Шаг 4. Объединяем решения:

$x \in [-0{,}5; \frac{-5+\sqrt{513}}{4}]$

Ответ: $[-0{,}5; \frac{\sqrt{513}-5}{4}]$.

Заключение

Задача 15 — это проверка вашего мастерства в решении сложных неравенств. Ключ к успеху:

Практикуйтесь на разных типах неравенств — и вы уверенно решите задачу 15 на экзамене!

Связанные темы:

Решение показательных неравенств
Решение логарифмических неравенств
Рациональные неравенства
Метод интервалов
Определение области допустимых значений (ОДЗ)
Уравнения с модулями
Неравенства с модулем
Свойства показательной функции
Свойства логарифмической функции
Использование свойств показательной и логарифмической функций при решении неравенств
Сведение к квадратному или другому виду (замена переменной)
Использование свойств степеней для преобразования показательных уравнений
Использование свойств логарифмов для преобразования уравнений

Получить персонального ИИ-репетитора на EGEchat.ru