Задачи номер 4 на ЕГЭ по базовой математике — это задачи на работу с формулами. Вам дают готовую формулу и несколько известных значений, а вы должны найти неизвестное значение. Это могут быть формулы из геометрии, физики или алгебры.
За правильное решение задачи номер 4 вы получите 1 балл.
Главное здесь — аккуратно подставить числа в формулу и правильно выполнить вычисления. Не пугайтесь, если в формуле много букв — это просто переменные!
Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ — основание, $h$ — высота.
Найдите площадь, если $a = 10$ см и $h = 6$ см.
Решение:Шаг 1: Запишем формулу.
$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$
Шаг 2: Подставим значения $a = 10$ и $h = 6$.
$S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 6$
Шаг 3: Вычислим произведение $10 \cdot 6 = 60$.
$S = \frac{1}{2} \cdot 60$
Шаг 4: Разделим $60$ на $2$.
$S = 30$ см²
Ответ: $S = 30$ см²
Площадь треугольника можно вычислить по формуле $S = \frac{abc}{4R}$, где $a$, $b$ и $c$ — стороны треугольника, а $R$ — радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Пользуясь этой формулой, найдите площадь $S$, если $a = 15$, $b = 28$, $c = 41$ и $R = \frac{205}{6}$.
Решение:Шаг 1: Подставим данные значения в формулу.
$S = \frac{15 \cdot 28 \cdot 41}{4 \cdot \frac{205}{6}}$
Шаг 2: Упростим знаменатель.
$4 \cdot \frac{205}{6} = \frac{4 \cdot 205}{6} = \frac{2 \cdot 205}{3} = \frac{410}{3}$
Шаг 3: Подставим упрощённый знаменатель обратно в формулу.
$S = \frac{15 \cdot 28 \cdot 41}{\frac{410}{3}}$
Шаг 4: Вычислим произведение сторон треугольника.
Сначала: $15 \cdot 28 = 15 \cdot (30 - 2) = 450 - 30 = 420$
Потом: $420 \cdot 41 = 420 \cdot (40 + 1) = 16800 + 420 = 17220$
Шаг 5: Подставим произведение сторон в формулу.
$S = \frac{17220}{\frac{410}{3}}$
Шаг 6: Разделим числитель на дробь, умножив на обратную дробь.
$S = 17220 \cdot \frac{3}{410}$
Шаг 7: Сократим дробь. Оба числа делятся на 10.
$S = \frac{1722 \cdot 3}{41}$
Вычислим $1722 \div 41 = 42$
Шаг 8: Вычислим окончательный результат.
$S = 42 \cdot 3 = 126$
Ответ: $S = 126$
Сумма углов выпуклого многоугольника вычисляется по формуле
$\Sigma = (n-2) \cdot 180°$,
где $n$ — количество его углов.
Пользуясь этой формулой, найдите $n$, если $\Sigma = 1620°$.
Решение:Шаг 1: Запишем уравнение, подставив известное значение суммы углов.
$1620° = (n-2) \cdot 180°$
Шаг 2: Разделим обе части уравнения на $180°$.
$\frac{1620°}{180°} = n - 2$
$9 = n - 2$
Шаг 3: Решим уравнение относительно $n$. Прибавим $2$ к обеим частям.
$9 + 2 = n$
$11 = n$
Ответ: $n = 11$ (многоугольник имеет 11 углов)
Ромб и квадрат имеют равные стороны. Найдите площадь ромба, если его острый угол равен $30°$, а площадь квадрата равна $64$.
Решение:Шаг 1: Найдём длину стороны квадрата.
Площадь квадрата: $S_{\text{квадрата}} = a^2 = 64$
Сторона квадрата: $a = \sqrt{64} = 8$
Шаг 2: Определим длину стороны ромба.
По условию стороны равны, поэтому сторона ромба также равна $8$.
Шаг 3: Найдём площадь ромба по формуле.
