Задача Номер 20

Пример 1: Задача на скорость ответов

Максимальный балл за эту задачу: 1

Условие:

\[ \text{Петя и Ваня выполняют одинаковый тест.} \] \[ \text{Петя отвечает за час на 19 вопросов теста,} \] \[ \text{а Ваня — на 20.} \] \[ \text{Они одновременно начали отвечать на вопросы теста,} \] \[ \text{и Петя закончил свой тест позже Вани на 9 минут.} \] \[ \text{Сколько вопросов содержит тест?} \]

Решение:

Шаг 1: Определим скорость ответов на вопросы для Пети и Вани.
Скорость Пети: \(v_П = 19\) вопросов/час.
Скорость Вани: \(v_В = 20\) вопросов/час.

Шаг 2: Выразим время, затраченное каждым на тест, через общее количество вопросов.
Пусть \(N\) — общее количество вопросов в тесте.
Время Пети: \(t_П = \frac{N}{v_П} = \frac{N}{19}\) часов.
Время Вани: \(t_В = \frac{N}{v_В} = \frac{N}{20}\) часов.

Шаг 3: Учтём разницу во времени окончания теста.
Петя закончил позже Вани на 9 минут. Переведём 9 минут в часы:
\(9 \text{ мин} = \frac{9}{60} \text{ часа} = \frac{3}{20}\) часа.
Разница во времени: \(t_П - t_В = \frac{3}{20}\) часа.

Шаг 4: Составим уравнение и решим его относительно \(N\).
Подставим выражения для \(t_П\) и \(t_В\) в уравнение разницы во времени: \[ \frac{N}{19} - \frac{N}{20} = \frac{3}{20} \] Приведём дроби к общему знаменателю (19 × 20 = 380): \[ \frac{20N}{380} - \frac{19N}{380} = \frac{3}{20} \] \[ \frac{N}{380} = \frac{3}{20} \] Умножим обе части уравнения на 380: \[ N = \frac{3}{20} \times 380 = 3 \times 19 = 57 \]

Ответ: Тест содержит 57 вопросов.

Пример 2: Задача на совместную работу

Максимальный балл за эту задачу: 1

Условие:

\[ \text{Юля и Уля, работая вместе, пропалывают грядку за 24 минуты,} \] \[ \text{а одна Уля — за 120 минут.} \] \[ \text{За сколько минут пропалывает грядку одна Юля?} \]

Решение:

Шаг 1: Определим производительность каждой девушки.
Производительность — это часть работы, которую человек выполняет за единицу времени.
Если вся работа (прополка грядки) принимается за 1, то производительность Юли и Ули вместе равна \(\frac{1}{24}\) грядки в минуту.
Производительность Ули равна \(\frac{1}{120}\) грядки в минуту.

Шаг 2: Обозначим производительность Юли как \(P_Ю\), а производительность Ули как \(P_У\).
Тогда производительность Юли и Ули вместе равна \(P_Ю + P_У\).

Шаг 3: Составим уравнение, используя данные из предыдущих шагов:
\(P_Ю + P_У = \frac{1}{24}\)

Шаг 4: Подставим известную производительность Ули (\(P_У = \frac{1}{120}\)) в уравнение:
\(P_Ю + \frac{1}{120} = \frac{1}{24}\)

Шаг 5: Найдём производительность Юли, вычитая производительность Ули из общей производительности:
\(P_Ю = \frac{1}{24} - \frac{1}{120}\)

Шаг 6: Приведём дроби к общему знаменателю.
Общий знаменатель для 24 и 120 равен 120, так как \(120 = 24 \times 5\).
Преобразуем \(\frac{1}{24}\) в дробь со знаменателем 120: \[ \frac{1}{24} = \frac{1 \times 5}{24 \times 5} = \frac{5}{120} \]

Шаг 7: Выполним вычитание дробей:
\(P_Ю = \frac{5}{120} - \frac{1}{120} = \frac{4}{120}\)

Шаг 8: Упростим полученную дробь:
\(\frac{4}{120} = \frac{1}{30}\)
Производительность Юли составляет \(\frac{1}{30}\) грядки в минуту.

