Пример 1: Линейная функция
Условие: На рисунке изображён график функции вида $f(x) = kx + b$. Найдите значение $f(6)$.
Решение
Прямая проходит через точки $(0, -1)$ и $(1, 1)$. Составим систему:
\[ \begin{cases} -1 = b \\ 1 = k + b \end{cases} \]Отсюда:
\[ b = -1, \quad k = 1 - (-1) = 2 \]Получаем функцию:
\[ f(x) = 2x - 1 \]Тогда:
\[ f(6) = 2 \cdot 6 - 1 = 11 \]Ответ: 11
Пример 2: Пересечение двух линейных функций
Условие: На рисунке изображены графики двух линейных функций, пересекающиеся в точке A. Найдите абсциссу точки A.
Решение
По графику видно, что точка пересечения имеет абсциссу (координату $x$) равную $x = 3$.
Ответ: 3
Пример 3: Квадратичная функция (парабола)
Условие: На рисунке изображён график функции $f(x) = ax^2 + bx + c$. Найдите значение $f(-3)$.
Решение
По графику видно, что парабола принимает значение $20$ в точке $x = -3$:
\[ f(-3) = 20 \]Ответ: 20
Пример 4: Гипербола
Условие: На рисунке изображён график функции вида $f(x) = \frac{k}{x}$. Найдите значение $f(30)$.
Решение
График проходит через точку $(10, 0{,}3)$. Тогда:
\[ 0{,}3 = \frac{k}{10} \quad \Rightarrow \quad k = 3 \]Функция:
\[ f(x) = \frac{3}{x} \]Тогда:
\[ f(30) = \frac{3}{30} = 0{,}1 \]Ответ: 0,1
Пример 5: Парабола и прямая
Условие: На рисунке изображены графики $f(x) = ax^2 + bx + c$ и $g(x) = kx$. Найдите абсциссу точки B.
Решение
Шаг 1: Из графика видно, что $f(0) = 0$, значит $c = 0$.
Шаг 2: Даны точки параболы: $f(4) = 0$ и $f(5) = 5$.
Шаг 3: Подставляем в $ax^2 + bx$:
\[ \begin{cases} 16a + 4b = 0 \\ 25a + 5b = 5 \end{cases} \]Шаг 4: Решаем систему. Из первого: $b = -4a$.
\[ 25a + 5(-4a) = 5 \] \[ 5a = 5 \quad \Rightarrow \quad a = 1, \quad b = -4 \]Значит:
\[ f(x) = x^2 - 4x \]Шаг 5: Для прямой используется точка $(1, 3)$:
\[ 3 = k \cdot 1 \quad \Rightarrow \quad k = 3 \]То есть:
\[ g(x) = 3x \]Шаг 6: Находим точки пересечения:
\[ x^2 - 4x = 3x \] \[ x^2 - 7x = 0 \] \[ x(x - 7) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{или} \quad x = 7 \]Точка $x = 0$ — это точка A. Значит, точка B имеет абсциссу $7$.
Ответ: 7