Ключевые определения
Производная функции — это скорость изменения функции в каждой точке. Обозначается как \(y'\) или \(\frac{dy}{dx}\).
Геометрически: производная равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции.
Критическая точка — это точка, в которой производная равна нулю (\(y' = 0\)) или не существует.
Именно в критических точках функция может иметь максимумы или минимумы.
Точка максимума — это точка, где функция переходит с возрастания на убывание (\(\nearrow \to \searrow\)).
Точка минимума — это точка, где функция переходит с убывания на возрастание (\(\searrow \to \nearrow\)).
Промежутки монотонности — это интервалы, где функция либо возрастает, либо убывает.
Если \(y' > 0\) — функция возрастает; если \(y' < 0\) — функция убывает.
Основные формулы производных
Чтобы решить задачу, нужно уметь брать производные. Вот самые важные:
\[
(x^n)' = n \cdot x^{n-1}
\]
Примеры:
- \((x^3)' = 3x^2\)
- \((x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}\)
- \((5x)' = 5\)
\[
(\ln x)' = \frac{1}{x}
\]
\[
(e^x)' = e^x
\]
\[
(\sin x)' = \cos x, \quad (\cos x)' = -\sin x
\]
Правила дифференцирования
Сумма и разность:
\[
(u + v)' = u' + v'
\]
Произведение:
\[
(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'
\]
Частное:
\[
\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2}
\]
Сложная функция:
\[
(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)
\]
Алгоритм решения задачи номер 12
- Найти область определения функции. Проверьте, где функция имеет смысл (например, под логарифмом должно быть положительное число).
- Найти производную \(y'\). Используйте правила дифференцирования.
- Приравнять производную к нулю: \(y' = 0\). Решите это уравнение, чтобы найти критические точки.
- Определить знак производной на интервалах. Используйте метод интервалов: выберите пробные точки между критическими точками и проверьте знак \(y'\).
- Определить характер критических точек. Если \(y'\) меняет знак с «+» на «−», это максимум; с «−» на «+» — минимум.
- Если нужно найти наибольшее/наименьшее значение на отрезке: сравните значения функции в критических точках и на концах отрезка.
Простой пример с пошаговым решением
Задача: Найдите точку максимума функции \(y = -x^2 + 4x + 1\).
Шаг 1. Область определения: все действительные числа (это парабола).
Шаг 2. Находим производную:
\[
y' = (-x^2 + 4x + 1)' = -2x + 4
\]
Шаг 3. Приравниваем к нулю:
\[
-2x + 4 = 0 \implies x = 2
\]
Шаг 4. Проверяем знак производной:
- При \(x = 0\) (слева от 2): \(y' = -2(0) + 4 = 4 > 0\) → функция возрастает (\(\nearrow\))
- При \(x = 3\) (справа от 2): \(y' = -2(3) + 4 = -2 < 0\) → функция убывает (\(\searrow\))
Шаг 5. В точке \(x = 2\) функция переходит с возрастания на убывание (\(\nearrow \to \searrow\)), поэтому это точка максимума.
Ответ: \(x = 2\)
Пример 1: Кубическая функция с двумя критическими точками
Задача: Найдите точку максимума функции \(y = x^3 - 108x + 23\).
Решение
Шаг 1. Нахождение производной
\[
y' = (x^3 - 108x + 23)' = 3x^2 - 108
\]
Шаг 2. Нахождение критических точек
Приравниваем производную к нулю:
\[
3x^2 - 108 = 0
\]
\[
x^2 = 36
\]
\[
x = \pm 6
\]
Критические точки: \(x_1 = -6\) и \(x_2 = 6\).
Шаг 3. Определение характера критических точек
Переписываем производную: \(y' = 3(x - 6)(x + 6)\)
Анализируем знаки на интервалах:
| Интервал |
\((-\infty, -6)\) |
\((-6, 6)\) |
\((6, \infty)\) |
| Пробная точка |
\(x = -7\) |
\(x = 0\) |
\(x = 7\) |
| Знак \(y'\) |
\(+\) |
\(−\) |
\(+\) |
| Поведение |
\(\nearrow\) |
\(\searrow\) |
\(\nearrow\) |
В точке \(x = -6\): \(\nearrow \to \searrow\) → максимум
В точке \(x = 6\): \(\searrow \to \nearrow\) → минимум
Ответ: \(-6\)
Пример 2: Функция с логарифмом
Задача: Найдите точку максимума функции \(y = \ln(x - 7) - 2x - 3\).
