Пример 1: Соответствие функций и характеристик
Задача:
Установите соответствие между функциями и характеристиками этих функций на отрезке \( [1; 5] \).
| Функции | Характеристики | ||
|---|---|---|---|
| А) | \( y = 2x^2 - 7x + 7 \) | 1) | функция принимает отрицательное значение в каждой точке отрезка |
| Б) | \( y = 4x - 6 \) | 2) | функция возрастает на отрезке \( [1; 5] \) |
| В) | \( y = -3x + 6 \) | 3) | функция принимает положительное значение в каждой точке отрезка |
| Г) | \( y = -x^2 + 4x - 5 \) | 4) | функция убывает на отрезке \( [1; 5] \) |
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В | Г |
|---|---|---|---|
Решение:
Шаг 1: Функция А) \( y = 2x^2 - 7x + 7 \)
Это квадратичная функция. Коэффициент при \( x^2 \) равен 2 > 0, значит ветви направлены вверх.
Найдём вершину: \( x_{\text{верш}} = \frac{7}{4} = 1.75 \).
Значение в вершине: \( y(1.75) = 2(1.75)^2 - 7(1.75) + 7 = 0.875 > 0 \).
На отрезке \( [1; 5] \) функция принимает только положительные значения.
→ Характеристика 3).
Шаг 2: Функция Б) \( y = 4x - 6 \)
Линейная функция. Коэффициент при \( x \) равен 4 > 0, поэтому функция возрастает.
→ Характеристика 2).
Шаг 3: Функция В) \( y = -3x + 6 \)
Линейная функция. Коэффициент при \( x \) равен -3 < 0, поэтому функция убывает.
→ Характеристика 4).
Шаг 4: Функция Г) \( y = -x^2 + 4x - 5 \)
Квадратичная функция. Коэффициент при \( x^2 \) равен -1 < 0, ветви направлены вниз.
Вершина: \( x_{\text{верш}} = 2 \), \( y(2) = -4 + 8 - 5 = -1 < 0 \).
Максимальное значение на отрезке — это -1, то есть функция всегда отрицательна.
→ Характеристика 1).
Ответ:
| А | Б | В | Г |
|---|---|---|---|
| 3 | 2 | 4 | 1 |
Пример 2: Соответствие периодов и характеристик температуры
Задача:
На рисунке точками показана среднесуточная температура воздуха в Москве в январе 2011 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — температура в градусах Цельсия.
Пользуясь рисунком, поставьте в соответствие каждому из указанных периодов времени характеристику изменения температуры.
| Периоды времени | Характеристики | ||
|---|---|---|---|
| А) | 1–7 января | 1) | среднесуточная температура не поднималась выше -7 градусов |
| Б) | 8–14 января | 2) | в конце периода среднесуточная температура не менялась |
| В) | 15–21 января | 3) | среднесуточная температура достигла месячного минимума |
| Г) | 22–28 января | 4) | среднесуточная температура достигла месячного максимума |
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В | Г |
|---|---|---|---|
Решение:
Шаг 1: Период 1–7 января
Смотрим на графике: в этот период температура не превышает -7 градусов.
Это самый холодный период в начале месяца.
→ Характеристика 1).
Шаг 2: Период 8–14 января
На графике видно, что температура повышается и достигает наибольшего значения за месяц
примерно 9 января.
→ Характеристика 4).
Шаг 3: Период 15–21 января
Температура падает и достигает наименьшего значения за месяц примерно 19 января.
→ Характеристика 3).
Шаг 4: Период 22–28 января
В конце периода (примерно 27–28 января) график становится горизонтальным,
то есть температура не меняется.
→ Характеристика 2).
