Задачи номер 5 на ЕГЭ по Базовой Математике — это задачи на вероятность.
Они проверяют, умеете ли вы считать вероятность простых событий, используя основную формулу.
За правильное решение этой задачи вы получите 1 балл.
Это простая, но важная задача, которая требует аккуратности и понимания основного принципа.
Что такое вероятность?
Вероятность — это число, которое показывает, насколько вероятно, что произойдёт какое-то событие.
Вероятность всегда находится между 0 и 1 (или между 0% и 100%).
Если вероятность равна 0, событие точно не произойдёт. Если вероятность равна 1, событие точно произойдёт.
Основная формула вероятности:
Если все исходы равновозможны, то вероятность события вычисляется так:
\[
P(\text{событие}) = \frac{\text{Количество благоприятных исходов}}{\text{Общее количество возможных исходов}}
\]
Благоприятные исходы — это те результаты, которые нас интересуют (то, что произойдёт в событии).
Все возможные исходы — это все результаты, которые могут произойти.
Несовместные события — это события, которые не могут произойти одновременно.
Для несовместных событий \(A\) и \(B\) справедливо: \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\)
Алгоритм решения задачи номер 5:
Шаг 1. Прочитайте задачу и определите, какое событие нас интересует.
Шаг 2. Найдите общее количество всех возможных исходов.
Шаг 3. Найдите количество благоприятных исходов (тех, которые нас интересуют).
Шаг 4. Подставьте числа в формулу: \(P = \frac{\text{благоприятные}}{\text{все возможные}}\)
Шаг 5. Упростите дробь (если нужно) и переведите в десятичную форму.
Пример с подробным решением:
Задача: В коробке лежат 8 синих шаров и 2 красных. Вы вытягиваете один шар случайно.
Какова вероятность, что это будет красный шар?
Решение:
Шаг 1: Событие — вытянуть красный шар.
Шаг 2: Общее количество шаров:
Всего шаров = 8 синих + 2 красных = 10 шаров
Шаг 3: Количество красных шаров (благоприятные исходы):
Красных шаров = 2
Шаг 4: Подставим в формулу:
\[
P(\text{красный}) = \frac{2}{10}
\]
Шаг 5: Упростим дробь:
\[
\frac{2}{10} = \frac{1}{5}
\]
Переведём в десятичную форму:
\[
\frac{1}{5} = 0{,}2
\]
Ответ: 0,2
Мини-словарик:
• Исход — возможный результат события
• Благоприятный исход — результат, который нас интересует
• Несовместные события — события, которые не могут произойти вместе
• Десятичная дробь — дробь с запятой (например, 0,5)
• Обыкновенная дробь — дробь с числителем и знаменателем (например, \(\frac{1}{2}\))
Задача:
В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 16 из Великобритании, 21 из Франции,
остальные — из Германии. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием.
Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Германии.
Решение:
Шаг 1: Определим общее количество спортсменок.
Всего спортсменок: \(N = 50\)
Шаг 2: Определим количество спортсменок из Великобритании и Франции.
Спортсменок из Великобритании: \(N_{GB} = 16\)
Спортсменок из Франции: \(N_{FR} = 21\)
Шаг 3: Найдем количество спортсменок из Германии.
\[
N_{DE} = N - N_{GB} - N_{FR} = 50 - 16 - 21 = 13
\]
Шаг 4: Определим вероятность.
\[
P(\text{Германия}) = \frac{N_{DE}}{N} = \frac{13}{50}
\]
Шаг 5: Переведем в десятичный вид.
\[
\frac{13}{50} = \frac{26}{100} = 0{,}26
\]
Ответ: 0,26
Задача:
На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов.
Вероятность того, что это вопрос по теме «Тригонометрия», равна 0,2.
Вероятность того, что это вопрос по теме «Внешние углы», равна 0,15.
Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет.
Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
Решение:
Шаг 1: Обозначим события.
Пусть \(A\) — событие, что достанется вопрос по «Тригонометрии».
Пусть \(B\) — событие, что достанется вопрос по «Внешним углам».
