Задача 13 в ЕГЭ по профильной математике — это уравнения повышенной сложности. Здесь вам встретятся тригонометрические, логарифмические, показательные и смешанные уравнения, которые требуют не только умения решать, но и правильно отбирать корни на заданном промежутке.
За полное решение этой задачи можно получить 2 балла: 1 балл за решение уравнения и 1 балл за правильный отбор корней на промежутке.
Эта задача развивает ваши навыки работы с разными типами уравнений и учит находить нужные решения среди всех возможных.
1. Тригонометрические уравнения
Содержат функции синус, косинус, тангенс. Решаются с помощью формул приведения и двойного угла.
2. Логарифмические уравнения
Содержат логарифмы. Решаются через преобразование логарифмических выражений и замену переменной.
3. Показательные уравнения
Содержат степени с переменной в показателе. Часто решаются приведением к одному основанию
или методом замены переменной.
4. Смешанные и комбинированные уравнения
Содержат несколько типов функций одновременно. Решаются разложением на множители или приведением
к совокупности более простых уравнений.
Формулы приведения (тригонометрия):
\[ \sin\left(\theta - \frac{\pi}{2}\right) = -\cos\theta \] \[ \cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta \] \[ \sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta \]Основное тригонометрическое тождество:
\[ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \]Формула разности квадратов:
\[ a^4 - b^4 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2) \]Логарифмические преобразования:
\[ \log_a(b^n) = n\log_a b \] \[ \log_{a^m}(b) = \frac{1}{m}\log_a b \]Показательные преобразования:
\[ a^{f(x)} = a^{g(x)} \quad \Rightarrow \quad f(x) = g(x) \]Задача: Решите уравнение $\cos 2x - \sqrt{2}\cos\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) - 1 = 0$.
Шаг 1: Преобразуем правую часть, используя формулу приведения $\cos\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = \sin x$:
\[ \cos 2x - \sqrt{2}\sin x - 1 = 0 \]Шаг 2: Используем формулу $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$:
\[ 1 - 2\sin^2 x - \sqrt{2}\sin x - 1 = 0 \] \[ -2\sin^2 x - \sqrt{2}\sin x = 0 \]Шаг 3: Вынесем общий множитель $\sin x$:
\[ \sin x(-2\sin x - \sqrt{2}) = 0 \]Шаг 4: Получаем совокупность:
\[ \begin{cases} \sin x = 0 \\ \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \end{cases} \]Шаг 5: Решаем каждое уравнение:
\[ \sin x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \] \[ \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \text{ или } x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]Ответ пункта а):
\[ x = \pi k; \quad x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k; \quad x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]После нахождения всех корней нужно выбрать те, которые лежат в заданном промежутке. Это делается подстановкой конкретных значений параметра $k$ или $n$.
Способ 1: Подстановка параметра
Если решение имеет вид $x = \alpha + 2\pi k$, подставьте разные целые значения $k$
и проверьте, попадает ли результат в промежуток.
Способ 2: Неравенство
Составьте неравенство: $a \le \alpha + 2\pi k \le b$, где $[a; b]$ — ваш промежуток.
Решите его относительно $k$, найдите целые значения.
а) Решите уравнение
\[ \cos^4 \frac{x}{4} - \sin^4 \frac{x}{4} = \sin \left(x - \frac{\pi}{2}\right) \]б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\pi; 5\pi]$.
