Задача номер 10 на ЕГЭ по профильной математике — это текстовые задачи, которые описывают реальные ситуации: движение, работу, процессы. Вам нужно перевести условие в уравнение и решить его. За эту задачу можно получить 1 балл.
Эти задачи требуют внимательного чтения, правильного составления уравнений и аккуратных вычислений. Они встречаются в жизни: расчёты времени в пути, производительность работников, скорость движения.
Текстовые задачи на ЕГЭ делятся на несколько групп:
Условие: Велосипедист проехал 60 км со скоростью $v$ км/ч, потом 40 км со скоростью $(v-5)$ км/ч. Всего он ехал 5 часов. Найдите $v$.
Шаг 1: Обозначим $v$ — скорость на первом участке (км/ч).
Тогда $(v-5)$ — скорость на втором участке (км/ч).
Шаг 2: Найдём время на каждом участке.
Время на первом участке: $t_1 = \frac{60}{v}$ часов.
Время на втором участке: $t_2 = \frac{40}{v-5}$ часов.
Шаг 3: Составим уравнение (общее время = 5 часов):
$\frac{60}{v} + \frac{40}{v-5} = 5$
Шаг 4: Умножим обе части на $v(v-5)$:
$60(v-5) + 40v = 5v(v-5)$
$60v - 300 + 40v = 5v^2 - 25v$
$100v - 300 = 5v^2 - 25v$
$0 = 5v^2 - 125v + 300$
$0 = v^2 - 25v + 60$
Шаг 5: Решаем квадратное уравнение через дискриминант:
$D = 625 - 240 = 385$
Корни не целые, но можно проверить: если $v = 20$, то $400 - 500 + 60 = -40 \neq 0$.
Если $v = 15$, то $225 - 375 + 60 = -90 \neq 0$.
Используем формулу: $v = \frac{25 \pm \sqrt{385}}{2} \approx \frac{25 \pm 19.6}{2}$
$v_1 \approx 22.3$ или $v_2 \approx 2.7$
Шаг 6: Проверяем: если $v \approx 22.3$, то $\frac{60}{22.3} + \frac{40}{17.3} \approx 2.69 + 2.31 = 5$. ✓
Если $v \approx 2.7$, то скорость на втором участке будет отрицательной — не подходит.
Ответ: примерно 22,3 км/ч (или точнее: $v = \frac{25 + \sqrt{385}}{2}$).
Задача:
Два велосипедиста отправились в 140-км пробег. Первый ехал на 4 км/ч быстрее второго и прибыл на 4 часа раньше. Найдите скорость первого велосипедиста.
Пусть $v_1$ — скорость первого велосипедиста (км/ч).
Тогда $v_2 = v_1 - 4$ — скорость второго (км/ч).
Время в пути первого: $t_1 = \frac{140}{v_1}$ часов.
Время в пути второго: $t_2 = \frac{140}{v_2} = \frac{140}{v_1 - 4}$ часов.
По условию первый приехал на 4 часа раньше:
$\frac{140}{v_1 - 4} - \frac{140}{v_1} = 4$
Разделим на 4:
$\frac{35}{v_1 - 4} - \frac{35}{v_1} = 1$
Приведём к общему знаменателю:
$\frac{35v_1 - 35(v_1 - 4)}{v_1(v_1 - 4)} = 1$
$\frac{35v_1 - 35v_1 + 140}{v_1(v_1 - 4)} = 1$
$\frac{140}{v_1(v_1 - 4)} = 1$
$140 = v_1^2 - 4v_1$
$v_1^2 - 4v_1 - 140 = 0$
Дискриминант:
$D = 16 + 560 = 576$
$\sqrt{D} = 24$
Корни:
$v_1 = \frac{4 + 24}{2} = 14$ км/ч
$v_1 = \frac{4 - 24}{2} = -10$ (не подходит, скорость положительна)
Ответ: 14 км/ч
Задача:
Автомобиль ехал 1 час со скоростью 115 км/ч, затем 3 часа со скоростью 45 км/ч, затем 2 часа со скоростью 40 км/ч. Найдите среднюю скорость.