Шаг 2: Запишем известные вероятности.
\(P(A) = 0{,}2\)
\(P(B) = 0{,}15\)
Шаг 3: Учтем условие об отсутствии общих вопросов.
События \(A\) и \(B\) несовместны (не могут произойти одновременно), поэтому:
\(P(A \cap B) = 0\)
Шаг 4: Найдем вероятность события \(A \cup B\) (вопрос по одной из двух тем).
Для несовместных событий:
\[
P(A \cup B) = P(A) + P(B) = 0{,}2 + 0{,}15 = 0{,}35
\]
Ответ: 0,35
Задача:
В чемпионате по гимнастике участвуют 55 спортсменок: 22 из Аргентины, 22 из Бразилии,
остальные — из Парагвая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием.
Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Парагвая.
Решение:
Шаг 1: Определим общее количество спортсменок.
Всего спортсменок: 55
Шаг 2: Найдем количество спортсменок из Парагвая.
\[
N_{Парагвай} = 55 - 22 - 22 = 11
\]
Шаг 3: Вычислим вероятность.
\[
P(\text{Парагвай}) = \frac{11}{55}
\]
Шаг 4: Упростим дробь.
Найдём наибольший общий делитель 11 и 55. Это число 11.
\[
\frac{11}{55} = \frac{11 \div 11}{55 \div 11} = \frac{1}{5}
\]
Шаг 5: Переведем в десятичный вид.
\[
\frac{1}{5} = 0{,}2
\]
Ответ: 0,2
Задача:
В сборнике билетов по биологии всего 20 билетов, в 17 из них встречается вопрос по теме «Ботаника».
Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется
вопрос по теме «Ботаника».
Решение:
Шаг 1: Определим общее количество исходов.
Всего билетов: \(N = 20\)
Шаг 2: Определим количество благоприятных исходов.
Билетов с вопросом по «Ботанике»: \(M = 17\)
Шаг 3: Найдем вероятность.
\[
P(\text{Ботаника}) = \frac{M}{N} = \frac{17}{20}
\]
Шаг 4: Переведем в десятичную форму.
Умножим числитель и знаменатель на 5:
\[
\frac{17}{20} = \frac{17 \times 5}{20 \times 5} = \frac{85}{100} = 0{,}85
\]
Ответ: 0,85
Задача:
В фирме такси в наличии 25 легковых автомобилей: 10 из них чёрного цвета с жёлтыми надписями на боках,
остальные — жёлтого цвета с чёрными надписями.
Найдите вероятность того, что на случайный вызов приедет машина жёлтого цвета с чёрными надписями.
Решение:
Шаг 1: Определим общее количество автомобилей.
Всего автомобилей: 25
Шаг 2: Определим количество жёлтых машин.
Жёлтых машин: \(25 - 10 = 15\)
Шаг 3: Найдем вероятность.
\[
P(\text{жёлтая машина}) = \frac{15}{25}
\]
Шаг 4: Упростим дробь.
\[
\frac{15}{25} = \frac{3 \times 5}{5 \times 5} = \frac{3}{5}
\]
Шаг 5: Переведем в десятичный вид.
\[
\frac{3}{5} = 0{,}6
\]
Ответ: 0,6
Задача:
В ящике находятся чёрные и белые шары, причём чёрных в 4 раза больше, чем белых.
Из ящика случайным образом достали один шар.
Найдите вероятность того, что он будет белым.
Решение:
Шаг 1: Обозначим количество белых шаров как \(x\).
Шаг 2: Количество чёрных шаров: \(4x\) (в 4 раза больше)
Шаг 3: Общее количество шаров.
\[
\text{Всего шаров} = x + 4x = 5x
\]
Шаг 4: Найдем вероятность достать белый шар.
\[
P(\text{белый шар}) = \frac{x}{5x}
\]
Шаг 5: Сократим дробь.
\[
\frac{x}{5x} = \frac{1}{5}
\]
Шаг 6: Переведем в десятичный вид.
\[
\frac{1}{5} = 0{,}2
\]
Ответ: 0,2