Решение пункта а):
Преобразуем левую часть, используя формулу разности квадратов $a^4 - b^4 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2)$:
\[ \cos^4 \frac{x}{4} - \sin^4 \frac{x}{4} = \left(\cos^2 \frac{x}{4} - \sin^2 \frac{x}{4}\right) \left(\cos^2 \frac{x}{4} + \sin^2 \frac{x}{4}\right) \]По основному тригонометрическому тождеству $\cos^2 \frac{x}{4} + \sin^2 \frac{x}{4} = 1$:
\[ \cos^4 \frac{x}{4} - \sin^4 \frac{x}{4} = \cos^2 \frac{x}{4} - \sin^2 \frac{x}{4} \]Применим формулу косинуса двойного угла $\cos(2\theta) = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$:
\[ \cos^2 \frac{x}{4} - \sin^2 \frac{x}{4} = \cos \frac{x}{2} \]Преобразуем правую часть, используя $\sin\left(\theta - \frac{\pi}{2}\right) = -\cos \theta$:
\[ \sin \left(x - \frac{\pi}{2}\right) = -\cos x \]Уравнение принимает вид:
\[ \cos \frac{x}{2} = -\cos x \]Используем формулу $\cos x = 2\cos^2 \frac{x}{2} - 1$:
\[ \cos \frac{x}{2} = -(2\cos^2 \frac{x}{2} - 1) \] \[ \cos \frac{x}{2} = -2\cos^2 \frac{x}{2} + 1 \] \[ 2\cos^2 \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2} - 1 = 0 \]Сделаем замену $u = \cos \frac{x}{2}$:
\[ 2u^2 + u - 1 = 0 \]Решаем квадратное уравнение:
\[ D = 1 + 8 = 9 \quad \Rightarrow \quad u = \frac{-1 \pm 3}{4} \] \[ u_1 = \frac{1}{2}, \quad u_2 = -1 \]Случай 1: $\cos \frac{x}{2} = \frac{1}{2}$
\[ \frac{x}{2} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \quad \Rightarrow \quad x = \pm \frac{2\pi}{3} + 4\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]Случай 2: $\cos \frac{x}{2} = -1$
\[ \frac{x}{2} = \pi + 2\pi k \quad \Rightarrow \quad x = 2\pi + 4\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]Ответ пункта а):
\[ x = \pm \frac{2\pi}{3} + 4\pi n, \quad x = 2\pi + 4\pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z} \]Решение пункта б):
Отберём корни на отрезке $[\pi; 5\pi]$.
Случай 1: $x = \frac{2\pi}{3} + 4\pi n$
\[ \pi \le \frac{2\pi}{3} + 4\pi n \le 5\pi \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{12} \le n \le \frac{13}{12} \]Единственное целое $n = 1$: $x = \frac{2\pi}{3} + 4\pi = \frac{14\pi}{3}$
Случай 2: $x = -\frac{2\pi}{3} + 4\pi n$
\[ \pi \le -\frac{2\pi}{3} + 4\pi n \le 5\pi \quad \Rightarrow \quad \frac{5}{12} \le n \le \frac{17}{12} \]Единственное целое $n = 1$: $x = -\frac{2\pi}{3} + 4\pi = \frac{10\pi}{3}$
Случай 3: $x = 2\pi + 4\pi k$
\[ \pi \le 2\pi + 4\pi k \le 5\pi \quad \Rightarrow \quad -\frac{1}{4} \le k \le \frac{3}{4} \]Единственное целое $k = 0$: $x = 2\pi$
Ответ пункта б):
\[ 2\pi; \quad \frac{10\pi}{3}; \quad \frac{14\pi}{3} \]а) Решите уравнение
\[ \log_{0.5}^2 (x^2) - 4\log_8 (x^4) = 1 \]б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-0.9; 2.9]$.
