Задача Номер 8

Пример 1: Сравнение весов животных

Максимальный балл: 1

Условие:

При взвешивании животных в зоопарке выяснилось, что жираф тяжелее верблюда, верблюд тяжелее тигра, а леопард легче верблюда.

Выберите все верные утверждения:

1) Леопард тяжелее верблюда.

2) Жираф тяжелее леопарда.

3) Жираф легче тигра.

4) Жираф самый тяжёлый из всех этих животных.

Решение:

Шаг 1: Обозначим вес каждого животного переменной. Пусть Ж — вес жирафа, В — вес верблюда, Т — вес тигра, Л — вес леопарда.

Шаг 2: Запишем условия в виде неравенств:

• Жираф тяжелее верблюда: \( Ж > В \)

• Верблюд тяжелее тигра: \( В > Т \)

• Леопард легче верблюда: \( Л < В \)

Шаг 3: Проверим утверждение 1: «Леопард тяжелее верблюда» означает \( Л > В \). Но из условия \( Л < В \). Утверждение неверно. ✗

Шаг 4: Проверим утверждение 2: «Жираф тяжелее леопарда». Мы знаем \( Ж > В \) и \( Л < В \), значит \( В > Л \). По транзитивности: \( Ж > В > Л \), следовательно \( Ж > Л \). Утверждение верно. ✓

Шаг 5: Проверим утверждение 3: «Жираф легче тигра» означает \( Ж < Т \). Но \( Ж > В > Т \), значит \( Ж > Т \). Утверждение неверно. ✗

Шаг 6: Проверим утверждение 4: «Жираф самый тяжёлый». Из \( Ж > В \), \( В > Т \) и \( В > Л \) следует, что жираф тяжелее всех остальных. Утверждение верно. ✓

Ответ: 24

Пример 2: Множества и пересечения

Максимальный балл: 1

Условие:

Некоторые учащиеся 11-х классов ходили в октябре на спектакль «Вишнёвый сад». В декабре некоторые одиннадцатиклассники пойдут на постановку по пьесе «Три сестры», причём среди них не будет тех, кто ходил на спектакль «Вишнёвый сад».

Выберите верные утверждения:

1) Нет ни одного одиннадцатиклассника, который ходил на спектакль «Вишнёвый сад» и пойдёт на постановку по пьесе «Три сестры».

2) Каждый учащийся 11-х классов, который не был на спектакле «Вишнёвый сад», пойдёт на постановку по пьесе «Три сестры».

3) Среди учащихся 11-х классов, которые не пойдут на постановку по пьесе «Три сестры», есть хотя бы один, который ходил на спектакль «Вишнёвый сад».

4) Найдётся одиннадцатиклассник, который не ходил на спектакль «Вишнёвый сад» и не пойдёт на постановку по пьесе «Три сестры».

Решение:

Шаг 1: Обозначим множества. Пусть A — множество учащихся, ходивших на «Вишнёвый сад», B — множество учащихся, пойдущих на «Три сестры». Из условия: \( A \neq \emptyset \), \( B \neq \emptyset \) и \( A \cap B = \emptyset \) (нет пересечения).

Шаг 2: Утверждение 1: «Нет пересечения между A и B». Это верно по условию. ✓

Шаг 3: Утверждение 2: «Каждый, кто не был на Вишнёвом саде, пойдёт на Три сестры». Это означает \( A^c \subseteq B \). Условие этого не гарантирует. Неверно. ✗

Шаг 4: Утверждение 3: «Среди не идущих на Три сестры есть хотя бы один из A». Это означает \( A \cap B^c \neq \emptyset \). Поскольку \( A \cap B = \emptyset \), все элементы A не входят в B, значит, входят в \( B^c \). Так как \( A \neq \emptyset \), утверждение верно. ✓

Шаг 5: Утверждение 4: «Найдётся тот, кто не был на Вишнёвом и не пойдёт на Три сестры». Это означает \( A^c \cap B^c \neq \emptyset \). Условие не гарантирует, что все учащиеся посетили хотя бы одно мероприятие. Неверно. ✗

Ответ: 13

Пример 3: Логическое следствие (импликация)

Максимальный балл: 1

Условие:

Некоторые сотрудники фирмы летом 2014 года отдыхали на даче, а некоторые — на море. Все сотрудники, которые не отдыхали на море, отдыхали на даче.