$S_{\text{ромба}} = a^2 \cdot \sin(\alpha)$,
где $a = 8$ — сторона ромба, $\alpha = 30°$ — острый угол.
Шаг 4: Вспомним значение синуса стандартного угла.
$\sin(30°) = \frac{1}{2}$
Шаг 5: Подставим значения в формулу.
$S_{\text{ромба}} = 8^2 \cdot \frac{1}{2} = 64 \cdot \frac{1}{2} = 32$
Ответ: $S_{\text{ромба}} = 32$
В трапеции $ABCD$ известно, что $AD = 7$, $BC = 1$, а её площадь равна $96$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
Решение:Шаг 1: Запишем формулу площади трапеции.
$S_{\text{трапеции}} = \frac{a+b}{2} \cdot h$,
где $a = 7$ и $b = 1$ — основания, $h$ — высота.
$96 = \frac{7+1}{2} \cdot h$
Шаг 2: Найдём высоту трапеции.
$96 = \frac{8}{2} \cdot h = 4 \cdot h$
$h = \frac{96}{4} = 24$
Шаг 3: Найдём площадь треугольника $ABC$.
Треугольник $ABC$ имеет основание $BC = 1$ и высоту, равную высоте трапеции $h = 24$.
$S_{\text{ABC}} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 24 = 12$
Ответ: $S_{\text{ABC}} = 12$
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $AB = BC$, $AD = CD$, $\angle B = 61°$, $\angle D = 151°$. Найдите величину угла $A$.
Решение:Шаг 1: Поскольку $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный.
Углы при основании равны: $\angle BAC = \angle BCA$
Шаг 2: Поскольку $AD = CD$, треугольник $ADC$ равнобедренный.
Углы при основании равны: $\angle DAC = \angle DCA$
Шаг 3: В треугольнике $ABC$ сумма углов равна $180°$.
$\angle BAC + \angle BCA + \angle B = 180°$
$2 \angle BAC + 61° = 180°$
$2 \angle BAC = 119°$
$\angle BAC = 59,5°$
Шаг 4: В треугольнике $ADC$ сумма углов равна $180°$.
$\angle DAC + \angle DCA + \angle D = 180°$
$2 \angle DAC + 151° = 180°$
$2 \angle DAC = 29°$
$\angle DAC = 14,5°$
Шаг 5: Угол $A$ четырёхугольника — это сумма углов $\angle BAC$ и $\angle DAC$.
$\angle A = 59,5° + 14,5° = 74°$
Ответ: $\angle A = 74°$
В угол с вершиной $C$, равный $128°$, вписана окружность с центром $O$, которая касается сторон угла в точках $A$ и $B$. Найдите угол $AOB$.
Решение:Шаг 1: Рассмотрим четырёхугольник $CAOB$.
Сумма углов четырёхугольника равна $360°$.
Шаг 2: Окружность касается сторон угла в точках $A$ и $B$.
Радиусы $OA$ и $OB$ перпендикулярны касательным.
Следовательно: $\angle CAO = 90°$ и $\angle CBO = 90°$
Шаг 3: Используем формулу суммы углов четырёхугольника.
$\angle AOB + \angle C + \angle CAO + \angle CBO = 360°$
Шаг 4: Подставим известные значения.
$\angle AOB + 128° + 90° + 90° = 360°$
Шаг 5: Вычислим сумму известных углов.
$128° + 90° + 90° = 308°$
Шаг 6: Найдём неизвестный угол.
$\angle AOB = 360° - 308° = 52°$
Ответ: $\angle AOB = 52°$
Задачи номер 4 — это практика внимательности и вычислительных навыков.
Главное правило: медленно и аккуратно подставляйте числа в формулу, не торопитесь с вычислениями. Если формула сложная, разбейте её на части и вычисляйте пошагово.
Ключевые навыки для решения:
Практикуйтесь решать задачи с разными формулами — и вскоре это станет для вас совсем простым!