Шаг 9: Найдём время, за которое Юля пропалывает грядку одна.
Время равно обратной величине производительности.
Если производительность Юли \(\frac{1}{30}\) грядки в минуту, то время равно: \[ t = \frac{1}{\frac{1}{30}} = 30 \text{ минут} \]

Ответ: Юля пропалывает грядку за 30 минут.

Пример 3: Задача на совместное потребление

Максимальный балл за эту задачу: 1

Условие:

\[ \text{Маша и Медведь съели 110 печений и банку варенья,} \] \[ \text{начав и закончив одновременно.} \] \[ \text{Сначала Маша ела варенье, а Медведь — печенье,} \] \[ \text{но в какой-то момент они поменялись.} \] \[ \text{Медведь и то и другое ест} \] \[ \text{в три раза быстрее Маши.} \] \[ \text{Сколько печений съел Медведь,} \] \[ \text{если варенья они съели поровну?} \]

Решение:

Шаг 1: Обозначим скорость Маши как \(v_M\), а скорость Медведя как \(v_D\).
По условию, Медведь ест в три раза быстрее Маши, поэтому \(v_D = 3v_M\).

Шаг 2: Из условия «сначала Маша ела варенье, а Медведь — печенье, но в какой-то момент они поменялись» понимаем, что было два этапа.
Пусть первый этап длился время \(t_1\), а второй этап длился время \(t_2\).
Общее время \(T = t_1 + t_2\).

Шаг 3: На первом этапе:
— Маша ела варенье, количество: \(V_M = v_M t_1\)
— Медведь ел печенье, количество: \(P_{D1} = v_D t_1 = 3v_M t_1\)

Шаг 4: На втором этапе:
— Маша ела печенье, количество: \(P_M = v_M t_2\)
— Медведь ел варенье, количество: \(V_D = v_D t_2 = 3v_M t_2\)

Шаг 5: Используем условие, что варенья они съели поровну:
\(V_M = V_D\)
\(v_M t_1 = 3v_M t_2\)
Сокращая \(v_M\), получаем: \(t_1 = 3t_2\)

Шаг 6: Общее количество печенья равно 110:
\(P_{D1} + P_M = 110\)
\(3v_M t_1 + v_M t_2 = 110\)

Шаг 7: Подставим \(t_1 = 3t_2\) в уравнение для печенья:
\(3v_M (3t_2) + v_M t_2 = 110\)
\(9v_M t_2 + v_M t_2 = 110\)
\(10v_M t_2 = 110\)

Шаг 8: Найдём \(v_M t_2\):
\(v_M t_2 = \frac{110}{10} = 11\)

Шаг 9: Найдём, сколько печенья съел Медведь.
Медведь ел печенье только на первом этапе:
\(P_{D1} = 3v_M t_1 = 3v_M (3t_2) = 9v_M t_2 = 9 \times 11 = 99\)

Ответ: Медведь съел 99 печений.

Пример 4: Задача на движение с препятствиями

Максимальный балл за эту задачу: 1

Условие:

\[ \text{Улитка за день заползает вверх по дереву на 4 м,} \] \[ \text{а за ночь сползает на 2 м.} \] \[ \text{Высота дерева 12 м.} \] \[ \text{За сколько дней улитка доползёт} \] \[ \text{до вершины дерева,} \] \[ \text{начав путь от его основания?} \]

Решение:

Шаг 1: Определим чистое продвижение улитки за одни сутки (день + ночь).
За день улитка поднимается на 4 м.
За ночь улитка сползает на 2 м.
Чистое продвижение за сутки: \[ \text{Чистое продвижение} = 4 \text{ м} - 2 \text{ м} = 2 \text{ м} \]

Шаг 2: Определим критическую высоту.
Высота дерева = 12 м.
За день улитка поднимается на 4 м.
Если улитка достигнет высоты \(12 \text{ м} - 4 \text{ м} = 8 \text{ м}\), то на следующий день она сможет добраться до вершины.