Выберите верные утверждения:

1) Каждый сотрудник отдыхал летом на даче, на море или и там, и там.

2) Сотрудник, который не отдыхал на море, не отдыхал и на даче.

3) Если Фаина не отдыхала ни на даче, ни на море, то она является сотрудником этой фирмы.

4) Если сотрудник не отдыхал на море летом 2014 года, то он отдыхал на даче.

Решение:

Условие в виде импликации: Для сотрудников верно: «не был на море ⇒ был на даче».

Шаг 1: Утверждение 1: «Каждый сотрудник был где-то». Из условия «не море ⇒ дача» следует, что сотрудник не может быть ни на даче, ни на море. Значит, каждый был либо на даче, либо на море (или на обоих). Верно. ✓

Шаг 2: Утверждение 2: «Если не на море, то не на даче». Это противоположно условию. Неверно. ✗

Шаг 3: Утверждение 3: «Если Фаина не отдыхала нигде, то она сотрудник». Условие ничего не говорит о людях вне фирмы. Фаина может быть не сотрудником. Неверно. ✗

Шаг 4: Утверждение 4: «Если сотрудник не был на море, то был на даче». Это дословно условие. Верно. ✓

Ответ: 14

Пример 4: Сравнение высот и выводы

Максимальный балл: 1

Условие:

Во дворе школы растут всего три дерева: берёза, клён и дуб. Берёза выше клёна на 1 метр, но ниже дуба на 3 метра.

Выберите верные утверждения:

1) Среди указанных деревьев не найдётся двух одной высоты.

2) Берёза выше дуба.

3) Любое дерево, которое ниже берёзы, также ниже клёна.

4) Любое дерево, которое ниже клёна, также ниже берёзы.

Решение:

Шаг 1: Обозначим высоту клёна как \( k \). Тогда:

• Высота берёзы: \( b = k + 1 \)

• Высота дуба: \( d = b + 3 = k + 4 \)

Шаг 2: Порядок по высоте: \( k < k+1 < k+4 \), то есть клён < берёза < дуб.

Шаг 3: Утверждение 1: Все высоты различны. Верно. ✓

Шаг 4: Утверждение 2: Берёза выше дуба. Но \( k+1 < k+4 \), значит, берёза ниже дуба. Неверно. ✗

Шаг 5: Утверждение 3: Если дерево ниже берёзы (высота < \( k+1 \)), то оно ниже клёна (высота < \( k \)). Это не следует. Например, дерево высотой \( k+0.5 \) ниже берёзы, но выше клёна. Неверно. ✗

Шаг 6: Утверждение 4: Если дерево ниже клёна (высота < \( k \)), то оно ниже берёзы (высота < \( k+1 \)). Верно, так как \( k < k+1 \). ✓

Ответ: 14

Пример 5: Множества растений

Максимальный балл: 1

Условие:

Среди дачников в посёлке есть те, кто выращивает виноград, и есть те, кто выращивает груши. А также есть те, кто не выращивает ни виноград, ни груши. Некоторые дачники, выращивающие виноград, также выращивают и груши.

Выберите верные утверждения:

1) Если дачник не выращивает виноград, то он выращивает груши.

2) Среди тех, кто выращивает виноград, есть дачники из этого посёлка.

3) Есть хотя бы один дачник, который выращивает и груши, и виноград.

4) Если дачник выращивает виноград, то он не выращивает груши.

Решение:

Шаг 1: Из условия: есть дачники только с виноградом, только с грушами, с обоими, и без обоих.

Шаг 2: Утверждение 1: «Если не виноград, то груши». Неверно — есть дачники без обоих. ✗

Шаг 3: Утверждение 2: «Среди выращивающих виноград есть дачники». Верно — это дано в условии. ✓

Шаг 4: Утверждение 3: «Есть дачник с обоими культурами». Верно — условие говорит «некоторые, выращивающие виноград, также выращивают груши». ✓

Шаг 5: Утверждение 4: «Если виноград, то не груши». Неверно — некоторые выращивают оба. ✗

Ответ: 23