Общее время:
$T = 1 + 3 + 2 = 6$ часов
Расстояния на каждом участке:
$S_1 = 115 \cdot 1 = 115$ км
$S_2 = 45 \cdot 3 = 135$ км
$S_3 = 40 \cdot 2 = 80$ км
Общее расстояние:
$S = 115 + 135 + 80 = 330$ км
Средняя скорость:
$\bar{v} = \frac{330}{6} = 55$ км/ч
Ответ: 55 км/ч
Задача:
Баржа прошла 264 км из пункта А в пункт В со скоростью $v$ км/ч. Обратно — со скоростью $(v+2)$ км/ч, сделав остановку 1 час. Время туда и обратно одинаково. Найдите скорость «туда».
Время в пути туда: $t_1 = \frac{264}{v}$ часов.
Время в пути обратно (без остановки): $t_2 = \frac{264}{v+2}$ часов.
Время обратно с остановкой: $t_2 + 1 = \frac{264}{v+2} + 1$ часов.
По условию времена равны:
$\frac{264}{v} = \frac{264}{v+2} + 1$
Перенесём:
$\frac{264}{v} - \frac{264}{v+2} = 1$
Приведём к общему знаменателю:
$\frac{264(v+2) - 264v}{v(v+2)} = 1$
$\frac{264 \cdot 2}{v(v+2)} = 1$
$\frac{528}{v(v+2)} = 1$
$528 = v^2 + 2v$
$v^2 + 2v - 528 = 0$
Дискриминант:
$D = 4 + 2112 = 2116$
$\sqrt{D} = 46$
Корни:
$v = \frac{-2 + 46}{2} = 22$ км/ч
$v = \frac{-2 - 46}{2} = -24$ (не подходит)
Ответ: 22 км/ч
Задача:
Лодка прошла 143 км против течения и вернулась, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Скорость течения 1 км/ч. Найдите скорость лодки в неподвижной воде.
Пусть $v$ — скорость лодки в неподвижной воде (км/ч).
Скорость против течения: $v - 1$ км/ч.
Скорость по течению: $v + 1$ км/ч.
Время против течения: $t_1 = \frac{143}{v - 1}$ часов.
Время по течению: $t_2 = \frac{143}{v + 1}$ часов.
По условию на обратный путь (по течению) ушло на 2 часа меньше:
$\frac{143}{v - 1} - \frac{143}{v + 1} = 2$
Разделим на 2:
$\frac{71.5}{v - 1} - \frac{71.5}{v + 1} = 1$
Приведём к общему знаменателю:
$\frac{71.5(v + 1) - 71.5(v - 1)}{(v - 1)(v + 1)} = 1$
$\frac{71.5 \cdot 2}{v^2 - 1} = 1$
$\frac{143}{v^2 - 1} = 1$
$143 = v^2 - 1$
$v^2 = 144$
$v = 12$ км/ч (берём положительный корень)
Ответ: 12 км/ч
Задача:
Первый мастер делает заказ за 40 часов, второй — за 24 часа. За сколько часов они выполнят заказ вместе?
Производительность первого мастера:
$P_1 = \frac{1}{40}$ (заказа в час)
Производительность второго мастера:
$P_2 = \frac{1}{24}$ (заказа в час)
Совместная производительность:
$P = P_1 + P_2 = \frac{1}{40} + \frac{1}{24}$
Найдём общий знаменатель (НОК 40 и 24 = 120):
$P = \frac{3}{120} + \frac{5}{120} = \frac{8}{120} = \frac{1}{15}$ (заказа в час)
Время выполнения заказа вместе:
$T = \frac{1}{P} = \frac{1}{\frac{1}{15}} = 15$ часов
Ответ: 15 часов
Задача номер 10 требует внимательного чтения условия и правильного составления уравнений. Главное — правильно обозначить неизвестное и использовать нужные формулы (расстояние, время, производительность).
Ключевые шаги:
Практикуйтесь! Решение текстовых задач — это навык, который развивается с опытом. Каждая задача немного отличается, но схема решения всегда похожа.