Ответ:
| А | Б | В | Г |
|---|---|---|---|
| 1 | 4 | 3 | 2 |
Пример 3: Соответствие точек и характеристик функции и производной
Задача:
На рисунке изображён график функции \( y = f(x) \) и отмечены точки A, B, C и D на оси Ox. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке характеристики функции и её производной.
| Точки | Характеристики | ||
|---|---|---|---|
| A | 1) | значение производной функции положительно, а значение функции отрицательно | |
| B | 2) | значение функции отрицательно, а значение производной функции равно 0 | |
| C | 3) | значение производной функции отрицательно, а значение функции равно 0 | |
| D | 4) | значение функции положительно, а значение производной функции отрицательно | |
В таблице для каждой точки укажите номер соответствующей характеристики.
| A | B | C | D |
|---|---|---|---|
Решение:
Шаг 1: Точка A
На графике видно, что в точке A функция пересекает ось Ox (значит, \( f(A) = 0 \)),
а график убывает (значит, \( f'(A) < 0 \)).
→ Характеристика 3).
Шаг 2: Точка B
В точке B график достигает минимума (самая нижняя точка), поэтому \( f'(B) = 0 \).
Точка находится ниже оси Ox, значит \( f(B) < 0 \).
→ Характеристика 2).
Шаг 3: Точка C
В точке C функция пересекает ось Ox (значит, \( f(C) = 0 \)),
а график возрастает (значит, \( f'(C) > 0 \)).
Но в списке характеристик нет такой. Проверим ещё раз...
Если график в точке C пересекает ось и возрастает, то это не совпадает ни с одной характеристикой.
Пересчитаем: в точке C функция может быть положительной, график убывает → \( f(C) > 0 \), \( f'(C) < 0 \).
Это характеристика 4). Но это для точки D.
Вернёмся: точка C — график убывает, функция пересекает ось.
Если это точка пересечения при убывании, то \( f(C) = 0 \) и \( f'(C) < 0 \).
Это характеристика 3)? Нет, там сказано, что производная отрицательна, а функция равна 0.
Это совпадает! Но мы уже отнесли 3) к точке A.
Переанализируем график внимательнее. Пусть точки идут слева направо: A, B, C, D.
A — функция пересекает ось, убывает → \( f(A) = 0 \), \( f'(A) < 0 \) → 3).
B — минимум ниже оси → \( f(B) < 0 \), \( f'(B) = 0 \) → 2).
C — функция пересекает ось, начинает возрастать → \( f(C) = 0 \), \( f'(C) > 0 \).
Но такой характеристики нет! Может быть, точка C находится выше оси и график возрастает?
Тогда \( f(C) > 0 \), \( f'(C) > 0 \). Но такой характеристики тоже нет.
Предположим, что в точке C функция отрицательна, но график уже начинает возрастать:
\( f(C) < 0 \), \( f'(C) > 0 \) → 1).
Шаг 4: Точка D
В точке D функция положительна (график выше оси), а график убывает (функция снижается).
Значит, \( f(D) > 0 \), \( f'(D) < 0 \).
→ Характеристика 4).
Ответ:
| A | B | C | D |
|---|---|---|---|
| 3 | 2 | 1 | 4 |
Пример 4: Соответствие графиков функций и их производных
Задача:
Установите соответствие между графиками линейных функций и графиками их производных.
Графики функций (А, Б, В, Г) и графики производных (1, 2, 3, 4) даны на рисунке.
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В | Г |
|---|---|---|---|
Решение:
Для линейной функции \( y = kx + b \) производная всегда постоянна: \( y' = k \). На рисунке производные — это горизонтальные линии.
Чем больше угол наклона прямой (круче вверх), тем больше коэффициент \( k \), и тем выше располагается горизонтальная линия производной.
Чем отрицательнее угол наклона (круче вниз), тем меньше коэффициент \( k \) (более отрицательный), и тем ниже располагается горизонтальная линия производной.
Шаг 1: График А
Это прямая с наибольшим положительным наклоном (самая крутая вверх).
Её производная — это самая высокая горизонтальная линия выше оси Ox.
→ Производная 2).
Шаг 2: График Б
Это прямая с положительным наклоном, но менее крутая, чем А.
Её производная — это положительная, но более низкая горизонталь.
→ Производная 4).
Шаг 3: График В
Это прямая с небольшим отрицательным наклоном.
Её производная — это горизонтальная линия чуть ниже оси Ox.
→ Производная 3).
Шаг 4: График Г
Это прямая с наибольшим отрицательным наклоном (самая крутая вниз).
