Задачи номер 1 в ЕГЭ по профильной математике — это геометрические задачи про углы и площади. Здесь вас попросят найти угол в треугольнике, высоту, площадь фигуры или использовать тригонометрию.
За правильное решение вы получите 1 балл. Это одна из самых доступных задач экзамена, если вы знаете основные свойства фигур и формулы.
Не пугайтесь! В этой статье мы разберём все основные типы задач и покажем, как их решать пошагово.
Внешний угол треугольника: Это угол, который образуется продолжением одной из сторон треугольника. Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
Биссектриса: Линия, которая делит угол пополам.
Высота: Перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к противоположной стороне (или её продолжению).
Синус угла в прямоугольном треугольнике:
$\sin A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$
Площадь треугольника:
\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h \] где $a$ — сторона, $h$ — высота к этой стороне.Площадь параллелограмма:
\[ S = a \cdot h \] где $a$ — сторона, $h$ — высота к этой стороне.В прямоугольном треугольнике с катетами $a$ и $b$ и гипотенузой $c$:
\[ c^2 = a^2 + b^2 \]Шаг 1: Внимательно прочитайте условие и определите, что дано и что нужно найти.
Шаг 2: Определите тип задачи (углы, площадь, тригонометрия и т.д.).
Шаг 3: Выберите подходящую формулу или свойство.
Шаг 4: Подставьте известные значения и вычислите ответ.
Шаг 5: Проверьте ответ на разумность (например, углы не должны быть отрицательными).
Условие: В треугольнике $ABC$ стороны $AC$ и $BC$ равны (равнобедренный треугольник), $\angle C = 168°$. Найдите внешний угол $\angle CBD$.
Шаг 1: Так как треугольник равнобедренный с равными сторонами $AC$ и $BC$, то углы при основании равны: $\angle BAC = \angle ABC$.
Шаг 2: Используем свойство суммы углов треугольника:
\[ \angle ABC + \angle BAC + \angle BCA = 180° \]Шаг 3: Подставляем известные значения:
\[ 2\angle ABC + 168° = 180° \]Шаг 4: Решаем уравнение:
\[ 2\angle ABC = 12° \] \[ \angle ABC = 6° \]Шаг 5: Внешний угол $\angle CBD$ — это угол, смежный с $\angle ABC$. Смежные углы в сумме дают $180°$:
\[ \angle CBD = 180° - \angle ABC = 180° - 6° = 174° \]Ответ: $\angle CBD = 174°$
Условие: В треугольнике $ABC$ стороны $AC$ и $BC$ равны, $\angle C = 168°$, угол $CBD$ — внешний. Найдите $\angle CBD$.
Так как $\triangle ABC$ равнобедренный, то $\angle BAC = \angle ABC$.
Используем свойство суммы углов:
\[ 180° = \angle ABC + \angle BAC + \angle BCA \] \[ 180° = 2\angle ABC + 168° \] \[ 2\angle ABC = 12° \] \[ \angle ABC = 6° \]Внешний угол равен:
\[ \angle CBD = 180° - \angle ABC = 174° \]Ответ: $174°$
Условие: Острый угол $B$ прямоугольного $\triangle ABC$ равен $25°$. Найдите угол между высотой $CH$ и биссектрисой $CD$.
Высота $CH$ перпендикулярна стороне $AB$, то есть $CH \perp AB$.
В треугольнике $CBH$ (прямоугольном):
\[ \angle BCH + \angle HBC = 90° \] \[ \angle BCH = 90° - 25° = 65° \]Биссектриса $CD$ делит прямой угол $\angle ACB = 90°$ пополам:
\[ \angle ACD = \angle BCD = 45° \]Угол между высотой и биссектрисой:
\[ \angle HCD = \angle BCH - \angle BCD = 65° - 45° = 20° \]Ответ: $20°$
Условие: В $\triangle ABC$, $\angle C = 90°$, $AB = 10$, $AC = \sqrt{51}$. Найдите $\sin A$.
В прямоугольном треугольнике синус угла $A$ равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:
\[ \sin A = \frac{BC}{AB} \]Используем теорему Пифагора для нахождения $BC$:
\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \] \[ 100 = 51 + BC^2 \] \[ BC = \sqrt{49} = 7 \]Вычисляем синус:
\[ \sin A = \frac{7}{10} = 0{,}7 \]Ответ: $0{,}7$
Условие: Стороны треугольника равны $21$ и $28$. Высота к стороне $28$ равна $15$. Найдите высоту к стороне $21$.
Площадь треугольника можно вычислить двумя способами (через разные стороны и высоты):
\[ S = \frac{1}{2} a_1 h_1 = \frac{1}{2} a_2 h_2 \]Подставляем известные значения:
\[ \frac{1}{2} \cdot 21 \cdot h_1 = \frac{1}{2} \cdot 28 \cdot 15 \]Сокращаем на $\frac{1}{2}$:
\[ 21 \cdot h_1 = 28 \cdot 15 \] \[ h_1 = \frac{28 \cdot 15}{21} = \frac{420}{21} = 20 \]Ответ: $20$
Условие: Площадь параллелограмма $ABCD = 60$. Точка $E$ — середина стороны $AD$. Найдите площадь $\triangle ABE$.
Площадь треугольника $ABE$ с основанием $AE$ и высотой $h$ (общей с параллелограммом):
\[ S_{ABE} = \frac{1}{2} AE \cdot h \]Площадь параллелограмма:
\[ S_{ABCD} = AD \cdot h = 2AE \cdot h \] (потому что $E$ — середина $AD$, то есть $AD = 2AE$)Найдём отношение площадей:
\[ \frac{S_{ABE}}{S_{ABCD}} = \frac{\frac{1}{2} AE \cdot h}{2AE \cdot h} = \frac{1}{4} \]Вычисляем площадь треугольника:
\[ S_{ABE} = \frac{1}{4} \cdot 60 = 15 \]Ответ: $15$
Задачи номер 1 в ЕГЭ по базовой математике требуют знания основных свойств треугольников, формул площадей и простой тригонометрии. Главное — внимательно читать условие, определить тип задачи и применить правильную формулу.
Ключевые моменты:
Практикуйтесь на примерах, и вы легко справитесь с этой задачей на экзамене!
Элементы треугольника (сторона, угол, высота, медиана, биссектриса)
Свойства углов треугольника
Виды треугольников
Прямоугольный треугольник: Теорема Пифагора
Прямоугольный треугольник: Тригонометрия
Площадь треугольника
Площадь параллелограмма
Признаки равенства треугольников
Неравенство треугольника
Теорема синусов
Теорема косинусов