Решение пункта а):
Преобразуем логарифмы. Заметим, что $0.5 = 2^{-1}$ и $8 = 2^3$:
\[ \log_{2^{-1}}^2 (x^2) - 4\log_{2^3} (x^4) = 1 \]Используем формулы преобразования:
\[ \log_2^2(x^2) - 4 \cdot \frac{4}{3}\log_2(x^2) - 1 = 0 \] \[ \log_2^2(x^2) - \frac{8}{3}\log_2(x^2) - 1 = 0 \]Умножим на 3:
\[ 3\log_2^2(x^2) - 8\log_2(x^2) - 3 = 0 \]Сделаем замену $t = \log_2(x^2)$:
\[ 3t^2 - 8t - 3 = 0 \]Решаем:
\[ D = 64 + 36 = 100 \quad \Rightarrow \quad t = \frac{8 \pm 10}{6} \] \[ t_1 = 3, \quad t_2 = -\frac{1}{3} \]Случай 1: $\log_2(x^2) = 3$
\[ x^2 = 2^3 = 8 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 2\sqrt{2} \]Случай 2: $\log_2(x^2) = -\frac{1}{3}$
\[ x^2 = 2^{-1/3} \quad \Rightarrow \quad x = \pm \sqrt[6]{0.5} \]Ответ пункта а):
\[ x = \pm 2\sqrt{2}; \quad x = \pm \sqrt[6]{0.5} \]Решение пункта б):
Проверим каждый корень:
1) $x = \sqrt[6]{0.5} \approx 0.89$: лежит в $[-0.9; 2.9]$ ✓
2) $x = -\sqrt[6]{0.5} \approx -0.89$: лежит в $[-0.9; 2.9]$ ✓
3) $x = 2\sqrt{2} \approx 2.83$: лежит в $[-0.9; 2.9]$ ✓
4) $x = -2\sqrt{2} \approx -2.83$: не лежит в $[-0.9; 2.9]$ ✗
Ответ пункта б):
\[ \pm \sqrt[6]{0.5}; \quad 2\sqrt{2} \]а) Решите уравнение
\[ \sqrt{4x^2 - 1} \cdot \left( 4^{3x+1} - 26 \cdot 8^x + 12 \right) = 0 \]б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-1; 1]$.
Решение пункта а):
Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю, но при этом подкоренное выражение неотрицательно:
\[ \begin{cases} 4x^2 - 1 = 0 \text{ или } 4^{3x+1} - 26 \cdot 8^x + 12 = 0 \\ 4x^2 - 1 \ge 0 \end{cases} \]Первое условие: $4x^2 - 1 = 0$
\[ x^2 = \frac{1}{4} \quad \Rightarrow \quad x = \pm \frac{1}{2} \]Второе условие: $4^{3x+1} - 26 \cdot 8^x + 12 = 0$
Преобразуем: $4^{3x+1} = 4 \cdot 2^{6x}$ и $8^x = 2^{3x}$
\[ 4 \cdot 2^{6x} - 26 \cdot 2^{3x} + 12 = 0 \]Замена $t = 2^{3x}$:
\[ 4t^2 - 26t + 12 = 0 \quad \Rightarrow \quad 2t^2 - 13t + 6 = 0 \]Решаем:
\[ t = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 48}}{4} = \frac{13 \pm 11}{4} \] \[ t_1 = 6, \quad t_2 = \frac{1}{2} \]Обратная замена:
\[ 2^{3x} = 6 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\log_2 6}{3} \] \[ 2^{3x} = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{1}{3} \]Проверим условие $4x^2 - 1 \ge 0$:
\[ x^2 \ge \frac{1}{4} \quad \Rightarrow \quad x \in (-\infty; -\frac{1}{2}] \cup [\frac{1}{2}; +\infty) \]Из всех найденных корней подходят только $x = \pm\frac{1}{2}$ и $x = \frac{\log_2 6}{3}$.
Ответ пункта а):
\[ x = -\frac{1}{2}; \quad x = \frac{1}{2}; \quad x = \frac{\log_2 6}{3} \]Решение пункта б):
Все три корня лежат в $[-1; 1]$:
\[ -1 < -0.5 < 0 < \frac{\log_2 6}{3} < 1 < 2.9 \]Ответ пункта б):
\[ -0.5; \quad 0.5; \quad \frac{\log_2 6}{3} \]а) Решите уравнение
\[ \left( 2x^2 - 15x + 18 \right) \left( \sin x \cdot \sin \left( x - \frac{\pi}{2} \right) + 0.25 \right) = 0 \]б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \frac{\pi}{2}; 2\pi \right]$.