Её производная — это самая низкая горизонтальная линия ниже оси Ox.
→ Производная 1).
Ответ:
| А | Б | В | Г |
|---|---|---|---|
| 2 | 4 | 3 | 1 |
Пример 5: Анализ функции и производной по точкам графика
Задача:
На рисунке изображён график функции \( y = f(x) \) и отмечены точки A, B, C и D на оси Ox. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке характеристики функции и её производной.
| Точки | Характеристики функции и производной | ||
|---|---|---|---|
| A | 1) | значение функции в точке отрицательно, и значение производной функции в точке отрицательно | |
| B | 2) | значение функции в точке положительно, и значение производной функции в точке положительно | |
| C | 3) | значение функции в точке отрицательно, а значение производной функции в точке положительно | |
| D | 4) | значение функции в точке положительно, а значение производной функции в точке отрицательно | |
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| A | B | C | D |
|---|---|---|---|
Решение (пошагово):
Для каждой точки определяем два признака:
- Где находится точка: выше оси Ox (функция > 0) или ниже (функция < 0)?
- Как идёт график: вверх (производная > 0) или вниз (производная < 0)?
Шаг 1: Точка A
Точка расположена выше оси Ox, значит \( f(A) > 0 \).
Кривая в этой точке идёт вниз (убывает), значит \( f'(A) < 0 \).
→ Характеристика 4).
Шаг 2: Точка B
Точка расположена ниже оси Ox, значит \( f(B) < 0 \).
Кривая продолжает убывать, значит \( f'(B) < 0 \).
→ Характеристика 1).
Шаг 3: Точка C
Точка расположена ниже оси Ox, значит \( f(C) < 0 \).
Кривая уже возрастает (идёт вверх) после минимума, значит \( f'(C) > 0 \).
→ Характеристика 3).
Шаг 4: Точка D
Точка расположена выше оси Ox, значит \( f(D) > 0 \).
Кривая возрастает, значит \( f'(D) > 0 \).
→ Характеристика 2).
Ответ:
| A | B | C | D |
|---|---|---|---|
| 4 | 1 | 3 | 2 |
Пример 6: Соответствие интервалов и характеристик функции
Задача:
На рисунке изображён график функции \( y = f(x) \). Числа \( a, b, c, d \) и \( e \) задают на оси Ox интервалы. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу характеристику функции или её производной.
| Интервалы | Характеристики | ||
|---|---|---|---|
| А) | \( (a; b) \) | 1) | функция принимает как положительные, так и отрицательные значения |
| Б) | \( (b; c) \) | 2) | значение функции отрицательно в каждой точке интервала |
| В) | \( (c; d) \) | 3) | значение производной функции отрицательно в каждой точке интервала |
| Г) | \( (d; e) \) | 4) | значение функции и её производной положительны в каждой точке интервала |
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В | Г |
|---|---|---|---|
Решение (пошагово):
Для каждого интервала смотрим:
- Где расположен график: выше, ниже или пересекает ось Ox?
- Как меняется график: возрастает или убывает?
Шаг 1: Интервал \( (a; b) \)
На всём интервале график расположен выше оси Ox и возрастает.
Следовательно, \( f(x) > 0 \) и \( f'(x) > 0 \) для всех \( x \in (a; b) \).
→ Характеристика 4).
Шаг 2: Интервал \( (b; c) \)
От \( b \) к \( c \) функция монотонно убывает, оставаясь выше оси Ox.
Значит, \( f'(x) < 0 \) на всём интервале.
→ Характеристика 3).
Шаг 3: Интервал \( (c; d) \)
Между \( c \) и \( d \) график сначала находится выше оси Ox, затем пересекает её,
а потом опускается ниже.
Значит, функция принимает как положительные, так и отрицательные значения.
→ Характеристика 1).
Шаг 4: Интервал \( (d; e) \)
Здесь график целиком ниже оси Ox (нет пересечений с осью внутри интервала).
Значит, \( f(x) < 0 \) во всех точках интервала.
→ Характеристика 2).
Ответ:
| А | Б | В | Г |
|---|---|---|---|
| 4 | 3 | 1 | 2 |