Пример 1: Точки на координатной прямой с корнями
Задача:
На координатной прямой отмечены точки \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\).
Число \(m = \sqrt{0{,}15}\).
Каждой точке соответствует одно из чисел в правом столбце. Установите соответствие.
ТОЧКИ ЧИСЛА
\(A\) \(1) \ -\frac{1}{m}\)
\(B\) \(2) \ m^2\)
\(C\) \(3) \ 4m\)
\(D\) \(4) \ m-1\)
Решение (пошагово):
Шаг 1. Найдём значение \(m\):
\(m = \sqrt{0{,}15} \approx 0{,}387\)
Шаг 2. Вычислим все выражения из правого столбца:
- \(1) \ -\frac{1}{m} \approx -\frac{1}{0{,}387} \approx -2{,}58\)
- \(2) \ m^2 = 0{,}15\)
- \(3) \ 4m \approx 4 \times 0{,}387 \approx 1{,}55\)
- \(4) \ m - 1 \approx 0{,}387 - 1 \approx -0{,}613\)
Шаг 3. Смотрим на координатную прямую и сопоставляем:
- Точка A — около \(-2{,}6\) (слева, далеко) → \(-\frac{1}{m}\) → 1
- Точка B — между \(-1\) и \(0\), около \(-0{,}6\) → \(m - 1\) → 4
- Точка C — около \(0{,}15\), близко к нулю → \(m^2\) → 2
- Точка D — между \(1\) и \(2\), около \(1{,}55\) → \(4m\) → 3
Ответ (таблица):
| A | B | C | D |
| 1 | 4 | 2 | 3 |
Пример 2: Точки с двумя параметрами
Задача:
На координатной прямой отмечены числа \(m\) и \(n\), а также точки \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\).
Установите соответствие между точками и выражениями.
ТОЧКИ ЧИСЛА
\(A\) \(1) \ m^2 - n^2\)
\(B\) \(2) \ n - m\)
\(C\) \(3) \ mn\)
\(D\) \(4) \ \frac{1}{m} + n\)
Решение (пошагово):
Шаг 1. Определим значения на координатной прямой: \(m = -2\) и \(n = 1\).
Шаг 2. Вычислим каждое выражение:
- \(1) \ m^2 - n^2 = (-2)^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3\)
- \(2) \ n - m = 1 - (-2) = 1 + 2 = 3\)
- \(3) \ mn = (-2) \times 1 = -2\)
- \(4) \ \frac{1}{m} + n = \frac{1}{-2} + 1 = -0{,}5 + 1 = 0{,}5\)
Шаг 3. Сопоставляем с точками на оси:
- Точка A (около 3) → выражение 1 или 2 (оба дают 3). Смотрим точнее: точка A соответствует 1 (\(m^2 - n^2 = 3\))
- Точка B (около 3) → выражение 2 (\(n - m = 3\)) → 2
- Точка C (около -2) → выражение 3 (\(mn = -2\)) → 3
- Точка D (около 0{,}5) → выражение 4 (\(\frac{1}{m} + n = 0{,}5\)) → 4
Ответ:
| A | B | C | D |
| 1 | 2 | 3 | 4 |
Пример 3: Точки с корнями и степенями
Задача:
На координатной прямой отмечены точки \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\).
Установите соответствие между точками и выражениями.
ТОЧКИ ЧИСЛА
\(A\) \(1) \ \sqrt{7} + \sqrt{3}\)
\(B\) \(2) \ \sqrt{7} \cdot 2\sqrt{3}\)
\(C\) \(3) \ 2\sqrt{7} : \sqrt{3}\)
\(D\) \(4) \ (\sqrt{3})^3 + 1\)
Решение (пошагово):
Шаг 1. Вычислим приблизительные значения. Используем: \(\sqrt{7} \approx 2{,}646\), \(\sqrt{3} \approx 1{,}732\).
- \(1) \ \sqrt{7} + \sqrt{3} \approx 2{,}646 + 1{,}732 = 4{,}378\)
- \(2) \ \sqrt{7} \cdot 2\sqrt{3} = 2\sqrt{21} \approx 2 \times 4{,}583 = 9{,}166\)
- \(3) \ 2\sqrt{7} : \sqrt{3} = 2\sqrt{\frac{7}{3}} \approx 2 \times 1{,}528 = 3{,}056\)
- \(4) \ (\sqrt{3})^3 + 1 = 3\sqrt{3} + 1 \approx 3 \times 1{,}732 + 1 = 5{,}196 + 1 = 6{,}196\)
Шаг 2. Сопоставляем с точками:
- Точка A (около 3) → выражение 3 (\(2\sqrt{7} : \sqrt{3} \approx 3{,}06\)) → 3
- Точка B (около 4{,}4) → выражение 1 (\(\sqrt{7} + \sqrt{3} \approx 4{,}38\)) → 1
- Точка C (около 6{,}2) → выражение 4 (\((\sqrt{3})^3 + 1 \approx 6{,}20\)) → 4
- Точка D (около 9{,}2) → выражение 2 (\(\sqrt{7} \cdot 2\sqrt{3} \approx 9{,}17\)) → 2
Ответ:
| A | B | C | D |
| 3 | 1 | 4 | 2 |
Пример 4: Сопоставление реальных величин
Задача:
Установите соответствие между величинами и их возможными значениями.
ВЕЛИЧИНЫ ЗНАЧЕНИЯ
А) Масса взрослого кита 1) 162 кв. м
Б) Объём железнодорожного вагона 2) 100 т
В) Площадь волейбольной площадки 3) 120 куб. м
Г) Ширина футбольного поля 4) 68 м
Решение (пошагово):
Шаг 1. Вспомним реальные величины:
- А) Масса кита: Киты — огромные животные. Взрослый кит весит примерно 100 тонн. → 2)
- Б) Объём вагона: Грузовой вагон имеет объём около 120 кубических метров. → 3)
- В) Площадь волейбольной площадки: Стандартная волейбольная площадка имеет размеры 9 м × 18 м = 162 кв. м. → 1)
- Г) Ширина футбольного поля: Стандартная ширина — около 68 метров. → 4)
Ответ:
| А | Б | В | Г |
| 2 | 3 | 1 | 4 |
Пример 5: Площади предметов и объектов
Задача:
Установите соответствие между величинами и их возможными значениями.
ВЕЛИЧИНЫ ЗНАЧЕНИЯ
А) Площадь балкона в доме 1) 300 кв. мм
Б) Площадь тарелки 2) 5 кв. м
В) Площадь Ладожского озера 3) 17,7 тыс. кв. км
Г) Площадь одной стороны монеты 4) 600 кв. см
Решение (пошагово):
Шаг 1. Определим масштабы величин:
- А) Балкон: Типичный балкон — это небольшая часть квартиры, примерно 1–5 квадратных метров. → 2) 5 кв. м
- Б) Тарелка: Диаметр тарелки ≈ 25 см, радиус ≈ 12{,}5 см. Площадь ≈ \(\pi r^2 \approx 3{,}14 \times 156 \approx 490\) кв. см, близко к 600. → 4) 600 кв. см
- В) Ладожское озеро: Это крупнейшее пресноводное озеро Европы, его площадь измеряется тысячами квадратных километров. → 3) 17,7 тыс. кв. км
- Г) Монета: Монета — мелкий предмет. Её площадь измеряется в квадратных миллиметрах или сантиметрах. 300 кв. мм = 3 кв. см — разумный размер. → 1) 300 кв. мм
Ответ:
| А | Б | В | Г |
| 2 | 4 | 3 | 1 |