Шаг 3: Рассчитаем, сколько полных суток потребуется, чтобы достичь высоты 8 м.
Чистое продвижение за сутки = 2 м.
Количество суток: \(\frac{8 \text{ м}}{2 \text{ м/сутки}} = 4 \text{ суток}\)

Шаг 4: Определим высоту после 4 полных суток.
После 4 суток: \(4 \text{ суток} \times 2 \text{ м/сутки} = 8 \text{ м}\)

Шаг 5: На 5-й день улитка начнёт с высоты 8 м.
За день она поднимется на 4 м: \(8 \text{ м} + 4 \text{ м} = 12 \text{ м}\)
Улитка достигнет вершины за 5 дней.

Ответ: 5 дней.

Пример 5: Задача на среднюю скорость

Максимальный балл за эту задачу: 1

Условие:

\[ \text{Путешественник переплыл море на яхте} \] \[ \text{со средней скоростью 12 км/ч.} \] \[ \text{Обратно он летел на спортивном самолёте} \] \[ \text{со скоростью 276 км/ч.} \] \[ \text{Найдите среднюю скорость путешественника} \] \[ \text{на протяжении всего пути.} \] \[ \text{Ответ дайте в км/ч.} \]

Решение:

Шаг 1: Обозначим расстояние в одну сторону как \(d\) км.

Шаг 2: Вычислим время в пути на яхте:
\(t_{\text{яхта}} = \frac{d}{12}\) часов

Шаг 3: Вычислим время в пути на самолёте:
\(t_{\text{самолёт}} = \frac{d}{276}\) часов

Шаг 4: Найдём общее расстояние:
Общее расстояние = \(d + d = 2d\) км

Шаг 5: Найдём общее время:
\(t_{\text{общ}} = \frac{d}{12} + \frac{d}{276}\)

Шаг 6: Приведём дроби к общему знаменателю.
Заметим, что \(276 = 12 \times 23\), поэтому общий знаменатель — 276.
\(t_{\text{общ}} = \frac{23d}{276} + \frac{d}{276} = \frac{24d}{276}\)

Шаг 7: Сократим дробь.
\(\frac{24}{276} = \frac{2}{23}\) (разделили на 12)
\(t_{\text{общ}} = \frac{2d}{23}\) часов

Шаг 8: Вычислим среднюю скорость:
\(v_{\text{ср}} = \frac{\text{Общее расстояние}}{\text{Общее время}} = \frac{2d}{\frac{2d}{23}} = 2d \times \frac{23}{2d} = 23\) км/ч

Ответ: 23 км/ч.

Пример 6: Задача на перевод единиц и среднюю скорость

Максимальный балл за эту задачу: 1

Условие:

\[ \text{Бегун пробежал 350 метров за 35 секунд.} \] \[ \text{Найдите среднюю скорость бегуна на дистанции.} \] \[ \text{Ответ дайте в километрах в час.} \]

Решение:

Шаг 1: Используем формулу средней скорости:
\[ v = \frac{s}{t} \] где \(s\) — расстояние, \(t\) — время.

Шаг 2: Подставим известные значения (расстояние в метрах, время в секундах):
\[ v = \frac{350 \text{ м}}{35 \text{ с}} = 10 \frac{\text{м}}{\text{с}} \]

Шаг 3: Переведём м/с в км/ч.
Используем коэффициент перевода: \(1 \frac{\text{м}}{\text{с}} = 3{,}6 \frac{\text{км}}{\text{ч}}\)
(Это потому, что \(\frac{1 \text{ м}}{1 \text{ с}} = \frac{0{,}001 \text{ км}}{\frac{1}{3600} \text{ ч}} = 0{,}001 \times 3600 = 3{,}6\))

Шаг 4: Умножим скорость в м/с на коэффициент:
\[ v = 10 \frac{\text{м}}{\text{с}} \times 3{,}6 = 36 \frac{\text{км}}{\text{ч}} \]

Ответ: 36 км/ч.