Решение пункта а):
Произведение равно нулю:
\[ \begin{cases} 2x^2 - 15x + 18 = 0 \\ \sin x \cdot \sin \left( x - \frac{\pi}{2} \right) + 0.25 = 0 \end{cases} \]Первое уравнение:
\[ 2x^2 - 15x + 18 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 144}}{4} = \frac{15 \pm 9}{4} \] \[ x_1 = 6, \quad x_2 = \frac{3}{2} \]Второе уравнение: Используем $\sin(x - \frac{\pi}{2}) = -\cos x$
\[ \sin x \cdot (-\cos x) + 0.25 = 0 \] \[ -\sin x \cos x = -0.25 \] \[ \sin x \cos x = 0.25 \]Используем $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$:
\[ \frac{\sin(2x)}{2} = 0.25 \quad \Rightarrow \quad \sin(2x) = 0.5 \]Решаем:
\[ 2x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \quad \text{или} \quad 2x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \] \[ x = \frac{\pi}{12} + \pi k \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{12} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]Ответ пункта а):
\[ x = \frac{3}{2}; \quad x = 6; \quad x = \frac{\pi}{12} + \pi k; \quad x = \frac{5\pi}{12} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]Решение пункта б):
Отберём корни на $[\frac{\pi}{2}; 2\pi]$:
• $x = \frac{3}{2} \approx 1.5$: $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$, поэтому $\frac{3}{2} < \frac{\pi}{2}$ ✗
• $x = 6$: $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$, $2\pi \approx 6.28$, поэтому $1.57 < 6 < 6.28$ ✓
• $x = \frac{\pi}{12} + \pi k$: при $k = 1$ получаем $x = \frac{13\pi}{12}$ ✓
• $x = \frac{5\pi}{12} + \pi k$: при $k = 1$ получаем $x = \frac{17\pi}{12}$ ✓
Ответ пункта б):
\[ \frac{13\pi}{12}; \quad \frac{17\pi}{12}; \quad 6 \]а) Решите уравнение
\[ \cos 2x - \sqrt{2}\cos\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) - 1 = 0 \]б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[\frac{3\pi}{2}; 3\pi\right]$.
Решение пункта а):
Используем формулу приведения $\cos\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = \sin x$:
\[ \cos 2x - \sqrt{2}\sin x - 1 = 0 \]Используем $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$:
\[ 1 - 2\sin^2 x - \sqrt{2}\sin x - 1 = 0 \] \[ -2\sin^2 x - \sqrt{2}\sin x = 0 \] \[ \sin x(-2\sin x - \sqrt{2}) = 0 \]Получаем совокупность:
\[ \begin{cases} \sin x = 0 \\ \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \end{cases} \]Решаем:
\[ \sin x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \] \[ \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \text{ или } x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]Ответ пункта а):
\[ x = \pi k; \quad x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k; \quad x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]Решение пункта б):
Отберём корни на $[\frac{3\pi}{2}; 3\pi]$:
• $x = \pi k$: при $k = 2$ получаем $x = 2\pi$ ✓
• $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$: при $k = 1$ получаем $x = \frac{7\pi}{4}$ ✓
• $x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k$: при $k = 2$ получаем $x = \frac{13\pi}{4} > 3\pi$ ✗
• При $k = 3$ получаем $x = 3\pi$ ✓
Ответ пункта б):
\[ \frac{7\pi}{4}; \quad 2\pi; \quad 3\pi \]Задача 13 ЕГЭ по профильной математике требует от вас:
Главный совет: не спешите. Пишите все преобразования четко, проверяйте условия (например, ОДЗ для логарифмов), и внимательно отбирайте корни.
Практикуйтесь на разных типах уравнений — со временем вы будете решать их автоматически, и на экзамене останется только аккуратно записать ответ.