Решение
Шаг 1. Область определения
Логарифм определен при \(x - 7 > 0\), то есть \(x > 7\).
Шаг 2. Нахождение производной
\[
y' = (\ln(x-7) - 2x - 3)' = \frac{1}{x-7} - 2
\]
Шаг 3. Нахождение критической точки
Приравниваем к нулю:
\[
\frac{1}{x-7} - 2 = 0
\]
\[
\frac{1}{x-7} = 2
\]
\[
1 = 2(x-7)
\]
\[
x = 7,5
\]
Точка \(x = 7,5\) входит в область определения \((7, +\infty)\).
Шаг 4. Проверка знака производной
Переписываем: \(y' = \frac{1 - 2(x-7)}{x-7} = \frac{15 - 2x}{x-7}\)
- При \(x = 7,2 < 7,5\): числитель \(15 - 14,4 = 0,6 > 0\), знаменатель \(> 0\) → \(y' > 0\) (\(\nearrow\))
- При \(x = 8 > 7,5\): числитель \(15 - 16 = -1 < 0\), знаменатель \(> 0\) → \(y' < 0\) (\(\searrow\))
В точке \(x = 7,5\): \(\nearrow \to \searrow\) → максимум
Ответ: \(7,5\)
Пример 3: Функция с корнем и поиск минимума
Задача: Найдите точку минимума функции \(y = x^{3/2} - 21x + 11\).
Решение
Шаг 1. Область определения
Функция \(y = x^{3/2}\) определена при \(x \ge 0\).
Шаг 2. Нахождение производной
\[
y' = \frac{3}{2}x^{1/2} - 21 = \frac{3}{2}\sqrt{x} - 21
\]
Шаг 3. Нахождение критической точки
\[
\frac{3}{2}\sqrt{x} - 21 = 0
\]
\[
\sqrt{x} = 14
\]
\[
x = 196
\]
Шаг 4. Проверка знака производной
- При \(x = 1\): \(y' = \frac{3}{2}(1) - 21 = -19,5 < 0\) (\(\searrow\))
- При \(x = 400\): \(y' = \frac{3}{2}(20) - 21 = 9 > 0\) (\(\nearrow\))
В точке \(x = 196\): \(\searrow \to \nearrow\) → минимум
Ответ: \(196\)
Пример 4: Поиск наименьшего значения на отрезке
Задача: Найдите наименьшее значение функции \(y = x\sqrt{x} - 9x + 25\) на отрезке \([1; 50]\).
Решение
Шаг 1. Переписываем функцию
\[
y = x^{3/2} - 9x + 25
\]
Шаг 2. Нахождение производной
\[
y' = \frac{3}{2}x^{1/2} - 9 = \frac{3}{2}\sqrt{x} - 9
\]
Шаг 3. Нахождение критической точки
\[
\frac{3}{2}\sqrt{x} - 9 = 0
\]
\[
\sqrt{x} = 6
\]
\[
x = 36
\]
Точка \(x = 36\) входит в отрезок \([1; 50]\).
Шаг 4. Определение типа критической точки
- При \(x = 4\): \(y' = \frac{3}{2}(2) - 9 = -6 < 0\) (\(\searrow\))
- При \(x = 49\): \(y' = \frac{3}{2}(7) - 9 = 1,5 > 0\) (\(\nearrow\))
В точке \(x = 36\): \(\searrow \to \nearrow\) → минимум
Шаг 5. Вычисляем значение функции в точке минимума
\[
y(36) = 36 \cdot 6 - 9 \cdot 36 + 25 = 216 - 324 + 25 = -83
\]
Проверим концы отрезка:
- \(y(1) = 1 - 9 + 25 = 17\)
- \(y(50) \approx 303\) (намного больше)
Ответ: \(-83\)